Teoria dos conjuntos/Axioma da escolha

Axioma da escolha

Este é, sem dúvida, o mais controverso dos axiomas. Os demais axiomas, ao dizerem que determinado conjunto existe (ou não existe), sempre exibem como este conjunto é formado, e, usando-se o axioma da extensão, quase sempre chega-se a um conjunto único.

O axioma da escolha é diferente. Ele diz que determinado conjunto existe, mas não dá nenhuma pista sobre como este conjunto pode ser construído. Vários matemáticos importantes rejeitaram este axioma, e, para consubstanciar a rejeição, apresentaram resultados aparentemente paradoxais para justificar a rejeição.

Um dos argumentos mais interessantes é o paradoxo de Banach-Tarski, que, usando uma construção baseada no axioma da escolha, divide uma esfera em um número finito de partes, aplica translações e rotações a estas partes, e remonta duas esferas idênticas à primeira.

O axioma é apresentado sob várias formas equivalentes. Estas formas serão apresentadas abaixo:

• se o conjunto vazio não é elemento de um conjunto, então existe uma função-escolha neste conjunto
• todo conjunto pode ser bem-ordenado
• se um conjunto for dividido em classes de equivalência, então existe um conjunto com um representante de cada classe
• Lema de Zorn

Função escolha

Uma função escolha em um conjunto A é uma função:

$f:A\to \bigcup _{x\in A}x\,$

em que $f(x)\in x\,$. Por exemplo, no conjunto $A=\{1,2,3\}$, uma função escolha poderia ser dada pelo gráfico $\{(1,0),(2,1),(3,2)\}$. Obviamente, outras funções-escolha são possíveis neste conjunto, como, por exemplo, a função constante $f(x)=0.$

Note-se que se $\varnothing \in A\,$, então $A$ não pode ter função escolha, porque não há como satisfazer $f(\varnothing )\in \varnothing \,$.

O axioma da escolha diz que este é o único caso em que não existe função-escolha. Ou seja:

$\forall \,A\not \ni \varnothing \implies \exists \,f:A\to \bigcup _{x\in A}x,\forall \,x\in A,(f(x)\in x)\,.$

Todo conjunto pode ser bem-ordenado

Já vimos o que é uma relação bem-ordenada em um conjunto $A$: ela é definida por ${\big (}(A,A),<{\big )}$, em que $<$ é um conjunto de pares ordenados de elementos de $A$ com:

• $\forall \,x,y,z\in A,(x<y\land y<x\implies x<z)\,$ (transitividade).
• $\forall \,x\in A,(\neg x<x)\,$ (aliorrelatividade).
• $\forall \,x,y\in A,(x<y\lor x=y\lor y<x)\,$ (ordem total)
• $\forall \,S\subseteq A,(\neg (S=\varnothing )\implies \exists \,i\in S,(\forall \,x\in S,(i=x\lor i<x)))\,$ (bem-ordenação: todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo)

O axioma da bem-ordenação diz que para todo conjunto $A$ existe uma relação bem-ordenada em $A$.

Representantes das classes de equivalência

Em resumo, uma relação de equivalência em um conjunto $A$ é uma relação $((A,A),\sim )\,$ satisfazendo:

• $\forall x\in A,(x\sim x)\,$ (reflexividade).
• $\forall x,y\in A,(x\sim y\implies y\sim x)\,$ (simetria).
• $\forall x,y,z\in A,(x\sim y\land y\sim z\implies x\sim z)\,$ (transitividade).

Uma relação de equivalência permite particionar o conjunto $A$ em classes de equivalência, que é construir o conjunto $A/\sim \,$ definido como um subconjunto do conjunto das partes de $A$ por:

$A/\sim \,:={\big \{}x\in \wp (A)\mid \forall \,y,z\in x,(y\sim z){\big \}}.\,$

É fácil mostrar que para todo elemento $x\in A$, existe uma (e apenas uma) classe de equivalência $\left[x\right]\in A/\sim \,$ com $x\in \left[x\right]\,$.

Temos também que se duas classes de equivalência são diferentes, então elas são disjuntas.

A versão do axioma da escolha diz que se um conjunto tem a propriedade acima, então podemos escolher um representante de cada classe, de forma que a interseção de qualquer classe com o conjunto de representantes seja um conjunto unitário.

Na linguagem formal:

$\forall \,B,{\big (}\forall \,x,y\in B,(x\neq y\implies x\cap y=\varnothing ){\big )}\implies \exists \,C\subseteq \bigcup _{x\in B}x,{\Big (}\forall \,x\in B,\exists \,y\in C,(x\cap C=\{y\}){\Big )}.\,$

Lema de Zorn

Uma relação de ordem parcial em um conjunto é uma relação $((A,A),\sim )\,$ satisfazendo:

• $\forall \,x,y,z\in A,(x<y\land y<z\implies x<z)\,$ (transitividade)
• $\forall \,x\in A,(\neg x<x)\,$ (aliorrelatividade)

Uma relação de ordem total em um conjunto é uma relação de ordem parcial com a propriedade de totalidade:

• $\forall \,x,y\in A,(x<y\lor x=y\lor y<x)\,$ (ordem total)

Fixando uma determinada relação de ordem parcial em $A$, temos:

• Um subconjunto ${\mathcal {C}}\subseteq A$ é uma cadeia quando ${\mathcal {C}}$ for totalmente ordenado pela relação, ou seja, $\forall \,x,y\in {\mathcal {C}},(x<y\lor x=y\lor y<x)\,$
• Um elemento $a\in A$ é uma quota superior de um subconjunto $B\subseteq A$ quando $\forall \,x\in B,x<a\,$
• Um elemento $a\in A$ é maximal se $\forall \,x\in A,\neg (a<x)\,$

O Lema de Zorn diz que, se toda cadeia tem uma quota superior, então existe um elemento maximal.