Introdução à física/Gravitação universal/Exercícios

Os exercícios a seguir referem-se ao capítulo gravitação universal.

1 O texto a seguir refere-se às questões 1 e 2.

O centro do satélite natural do planeta x, localiza-se a π x 10⁸ metros do centro do planeta constantemente. O planeta x tem massa π x 10²⁴ kg, enquanto o seu satélite π x 10²² kg.

• Qual o período sinódico do satélite?

	a) $3\pi {\sqrt {G^{-1}}}\ s$
	b) $3\pi {\sqrt {G}}\ s$
	c) $\pi {\sqrt {G^{-1}}}\ s$
	d) $\pi {\sqrt {G}}\ s$
	e) $2\pi G\ s$

2 A que velocidade o satélite se desloca?

	a) $10^{8}{\sqrt {G}}\ m/s$
	b) $10^{8}\pi {\sqrt {G}}\ m/s$
	c) $10^{8}{\sqrt {\pi G}}\ m/s$
	d) $10^{8}\pi G\ m/s$
	e) $10^{8}G\ m/s$

3

Anéis de Saturno

Os anéis de Saturno são mundialmente conhecidos. São formados de rochas, gelo e poeira. O maior deles, de extensão 2,5 x 10⁷ metros, recebe a letra B como designação. Localiza-se a 9,2 x 10⁷ metros do centro do planeta. Sabendo que a massa de Saturno é igual a 5,7 x 10²⁶ quilogramas, e a do anel B equivalente a 2,8 x 10¹⁹ quilogramas, qual das alternativas é a mais próxima da força que Saturno impõe sobre o anel B? Considere o anel homogêneo.

	a) $1,02\times 10^{21}N$
	b) $1,16\times 10^{21}N$
	c) $1,16\times 10^{28}N$
	d) $1,73\times 10^{28}N$
	e) $1,73\times 10^{31}N$

4 Em um corpo celeste perfeitamente esférico, de raio de 0,5√Gx 10¹⁵ metros, que orbita uma estrela de 1 x 10³¹ quilogramas, qual o valor da acelaração gravitacional? Considere 6,67 x 10^-11 a constante gravitacional.

	a) 30 m/s2
	b) 35 m/s2
	c) 40 m/s2
	d) 45 m/s2
	e) 50 m/s2

5 Considere o texto a seguir para as questões 5 e 6.

Um objeto A, de massa 100 kg, está em repouso. É posto um objeto B, de massa 200 kg, a 0,5 metro de distância de A. Tais objetos têm volume desprezível.

• Qual o módulo da força de gravitação que atua sob os objetos?

	a) $2,668\times 10^{-6}N$
	b) $5,336\times 10^{-6}N$
	c) $4\times 10^{4}N$
	d) $8\times 10^{4}N$
	e) $2,668\times 10^{6}N$

6 Supondo haver na superfície uma força de atrito de coeficiente igual a 0,5 N.m, qual deve ser o aumento mínimo da massa de A para existir movimento de B?

	a) $1\times 10^{-8}kg$
	b) $9,4\times 10^{-8}kg$
	c) $1,9\times 10^{9}kg$
	d) $3,7\times 10^{9}kg$
	e) $1\times 10^{14}kg$

7 Em um distante sistema solar, orbitam ao redor de uma estrela cinco planetas:

Planeta	Velocidade orbital (m/s)	Raio da órbita (m)
$\alpha$	${\sqrt {10^{9}}}$	$1\times 10^{11}$
$\beta$		$5\times 10^{9}$
$\gamma$	${\sqrt {2\times 10^{9}}}$
$\delta$		$4\times 10^{10}$
$\epsilon$	${\sqrt {1,25\times 10^{10}}}$

Considerando a constante gravitacional igual a $6,67\times 10^{-11}$, e que todos os planetas deste sistema têm órbita perfeitamente circular, partindo da estrela, qual a ordem dos planetas?

	a) $\alpha ,\delta ,\gamma ,\beta ,\epsilon$
	b) $\beta ,\delta ,\alpha ,\gamma ,\epsilon$
	c) $\beta ,\alpha ,\gamma ,\delta ,\epsilon$
	d) $\beta ,\epsilon ,\delta ,\alpha ,\gamma$
	e) $\alpha ,\delta ,\epsilon ,\beta ,\gamma$

8 Considere as seguintes proposições:

I - Um planeta de massa m que orbita uma estrela de massa 10⁵m a uma distância r, tem energia cinética igual a E_c²;

II - Um planeta com energia cinética E_c², a uma distância de 2r, orbita uma estrela de massa 10⁶m;

III - Um planeta que orbita uma estrela de massa 10⁶m, a uma distância de 20r, tem energia cinética igual a E_c e se move à velocidade v;

IV - Um planeta com energia cinética igual a 2E_c, se move à velocidade v.

