Mecânica dos fluidos/Equações básicas e utilizando as ferramentas matemáticas corretas

Equações Básicas

As equações básicas em uso na mecânica dos fluidos são:

• O princípio da continuidade (ou princípio de conservação da massa)
• A segunda lei do movimento de Newton (ou princípio de conservação do momento linear)
• O princípio de conservação do momento angular
• A primeira lei da termodinâmica (ou princípio da conservação da energia)
• A segunda lei da termodinâmica

Em alguns problemas, pode ser necessário lançar mão de equações que descrevam propriedades físicas do fluido sob estudo. Por exemplo, se este for um gás, pode-se utilizar a equação de estado do gás ideal ($P\;=\;\rho RT$).

Métodos de descrição

Em situações onde é fácil identificar e seguir elementos isolados, pode-se usar o método de descrição Lagrangeano, onde as equações são aplicadas a cada elemento individualmente, e o fluido sob estudo é considerado como o conjunto desses elementos individuais (partículas) em movimento. Caso contrário, é mais fácil empregar o método de descrição Euleriano, onde se considera o fluido como um conjunto de pontos no espaço, cada ponto possuindo um conjunto de propriedades variantes no tempo. O método Euleriano trata o fluido como um meio contínuo e utiliza na análise, portanto, a teoria matemática dos campos.

O fluido como um meio contínuo

Apesar de sua natureza molecular, os fluidos podem geralmente ser tratados como meios contínuos. Em um meio contínuo, as propriedades (massa específica, velocidade, temperatura, etc.) variam continuamente de um ponto a outro. Esse modelo falha apenas quando as dimensões lineares do problema aproximam-se da ordem de magnitude do caminho médio das moléculas (por exemplo, em gases extremamente rarefeitos).

As propriedades de um ponto podem variar também no tempo. Assim, a representação completa de uma propriedade qualquer $\eta$ é dada por: $\eta \;=\;\eta (x,y,z,t)$. Se as propriedades do fluido não variam no tempo, o fluxo é dito estacionário. Sob fluxo estacionário, obviamente, ${\frac {\partial \eta }{\partial t}}\;=\;0$ e pode-se escrever $\eta \;=\;\eta (x,y,z)$.

O conjunto de valores de uma propriedade ao longo do fluido constitui um campo, que pode ser escalar ou vetorial, dependendo do caráter escalar ou vetorial da propriedade. Massa específica é um exemplo de propriedade escalar; velocidade é um exemplo de propriedade vetorial.

A velocidade de cada ponto pode, em alguns casos de interesse, não variar de acordo com uma ou duas das dimensões do problema. O fluxo é, então, classificado como unidimensional, bidimensional ou tridimensional, dependendo do número de dimensões requeridas para especificar totalmente o campo de velocidades.

Tensões

Uma força $\delta {\overrightarrow {F}}$, aplicada sobre uma superfície $\delta A$, num dado ponto $p$, pode ser decomposta em três componentes mutuamente ortogonais: uma normal ($F_{N}$) e duas tangenciais ($F_{T}$ e ($F_{U}$)) à superfície. Essas forças darão origem a tensões que podem ser escritas da seguinte maneira:

$\sigma \;=\;\lim _{\delta A\to 0}{\frac {\delta F_{N}}{\delta A}}\qquad \tau _{T}\;=\;\lim _{\delta A\to 0}{\frac {\delta F_{T}}{\delta A}}\qquad \tau _{U}\;=\;\lim _{\delta A\to 0}{\frac {\delta F_{U}}{\delta A}}\qquad$

A descricão completa do campo de tensões pode ser obtida tomando-se três superfícies mutuamente ortogonais, $\delta A$, $\delta B$ e $\delta C$, o que dará origem a um total de nove tensões escalares: $\sigma _{A}$, $\tau _{A_{T}}$, $\tau _{A_{U}}$, $\sigma _{B}$, $\tau _{B_{T}}$, $\tau _{B_{U}}$, $\sigma _{C}$, $\tau _{C_{T}}$, $\tau _{C_{U}}$, onde o primeiro subscrito indica a superfície de referência escolhida e o segundo, a direção considerada no espaço tridimensional. Num sistema de coordenadas cartesianas, é útil orientar as superfícies de referência de modo que sejam perpendiculares aos eixos coordenados. As tensões em um determinado ponto podem, então, ser representadas pela matriz

$\tau \;=\;{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}$

que é chamada um tensor. O campo de tensões, assim, é um campo tensorial.

Se o ponto $p$ tiver as coordenadas $(x_{0},y_{0},z_{0})$, um elemento de volume $\delta V$ nessa posição será limitado pelos seis planos

$x\;=\;x_{0}\qquad x\;=\;x_{0}\;+\;\Delta x\qquad y\;=\;y_{0}\qquad y\;=\;y_{0}\;+\;\Delta y\qquad z\;=\;z_{0}\qquad z\;=\;z_{0}\;+\;\Delta z$

Esses planos recebem os nomes de plano X negativo, plano X positivo, plano Y negativo, plano Y positivo, plano Z negativo e plano Z positivo, respectivamente. Por convenção, uma tensão $\tau _{ij}$ terá valor positivo quando sua direção (dada pelo segundo subscrito) e o plano onde ela atua forem ambos positivos ou ambos negativos. Por exemplo: $\tau _{yx}$ positiva representa uma tensão no sentido do eixo X aplicada ao plano Y positivo ou uma tensão no sentido contrário ao eixo X aplicada ao plano Y negativo.

Elasticidade

Uma propriedade importante de um fluido compressível é o seu módulo de elasticidade volumétrica, que indica como o volume varia com a pressão aplicada:

$\epsilon \;=\;-\;{\frac {dp}{({\frac {dV}{V}})}}$

Quanto maior o valor de ε, menos compressível é o fluido. O sinal negativo é necessário, uma vez que o volume diminui com o aumento de pressão.