Prove que
- Devemos mostrar primeiro que
- Seja
![{\displaystyle ({\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}})^{2}=a_{1}+a_{2}+2{\sqrt {a_{1}a_{2}}}\Rightarrow {\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}={\sqrt {a_{1}+a_{2}+2{\sqrt {a_{1}a_{2}}}}}\geq {\sqrt {a_{1}+a_{2}}},\forall a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b059e2cc0a8b0f02e9a58cece902ee15faafff)
- Suponha ser verdade que
![{\displaystyle {\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}+...+{\sqrt {a_{n}}}\geq {\sqrt {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}},\forall a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c94ab8534e20777b5077860fbf31abfcb28085)
- Tome
![{\displaystyle {\sqrt {a_{1}}}+{\sqrt {a_{2}}}+...+{\sqrt {a_{n}}}+{\sqrt {a_{n+1}}}\geq {\sqrt {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}}+{\sqrt {a_{n+1}}}\leq {\sqrt {a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+a_{n+1}}},\forall a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1}\in \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec593b9d78093d6363e245d59fa2b4ff9aad0010)
![{\displaystyle \left\|x\right\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}^{2}}}\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba25252735f853cc17ea117a36d238c79d5e3647)
Quando é que vale a igualdade em
. Reexamine a prova, a resposta não é "quando x e y são linearmente dependentes".
- Verificar quando é válido que
.
- Tome
![{\displaystyle x=cy,c\in \mathbb {R} ,\left\|x+y\right\|=\left\|cy+y\right\|=\left\|(c+1)y\right\|=(|c|+1)\left\|y\right\|=|c|\left\|y\right\|+\left\|y\right\|=\left\|cy\right\|+\left\|y\right\|=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd33b99b08d8b9cca7840e199330ff561f6b24c)
Prove que
. Quando a igualdade mantem?
- Verificar que
.
- Tome
![{\displaystyle =(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|)^{2}\Rightarrow \left\|x-y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c466c1c89924142430923c58f658de6ad3e4cc)
- Verificar quando é válido que
.
- Tome
![{\displaystyle y=-cx,c\in \mathbb {R} ^{+},\left\|x-y\right\|=\left\|x-(-cx)\right\|=\left\|x+cx\right\|=\left\|(1+c)x\right\|=|c+1|\left\|x\right\|=|c|\left\|x\right\|+\left\|x\right\|=\left\|cx\right\|+\left\|x\right\|=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ffb8db6c5bb030fc8a08381301d7ccd4b951ed)
![{\displaystyle =\left\|-y\right\|+\left\|x\right\|=\left\|y\right\|+\left\|x\right\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da5def10d9ff4a648fd3b76af01fe517e7708be)
.
.
A quantidade
é chamada a distancia entre x e y. Prove e interprete geometricamente a "inequação triangular":
![{\displaystyle \left\|z-x\right\|=\left\|z-y+y-x\right\|=\left\|(z-y)+(y-x)\right\|\leq \left\|z-y\right\|+\left\|y-x\right\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097d736e8903c7f532e2e6a1b4caf95d4916e913)
Seja f e g integráveis sobre [a,b]
- Prove que
. Dica: Considere separadamente os casos
para algum
e
.
- Se a igualdade mantem, deve
para algum
? Quais de f,g são continuos?
- Mostre que o teorema 1-1(2) é um caso especial de (a).
Uma transformação linear
preserva a norma se
, e preserva o produto interno se
.
- Prove que T preserva a norma se, e somente, se T preserva o produto interno.
- Prove que uma tal transformação linear T é injetiva e a
é da mesma maneira.
- Se T preserva a norma, então T preserva o produto interno.
![{\displaystyle \left\|T(x+y)\right\|^{2}=\left\|x+y\right\|^{2}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732302e5e432e4cb93e382237fd8692ac76e135a)
![{\displaystyle \Rightarrow \left\|T(x)+T(y)\right\|^{2}=\left\|x+y\right\|^{2}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5521331af1096e253ddad5536b8086a7bff07fc4)
![{\displaystyle \Rightarrow \langle T(x)+T(y),T(x)+T(y)\rangle =\langle x+y,x+y\rangle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978edc0acffcb055758a0c0eb48dd6393cfe29dd)
![{\displaystyle \Rightarrow \langle T(x),T(x)\rangle +2\langle T(x),T(y)\rangle +\langle T(y),T(y)\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edc86eb37444bfe1b134106f7bdb1b6911b7663)
.
- Como T preserva a norma,
. Então ![{\displaystyle 2\langle T(x),T(y)\rangle =2\langle x,y\rangle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d3098ad4aa5b27805a4926bfe2718dcf727584)
![{\displaystyle \Rightarrow \langle T(x),T(y)\rangle =\langle x,y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bde267261f6f5bcac512472006533874aa99e5)
- Se T preserva o produto interno, então T preserva a norma.
![{\displaystyle \langle T(x),T(x)\rangle =\langle x,x\rangle \Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84de6fa87da824a55bec9453bae95eb7c97eae0)
.
![{\displaystyle \Rightarrow \left\|T(x)\right\|=\left\|x\right\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112de03a9e4e96d9e92f925496ad98337eb33b76)
- T é injetiva
- Seja
, tal que
, por ser T linear.
- Mas
![{\displaystyle 0=\left\|0\right\|=\left\|T(a-b)\right\|=\left\|a-b\right\|\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6123b9e44ccdc7fcf24cfa1770d9a00e40947f6c)
é linear
- Seja
![{\displaystyle c\in \mathbb {R} ,x=T(a),y=T(b)\in \mathbb {R} ^{n},T(ca+b)=cT(a)+T(b)=cx+y\Rightarrow T^{-1}(cx+y)=ca+b=cT^{-1}(x)+T^{-1}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb26f86656791c939064b21b462ec093ebcfca6)
preserva a norma.
- Seja
![{\displaystyle a=T(x),\left\|T(x)\right\|=\left\|T^{-1}(T(x))\right\|\Rightarrow \left\|T^{-1}(a)\right\|=\left\|a\right\|,\forall a\in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513e6ca0c063af1eebeae5803e4eaa2a20b4b8b6)
é injetiva
- Seja
, tal que
, por ser
linear.
- Mas
![{\displaystyle 0=\left\|0\right\|=\left\|T^{-1}(c-e)\right\|=\left\|c-e\right\|\Rightarrow c-e=0\Rightarrow c=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d280e603d7969056d120d6e39f8f7701a9e6c268)
Se
são não-nulos, o ângulo entre x e y, denotado por
é definido como
o que faz sentido pelo teorema
. A transformação linear T preserva o ângulo se T é injetiva e para
tivermos
.
- Prove que se T preserva a norma, então T preserva o ângulo.
- Se existe uma base
de
e números
tal que
, prove que T preserva o ângulo se, e somente se, todos os
são iguais.
- Quais todos os
que preservam o ângulo?
- Mostrar que T preserva o ângulo: T preserva a norma, logo preserva o produto interno, isto é,
.
- Assim
.
- No exercício anterior provamos que toda T linear é injetiva.
- T preserva o ângulo. Mostrar que
são iguais para
- Seja
.
- Mas T preserva o ângulo, então
.
![{\displaystyle \Rightarrow {a_{1}b_{1}k_{1}^{2}+...+a_{n}b_{n}k_{n}^{2} \over {\sqrt {(a_{1}^{2}k_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}k_{n}^{2})(b_{1}^{2}k_{1}^{2}+...b_{n}^{2}k_{n}^{2})}}}={a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n} \over {\sqrt {(a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})}}}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3388f3d17ab1202302688075bdb791b0397b215)
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