Assinale a alternativa verdadeira, à respeito das proposições, considerando que todos planetas acima têm órbita circular:

	a) Se em II m = 1025kg e r = 6,67 x 1011m, Fg= 1055N;
	b) Em III, se r for duplicada, Ec também duplicará;
	c) Sendo v a velocidade dos planetas, VII>VI>VIII;
	d) Quando M = 106m, se r = 40-1, v = 1000G;
	e) Em IV, o planeta tem massa 4mrG.

Citação: O programa Hélios consistiu de duas sondas espaciais, Hélios 1 e Hélios 2, lançadas na década de 1970 pela Alemanha Ocidental e pelos Estados Unidos da América, utilizando foguetes da Força Aérea dos Estados Unidos. Realizaram as órbitas mais próximas do Sol, a cerca de 45 milhões de quilômetros, inferior à órbita de Mercúrio. escreveu: «Wikipédia»

As sondas sempre ficaram entre Mercúrio e Sol sendo afetadas somente por seus campos gravitacionais, a distância entre esses dois corpos celeste varia de 46 a 70 milhões de quilômetros. Determine a aceleração máxima e mínima se a sonda pesava 370 kg e a Terra 6×1024. Considere que Mercúrio tem 0,05 da massa da Terra e o Sol 330000 Terra.

