Logística/Técnicas de previsão/Regressão simples

De acordo com Sousa (2009, p. 15), deve-se utilizar a regressão linear simples quando se está perante amostras com duas variáveis, $x\,\!$ e $y\,\!$ cujos valores estão relacionados de forma linear entre si. Exemplos típicos da regressão linear são a relação entre altura e peso de uma pessoa, ou o diâmetro do tronco e a altura de uma árvore. Em ambos os casos tem-se uma variável que depende linearmente da outra.

Sousa (2009, p. 15) define regressão linear simples como um modelo de relação entre uma variável aleatória dependente $y\,\!$ e uma variável independente $x\,\!$, com a seguinte expressão:

$y=b+mx+e\,\!$

Onde:

$y\,\!$:	variável dependente ou explicada;
$x\,\!$:	variável independente ou explicativa, cujos erros de medição são assumidos desprezáveis;
$b\,\!$:	valor da ordenada na origem;
$m\,\!$:	declive;
$e\,\!$:	erro que resulta do facto de $y\,\!$ ter características aleatórias.

Assume-se $e\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}).\,$

Os parâmetros da recta de regressão a serem estimados são $m\,\!$ e $b\,\!$.

Segundo Ferreira (2010, p. 94) e Sousa (2009, p. 8), pelo método dos mínimos quadrados (Figura 1), as estimativas dos parâmetros $m\,\!$ e $b\,\!$ são dadas por:

Figura 1. Recta de regressão obtida pelo método dos mínimos quadrados.

$m={\frac {\displaystyle \ S_{xy}}{\displaystyle \ S_{xx}}}$

$b={\overline {y}}-m{\overline {x}}\,$

Onde:

$S_{xx}\ \,$:	variabilidade de $x\,\!$, dada por $\sum _{i=1}^{n}({x_{i}})^{2}-n{\overline {x}}^{2}\,$
$S_{xy}\ \,$:	variabilidade entre $x\,\!$ e $y\,\!$, dada por $\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i})-n{\overline {x}}{\overline {y}}\,$
${\overline {x}}\,$:	média das observações da variável $x\,\!$, dada por $\,\!(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i})\!{/}\!n$
${\overline {y}}\,$:	média das observações da variável $y\,\!$, dada por $\,\!(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i})\!{/}\!n$
$n\,$:	número de observações.

Segundo Henriques (2009, p. 32), a equação de regressão deve ser vista como uma tentativa de explicação das variações da variável dependente, que são resultado de variações na variável independente.

Seja ${\overline {y}}\,\!$ a média das observações registadas para a variável dependente. Uma previsão baseada no modelo de regressão deve ter mais qualidade do que uma previsão baseada em ${\overline {y}}\,\!$.

Se a dispersão (ou erro) associado à equação da recta de regressão é muito menor do que a dispersão (ou erro) associada a ${\overline {y}}\,\!$, as previsões do modelo de regressão são melhores do que as previsões baseadas na média das observações registadas.

Para medir a qualidade do ajustamento da recta de regressão calculada (Sousa, 2009, p. 15) define-se uma quantidade, a que se chama de coeficiente de determinação, que é calculada da seguinte forma:

$R^{2}={\frac {\displaystyle \ S_{xy}^{2}}{\displaystyle \ S_{xx}S_{yy}}}$

Onde:

$R^{2}\,\!$:	coeficiente de determinação;
$S_{yy}\ \,$:	variabilidade de $y\,\!$, e é dada por $\sum _{i=1}^{n}({y_{i}})^{2}-n{\overline {y}}^{2}\,$.

Segundo Sousa (2009, p. 15), $R^{2}\,\!$ representa a percentagem da variabilidade dos dados observados que é explicada pela recta de regressão e pode tomar qualquer valor no intervalo de 0 a 1. Um valor do coeficiente de determinação igual a (ou próximo de) 1 significa que se tem um ajuste perfeito da recta de regressão calculada aos dados observados. Um valor do coeficiente de determinação igual a (ou próximo de) 0 significa um mau ajuste da recta de regressão aos dados. Henriques (2009, p. 35) considera que neste caso se está perante uma relação não linear entre as duas variáveis.

Henriques (2009, p. 35) define ainda o coeficiente de correlação simples, $r\,\!$, dado por:

$r=\pm {\sqrt {R^{2}}}\,\!$

Onde o sinal de positivo ou negativo é o mesmo que o sinal do declive $m\,\!$.

O valor de $r\,\!$ pode tomar qualquer valor no intervalo de -1 a 1, onde r = 1 ou r = -1 indicam uma relação linear perfeita (positiva e negativa, respectivamente) entre as duas variáveis, r = 0 indica uma relação não linear entre as duas variáveis ou mesmo a inexistência de uma relação entre as mesmas, e r < 0 indica uma relação linear negativa e r > 0 indica uma relação linear positiva entre as variáveis $x\,\!$ e $y\,\!$.

De acordo com Henriques (2009, p. 16), a regressão linear deve ser utilizada com cautela, pois um conjunto de pontos mostra a existência de uma relação linear entre as duas variáveis apenas para os valores do conjunto de dados. Para valores fora desse conjunto, não há nenhuma prova de linearidade. Pode ser incorrecto utilizar a recta de regressão estimada para prever valores da variável dependente correspondentes a valores da variável independente que estão fora do âmbito dos dados recolhidos.

Adnan et al. (2003, p. 30) refere que podem existir termos de erro que não tem distribuição normal, nem estão independentemente distribuídos. Nestes casos, poderá ocorrer distorção da recta de regressão e, consequentemente, valores dos parâmetros de regressão com erros. Estas aberrações (outliers) que parecem inconsistentes com o restante conjunto de dados podem ter uma grande influência na análise estatística e, consequentemente, na recta de regressão estimada. Para Rosado (2009, p. 13) o outlier é frequentemente o valor máximo ou mínimo da amostra, embora a discordância de valores possa não se manifestar exclusivamente nos extremos.

Para Maia (2004, p. 2), quando duas variáveis são correlacionadas, podem-se prever valores de uma variável em função do valor da outra variável, embora isso possa levar à conclusão errada de que uma variável é verdadeiramente a causa da variação da outra. De acordo com esse autor, não é possível provar uma relação de causa-efeito entre ambas as variáveis, mesmo havendo uma expressão matemática que relacione uma variável com a outra. Há, portanto, três explicações plausíveis para a existência de um modelo matemático que relaciona ambas as variáveis:

• Existência de uma relação efectiva de causa-efeito entre as variáveis;
• As duas variáveis relacionam-se com uma terceira variável;
• A correlação matemática obtida é fruto do acaso.

Maia (2004, p. 2) dá o seguinte exemplo para a terceira hipótese: há estudos que revelam alta correlação entre a variação do comprimento das saias das senhoras e a as movimentações da bolsa de Nova Iorque, ou entre os nascimentos na Inglaterra e a produção de gusa nos Estados Unidos.