Mecânica dos fluidos/Estática aplicada a um elemento de volume diferencial

Estática aplicada a um volume de controle diferencial

Análise das forças de superfície

Considerando o volume δV como um cubo em um sistema de coordenadas cartesianas, situado originalmente no ponto P(x₀,y₀,z₀), podemos escrever que a força atuando no sentido do eixo X é a soma das forças nesse sentido atuando em cada uma das faces

$\delta F_{x}\;=\;\delta F_{xX+}\;+\;\delta F_{xX-}\;+\;\delta F_{xY+}\;+\;\delta F_{xY-}\;+\;\delta F_{xZ+}\;+\;\delta F_{xZ-}$

onde F_xX+ indica a força atuando no sentido do eixo X na face que repousa sobre o plano X+, e assim por diante.

Mas, de acordo com a definição de tensões,

$\delta F_{xX+}\;=\;\sigma _{xx}(x_{0}\;+\;\delta x)\cdot \delta A_{X}$

$\delta F_{xX-}\;=\;-\sigma _{xx}(x_{0})\cdot \delta A_{X}$

$\delta F_{xY+}\;=\;\tau _{yx}(y_{0}\;+\;\delta y)\cdot \delta A_{Y}$

$\delta F_{xY-}\;=\;-\tau _{yx}(y_{0})\cdot \delta A_{Y}$

e assim por diante, de acordo com a convenção de que uma tensão positiva está direcionada para fora do elemento de volume. Dessa forma

$\delta F_{x}\;=\;\left[\sigma _{xx}(x_{0}\;+\;\delta x)\;-\;\sigma _{xx}(x_{0})\right]\cdot \delta A_{X}\;+\;\left[\tau _{yx}(y_{0}\;+\;\delta y)\;-\;\tau _{yx}(y_{0})\right]\cdot \delta A_{Y}\;+\;\left[\tau _{zx}(z_{0}\;+\;\delta z)\;-\;\tau _{zx}(z_{0})\right]\cdot \delta A_{Z}$

$\delta F_{x}\;=\;\delta \sigma _{xx}\cdot \delta A_{X}\;+\;\delta \tau _{yx}\cdot \delta A_{Y}\;+\;\delta \tau _{zx}\cdot \delta A_{Z}$

$\delta F_{x}\;=\;{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\cdot \delta x\cdot \delta A_{X}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\cdot \delta y\cdot \delta A_{Y}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\cdot \delta z\cdot \delta A_{Z}$

$\delta F_{x}\;=\;\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V$

Podemos escrever equações similares para δF_y e δF_z.

$\delta F_{y}\;=\;\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V$

$\delta F_{z}\;=\;\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V$

Análise das forças do corpo

As forças do corpo podem ter diversas origens, e em cada caso uma expressão específica precisa ser derivada. A força do corpo mais importante é, obviamente, o peso do fluido. Essa força geralmente aparece apenas na direção do eixo Z e pode ser expressa por

$\delta F_{z}\;=\;-\;\rho g\;\delta V$

o sinal negativo devendo-se ao fato de apontar para o sentido negativo do eixo Z.