Respostas

Questão 1 A alternativa correta é a a. Posto que a distância entre o planeta e o satélite é sempre a mesma, a órbita do satélite é perfeitamente circular. Então, temos: $t=2\pi {\sqrt {\frac {(10^{8}\pi )^{3}}{10^{24}\pi G}}}\Rightarrow 2\pi {\sqrt {\frac {10^{2}4\pi ^{3}}{10^{24}\pi G}}}\Rightarrow 2\pi {\sqrt {\frac {\pi ^{2}}{G}}}\Rightarrow 3\pi {\sqrt {G^{-1}}}$ Questão 2 A alternativa correta é a a. Temos: $v={\sqrt {\frac {10^{24}\pi G}{10^{8}\pi }}}\Rightarrow {\sqrt {10^{16}G}}$ Questão 3 A alternativa correta é a a. Como trata-se de um anel homogêneo, seus centros de massas são exatamente em seu meio. Assim, deve-se considerar metade de sua extensão: $F_{g}={\frac {6,67\times 10^{11}\times 5,7\times 10^{26}\times 2,8\times 10^{19}}{(9,2\times 10^{7}+1,25\times 10^{7})^{2}}}={\frac {1,064532\times 10^{36}}{1,045\times 10^{15}}}\cong 1,018\times 10^{21}$ Questão 4 A alternativa correta é a d. Pela aceleração gravitacional: $g={\frac {GM}{(0,5\times 10^{15}{\sqrt {G}})^{2}}}\to {\frac {GM}{0,25\times 10^{30}G}}\to {\frac {M}{0,25\times 10^{30}}}\to {\frac {10^{31}}{0,25\times 10^{30}}}\to {\frac {10}{0,25}}\Rightarrow 40$ Questão 5 A alternativa correta é a b Pela força de gravitação, temos: $F_{g}={\frac {6,67\times 10^{-11}\times 100\times 200}{0,5^{2}}}$ $F_{g}={\frac {1,334\times 10^{-6}}{0,25}}$ $F_{g}=5,336\times 10^{-6}$ - Assim, a força e gravitação é equivalente a 5,336 x 10-6 N. Questão 6 A alternativa correta é a c. Para existir movimento, a força de gravitação deve ser maior que a de atrito, logo: $F_{g}>F_{a}$ ${\frac {6,67\times 10^{-11}\times (100+\Delta m)\times 200}{0,5^{2}}}>0,5\times 200$ $5,336\times 10^{-6}+(5,336\times 10^{-8}\Delta m)>100$ $\Delta m>{\frac {100-5,336\times 10^{-6}}{5,336\times 10^{-8}}}\cong 1\;874\;062\;868$ -Assim, a massa de A deve, ao menos, ter mais 1 874 062 868 kg. Questão 7 A alternativa correta é a d. Veja, abaixo, a solução da questão: Como d (distância) = r (raio), $r_{\beta }<r_{\delta }<r_{\alpha }$, e então, as únicas alternativas que podem estar corretas são b e d. Para então, resolvê-la, calcula-se o raio dos demais planetas, utilizando a fórmula da velocidade planetária. Mas antes, é necessário descobrir a massa da estrela (M): $v_{\alpha }={\sqrt {\frac {GM}{r_{\alpha }}}}\to v_{\alpha }^{2}={\frac {GM}{r_{\alpha }}}\to M={\frac {v_{\alpha }^{2}r_{\alpha }}{G}}={\frac {({\sqrt {10^{9}}})^{2}\times 10^{11}}{6,67\times 10^{-11}}}={\frac {10^{31}}{6,67}}$ Como se descobriu a massa da estrela, agora é possível efetuar as demais equações: $v_{\gamma }={\sqrt {\frac {GM}{r_{\gamma }}}}\to {\sqrt {2\times 10^{9}}}={\sqrt {\frac {6,67\times 10^{-11}\times {\frac {10^{31}}{6,67}}}{r_{\gamma }}}}\to 2\times 10^{9}={\frac {10^{-11}\times 10^{31}}{r_{\gamma }}}\to r_{\gamma }=2\times 10^{11}$ $v_{\epsilon }={\sqrt {\frac {GM}{r_{\epsilon }}}}\to {\sqrt {1,25\times 10^{10}}}={\sqrt {\frac {6,67\times 10^{-11}\times {\frac {10^{31}}{6,67}}}{r_{\epsilon }}}}\to 1,25\times 10^{10}={\frac {10^{-11}\times 10^{31}}{r_{\epsilon }}}\to r_{\epsilon }=1,25\times 10^{10}$ Deste modo, conclui-se que $r_{\beta }<r_{\epsilon }<r_{\delta }<r_{\alpha }<r_{\gamma }$. Questão 8 A alternativa correta é a c. Veja, abaixo, a solução da questão: Como EcI = EcII (Ec2), [ 1 ] - ${\frac {m\times G\times 10^{5}m}{2r}}={\frac {xm\times G\times 10^{6}m}{4r}}\to x={\frac {1}{5}}$ -Assim, a massa de II é equivalente a 0,2m. Em III, temos: [ 2 ] - $E_{c}={\frac {xmv^{2}}{2}}={\frac {xm\left({\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20r}}}\right)^{2}}{2}}={\frac {xm\times 10^{6}mG}{40r}}$ -Deste modo, foi descoberto o valor de v e de Ec. Já que EcIV = 2xEcIII = 2x[ 2 ]: [ 3 ] - $2E_{c}={\frac {2xmv^{2}}{2}}=xm\left({\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20r}}}\right)^{2}={\frac {xm\times 10^{6}mG}{20r}}$ -Descobriu-se a energia cinética em IV. A partir dos dados obtidos, analisemos, primeiramente, a questão a: [ a ] - ${\frac {6,67\times 10^{-11}\times 10^{5}\times 10^{25}\times 10^{25}}{(6,67\times 10^{11})^{2}}}={\frac {10^{22}}{6,67}}$ -Logo, a alternativa a é falsa. Na alternativa b, temos, a partir de [ 2 ]: [ b ] - $2E_{c}={\frac {2}{1}}\times {\frac {xm\times 10^{6}mG}{40r}}={\frac {xm\times 10^{6}mG}{{\frac {1}{2}}\times 40r}}$ - Portanto, se Ec duplicar, r será dividido pela metade. Assim, a alternativa b é falsa. Na alternativa c, consideraremos [ 2 ]: [ c ] ( I ) - ${\sqrt {\frac {10^{5}mG}{r}}}$ ( II ) - ${\sqrt {\frac {10^{6}mG}{2r}}}={\sqrt {\frac {5^{6}mG}{r}}}$ ( III ) - ${\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20r}}}={\sqrt {\frac {5^{5}mG}{r}}}$ - Então, a alternativa c é verdadeira. Em d, consideraremos III: [ d ] - $v={\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20\times 40^{-1}}}}={\sqrt {2\times 10^{6}mG}}\Rightarrow 1000{\sqrt {2mG}}$ -Assim, a alternativa d é falsa. Na alternativa e, temos as energias cinéticas, em II = Ec² e em III = 2Ec, portanto, utilizaremos [ 1 ] e [ 3 ]: [ e ] - ${\sqrt {\frac {{\frac {1}{5}}mG\times 10^{6}m}{4r}}}={\frac {\frac {xm\times 10^{6}mG}{20r}}{2}}\to xm={\frac {40r{\sqrt {\frac {10^{6}mG}{20r}}}}{10^{6}m^{2}G}}={\frac {2\times 10^{4}rm{\sqrt {\frac {G}{5r}}}}{10^{6}mG}}=2\times 10^{-2}r{\sqrt {(5rG)^{-1}}}$ -Logo, a alternativa e é falsa.