Mecânica dos fluidos/Equações básicas em forma diferencial

Equações básicas em forma diferencial

As equações básicas para sistemas e volumes de controle estão expressas em forma integral. Essa forma é conveniente quando se deseja analisar o comportamento macroscópico de um fluido, entendido como um campo de propriedades. Para obter o valor dessas propriedades em cada ponto do espaço, no entanto, elas não servem; para isso é preciso expressar as equações em forma diferencial e resolver as equações diferenciais resultantes.

Equação de continuidade

A forma diferencial da equação de continuidade pode ser derivada tomando-se as equações para um volume de controle C e considerando-o como um elemento de volume infinitesimal δV e superfície δS.

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\delta V}\rho dV\;+\;\int _{\delta S}\rho ({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;0$

Podemos reescrever a equação como

$\int _{\delta V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\;+\;\int _{\delta S}(\rho {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})\;=\;0$

e aplicar o teorema de Gauss (ou teorema da divergência):

$\int _{V}(\nabla \cdot {\vec {f}})dV\;=\;\int _{S}({\vec {f}}\cdot d{\vec {S}})$

obtendo

$\int _{\delta V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV\;+\;\int _{\delta V}(\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}))dV\;=\;0\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;+\;(\nabla \cdot (\rho {\vec {v}}))\;=\;0$

que é a forma diferencial da equação de continuidade.

Conservação do momento linear

De acordo com a segunda lei de Newton, a força atuante sobre um elemento de volume infinitesimal δV é igual à variação do seu momento linear. Assim, podemos escrever

$\delta {\vec {F}}\;=\;\delta {\vec {M}}$

Mas, de acordo com as análises anteriores sobre o momento linear, sabemos que sua variação está relacionada à derivada material de acordo com a expressão

$\delta {\vec {M}}\;=\;\delta m\cdot {\vec {a}}\;=\;\delta m\left({\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\right)$

E, de acordo com as análises anteriores sobre as forças aplicadas, sabemos que podemos relacionar essas forças de acordo com as expressões

$\delta {\vec {F}}\;=\;\delta F_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;+\;\delta F_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;+\;\delta F_{z}\;{\vec {u}}_{z}$

$\delta F_{x}\;=\;\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V$

$\delta F_{y}\;=\;\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}\right)\cdot \delta V$

$\delta F_{z}\;=\;\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\;-\;\rho g\right)\cdot \delta V$

para o caso em que a única força do corpo relevante é o peso do líquido e os eixos coordenados são escolhidos de maneira ao eixo Z ficar na vertical e apontando para cima. Como δm = ρ δV, podemos escrever

$\left({\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}\right)\;{\vec {u}}_{x}\;+\;\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}\right)\;{\vec {u}}_{y}\;+\;\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}\;+\;{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}\;+\;{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\;-\;\rho g\right)\;{\vec {u}}_{z}\;=\;\rho \left({\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}\;+\;{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\right)$

que é a equação de conservação do momento em forma diferencial para coordenadas cartesianas.

Primeira lei da termodinâmica

Aplicando a primeira lei da termodinâmica a um volume de controle infinitesimal, teremos, considerando um escoamento de regime permanente e na ausência de trabalho realizado, teremos, ao usar a formulação mais extensa:

${\frac {dQ}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\Omega }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{\tau }}{dt}}\;+\;{\frac {dW_{outro}}{dt}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho \left(u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\right)dV\;+\;\int _{S}\left[\rho \left(u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\right)\;-\;\sigma \right]({\vec {v}}\cdot d{\vec {S}})$

${\frac {dQ}{dt}}\;+\;0\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \left(u\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}\right)\delta _{V}\right)\;+\;\left(-\;\left[\rho _{1}\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;\sigma _{1}\right](v_{1}A_{1})\;+\;\left[\rho _{2}\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;\sigma _{2}\right](v_{2}A_{2})\right)$

onde v, ρ, u e σ são os valores vigentes no centro do volume, v₁, ρ₁, u₁ e σ₁ são os valores vigentes na face posterior do volume, e v₂, ρ₂, u₂ e σ₂ são os valores vigentes na face anterior do volume. Aplicando a equação da continuidade, ρ₁ · v₁ · A₁ = ρ₂ · v₂ · A₂ = dm/dt

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;0\;+\;\left(0\;-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right](\rho _{1}v_{1}A_{1})\;+\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right](\rho _{2}v_{2}A_{2})\right)$

${\frac {dQ}{dt}}\;=\;\left(-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right]\;+\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right]\right){\frac {dm}{dt}}$

${\frac {dQ}{dm}}\;=\;\left[\left(u_{2}\;+\;{\frac {v_{2}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{2}}{\rho _{2}}}\right]\;-\;\left[\left(u_{1}\;+\;{\frac {v_{1}^{2}}{2}}\right)\;-\;{\frac {\sigma _{1}}{\rho _{1}}}\right]$

Exercícios resolvidos

• C10
• C11