Nós matemáticos/Dimensões

Um nó em três dimensões pode ser desatado quando colocado em um espaço de quatro dimensões mudando-se os cruzamentos. Suponha que um pedaço do nó esteja atrás de outro pedaço (classificando assim um cruzamento) a partir de um referencial de visão escolhido. "Levante" o primeiro pedaço para a quarta dimensão, de modo que não haja mais obstáculo (Para isso supomos que o pedaço dianteiro não tem componentes em quatro dimensões); Em seguida, deslize-o para a frente e coloque-o de volta no $\mathbb {R} ^{3}$, agora na frente. Uma analogia mais visualizável seria pegar um nó desenhado no plano ($\mathbb {R} ^{2}$), mover parte da corda para fora da superfície do plano, fazer o procedimento necessário e devolver a corda para o plano.

De fato, em quatro dimensões, qualquer laço fechado sem intersecção de uma corda unidimensional é equivalente a um nó trivial. Primeiramente "empurre" o laço em um subespaço tridimensional, que é sempre possível, embora técnico de se explicar.

Esferas de nó de maior dimensão

Uma vez que um nó pode ser considerado topologicamente uma esfera unidimensional, a próxima generalização é considerar uma esfera bidimensional embutida em uma bola de quatro dimensões. Tal encaixe é desfeito se houver um homeomorfismo da esfera de quatro dimensões para si mesmo tendo a esfera bidimensional em um padrão "redondo" da esfera bidimensional. Os nós suspensos e os nós "torcidos" são duas famílias típicas de tais nós de esferas bidimensional.

A técnica matemática chamada "posição geral" implica que para uma dada esfera n na esfera m, se m é suficientemente grande (dependendo de n), a esfera deve ser desfeita. Em geral, as n-esferas lineares por partes formam nós apenas no espaço (n + 2) , embora isto não seja mais uma exigência para esferas suavemente atadas. De fato, existem esferas (4k - 1) suavemente atadas em espaço de 6k, e. Há uma esfera tridimensional sem emendas na esfera 6. Assim, a codimensão de um nó liso pode ser arbitrariamente grande quando não fixa a dimensão da esfera nodosa; No entanto, qualquer esfera k, lisa em uma esfera n com 2n - 3k - 3> 0 é desfeita.

Cada nó em Sⁿ é a ligação de um conjunto real-algébrico com singularidade isolada em Rⁿ⁺¹ .

Um n-nó é um único Sⁿ incorporado em S^m. Um n-link é k-cópias de Sⁿ incorporado em S^m, onde k é um número natural. Tanto o caso m = n + 2 quanto o caso m> n + 2 são pesquisados ​​bem. O caso n> 1 tem futuros diferentes do caso n = 1 e é um campo animador.