Teoria dos conjuntos/Axioma do infinito

Axioma do infinito

Já vimos vários processos que constroem conjuntos cada vez maiores. Por exemplo, aplicando-se o axioma do par da forma {x}, partindo-se do conjunto vazio, obtemos {}, {{}}, {{{}}}, {{{{}}}}, ....

Ou, aplicando-se o sucessor a partir do conjunto vazio, obtemos 0, 1, 2, 3, .... Pelos axiomas até agora vistos, estas listas não são conjuntos.

O axioma do infinito diz que existe um conjunto que é {0, 1, 2, 3, ...}. A aplicação dos outros axiomas permite construir outros conjuntos infinitos, tais como {0, 1, P(1), P(P(1)), ...}.

O axioma

O axioma diz que existe um conjunto que tem o conjunto vazio como elemento e que, para cada elemento, tem o seu sucessor.

Simbolicamente:

$\exists N,(\varnothing \in N\land \forall x\in N,(s(x)\in N))\,$

Conjunto dos números naturais

O conjunto dos números naturais é construído aplicando-se o axioma da extensão a algum conjunto definido pelo axioma do infinito.

No entanto, para podermos definir $\mathbb {N} =\{n\in N|\mathbf {N} (n)\}\,$ é preciso mostrar que, se temos dois conjuntos A e B que satisfazem o axioma do infinito, então os conjuntos $N_{A}=\{n\in A|\mathbf {N} (n)\}\,$ e $N_{B}=\{n\in B|\mathbf {N} (n)\}\,$ são iguais.

O problema é que precisamos dos demais axiomas para demonstrar isso. Por exemplo, sem usar o axioma da regularidade, não há como provar que um conjunto do tipo A = {0, 1, ..., A} não pode existir; este conjunto satisfaz à definição do axioma do infinito e é um número natural, mas é obviamente bem diferente do conjunto que imaginamos para $\mathbb {N} \,$.