Introdução à física/Velocidade/Exercícios

1) No ano x, houve a previsão de que a Terra se alinharia com Júpiter no dia 9 de abril do mesmo ano. Já às duas horas da madrugada do dia 1° de janeiro do ano x, os planetas Terra e Júpiter estavam perfeitamente perpendiculares entre si. Naquele mesmo instante, um observador notou um asteroide a α graus de Júpiter. O asteroide estava sendo atraído pelo campo gravitacional do sol, à velocidade constante de 40 km/s (V_A). Pelos cálculos do observador, antes que o asteroide atingisse o sol, ele sofreria uma colisão com Júpiter, no dia 25 de janeiro do mesmo ano, às duas horas da madrugada. Desconsiderando a excentricidade e inclinação da eclíptica dos planetas, ou qualquer influência da gravidade de outros corpos celestes, qual o valor de α? Considere que a Terra e Júpiter movem-se a velocidades constantes.

Para resolver o exercício, utilize uma calculadora e considere os seguintes dados:

• Velocidade da Terra (V_T)= 30 km/s;
• Velocidade de Júpiter (V_J)= 13 km/s;
• Distância entre a Terra e o Sol (D_T-S)= 1,5 x 10⁸ km;
• Distância entre Sol e Júpiter (D_J-S)= 8 x 10⁸ km;
• Deslocamento da Terra em um ano sideral (S.A_T)= 2 x π x 1,5 x 10⁸ km;
• Deslocamento de Júpiter em um ano sideral (S.A_J)= 2 x π x 8 x 10⁸ km.

Resposta

A imagem não está em escala. Primeiramento, transformemos o tempo em que o observador avistou o asteroide ao da colisão em segundos: [ I ] - $25dias\times 24horas\times 3600segundos=2,16\times 10^{6}s$ Agora, calculemos o deslocamento de Júpiter durante o período, em quilômetros e em graus, nos baseando em VJ, [ I ] e S.AJ. [ II ] - ( I ) -$S_{J}=13\times 2,16\times 10^{6}\Rightarrow 2,808\times 10^{7}km$ ( II ) -$S_{J}^{\circ }={\frac {2,808\times 10^{7}}{\frac {2\times \pi \times 8\times 10^{8}}{360}}}\cong 2^{\circ }$ Depois, saibamos a distância percorrida pelo asteroide durante o período, utilizando (VA). [ III ] - $S_{A}=40\times 2,16\times 10^{6}\Rightarrow 8,64\times 10^{7}km$ Em seguida, deve-se descobrir a distância entre o asteroide e o sol, visto que a trajetória do asteroide no momento da colisão (SA) formou uma linha imaginária perfeitamente alinhada ao raio de Júpiter com o sol (DJ-S), logo, precisaremos do resulado de [ III ]. [ IV ] - $D_{A-S}=8,64\times 10^{7}+8\times 10^{8}\Rightarrow 8,864\times 10^{8}km$ Calculemos a distância entre a Terra e o asteroide pela lei dos cossenos, em base de [ IV ], DT-S e [ II ]: [ V ] - $D_{T-A}={\sqrt {(8,864\times 10^{8})^{2}+(1,5\times 10^{8})^{2}-[2\times 8,864\times 10^{8}\times 1,5\times 10^{8}\times \cos(90+\sim 2)]}}\cong 904\;177\;435,9km$ Vejamos a corda do deslocamento de Júpiter, dada por DJ-S e [ II ]: [ VI ] - $W_{J}=2\times 8\times 10^{8}\sin {\frac {\sim 2}{2}}\cong 28\;078\;558,6km$ Saibamos o ângulo que DJ-S, faz com WJ, para o cálculo em [ VIII ]. Como trata-se de um triângulo isóceles, dois de seus ângulos são exatamente iguais, e partindo de que a soma dos ângulos internos de todo triângulo tem a soma de 180°, subtraiamos [ II ]: [ VII ] - $A_{D_{j-s}.W_{j}}={\frac {180-\sim 2}{2}}\cong 89^{\circ }$ Precisamos calcular o ângulo que WJ faz com a trajetória do asteroide. Como DA-S é uma reta perfeita, a qualquer transversal a soma dos ângulos será 360°. ADj-s.W-j e AW-j.Sa são então, ângulos suplementares: [ VIII ] - $A_{W_{j}.S_{a}}=180-\sim 89\cong 91^{\circ }$ Agora devemos calcular a distância entre Júpiter e o asteroide, novamente pela lei dos cossenos. Utilizaremos [ VI ], [ III ] e [ VIII ], como arestas e ângulo: [ IX ] - $D_{J-A}={\sqrt {\sim (28\;078\;558,6)^{2}+(8,64\times 10^{7})^{2}-(2\times \sim 28\;078\;558,6\times 8,64\times 10^{7}\times \cos \sim 91)}}\cong 91\;315\;460km$ Descubramos DT-J por meio de DT-S e DJ-S, através do teorema de Pitágoras: [ X ] - $D_{T-J}={\sqrt {(1,5\times 10^{8})^{2}+(8\times 10^{8})^{2}}}\cong 813\;941\;029,8km$ Descubramos o ângulo α, por meio da lei dos cossenos. Faremos o uso de [ X ], [ V ] e [ IX ]: [ XI ] - $\alpha =\arccos {\frac {(\sim 813\;941\;029,8)^{2}+(\sim 904\;177\;435,9)^{2}-(\sim 91\;315\;460)^{2}}{2\times \sim 813\;941\;029,8\times \sim 904\;177\;435,9}}\cong 6,35^{\circ }$