Logística/Localização/Localização minisoma de múltiplas instalações/Localização minisoma de múltiplas instalações com distâncias rectilineares

Quando o objectivo é minimizar a soma das distâncias rectilineares o problema pode ser formulado como se segue (Love et al., 1988, p. 80):

$WM(X)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}w_{1ij}(|x_{i1}-a_{j1}|)+(|x_{i2}-a_{j2}|)+\sum _{i=1}^{m-1}\sum _{r={i+1}}^{m}w_{2ir}(|x_{i1}-x_{r1}|)+(|x_{i2}-x_{r2}|)$

Onde:

$\ m$ é o número de novas instalações a localizar;

$\ n$ é o número de instalações já existentes;

$\ w_{1ij}$ é a conversão da grandeza distância entre uma nova instalação $\ i$ e uma instalação já existente $\ j$ em valores de custos, com $w_{1ij}\geq 0$;

$\ w_{2ir}$ é a conversão da grandeza distância entre uma nova instalação $\ i$ e outra nova instalação $\ r$ em valores de custos, com $w_{2ir}\geq 0$;

$\ (x_{i1},x_{i2})$ é a da nova instalação $\ i$;

$\ (a_{j1},a_{j2})$ é a localização da instalação já existente $\ j$;

A minimização de $\ WM(X)$ pode ser traduzida por duas funções:

$\ WM_{1}$ que diz respeito a $\ x_{11},...,x_{m1}$ e $\ WM_{2}$ que diz respeito a $\ x_{12},...,x_{m2}$.

Genericamente:

$WM_{k}(x_{1k},...,x_{mk})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}w_{1ij}|x_{ik}-a_{jk}|+\sum _{i=1}^{m-1}\sum _{r={i+1}}^{m}w_{2ir}|x_{ik}-x_{rk}|$

Para calcular a solução óptima para um problema de múltiplas instalações de diferentes tipos com distâncias rectilineares pode-se recorrer à programação linear. Se as instalações a localizar forem do mesmo tipo, o problema não se pode resolver através de programação linear. Neste caso tem de se determinar os pontos de procura (clientes) que devem ser atribuídos a cada instalação e depois decidir a localização destas, de forma a minimizar os custos totais de transporte (Sule, 2001, p. 123).