Introdução à física/Estática/Equilíbrio dos corpos rígidos

Quando as forças que agem num corpo são nulas, diz-se que o corpo está equilibrado. Nesses casos, há ausência de aceleração, e consequentemente, o corpo não gira em torno de si. Logo, corpos em equilíbrio satisfazem a seguinte equação:

$\sum M_{H}=\sum M_{AH}$

Onde M_H é a soma das forças que empurram o corpo para o sentido horário (momento horário) e M_AH, as que empurram para o sentido anti-horário (momento anti-horário). Para calcular cada força individualmente, deve-se desenvolver a equação acima:

$\sum M=M_{1}+M_{2}+M_{3}+...+M_{n}$

Onde:

$M=F\times d$

Em que:

• M é o momento, em newtons por metro (N/m);
• F a força, em newtons (N);
• d a distância entre um apoio e a força em questão, em metros (m).

No teorema de Lammy:
${\frac {F_{1}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {F_{2}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {F_{3}}{\sin \theta _{3}}}$

Estática do ponto material

Quando há duas forças atuando sobre um corpo que está em equilíbrio, deve-se fazer a decomposição de vetores, considerando a soma dos momentos igual a zero. Quando há três forças, o melhor método é o teorema de Lammy. Quando há mais de três forças, deve-se fazer a decomposição por fórmulas conjuntas (neste último, R = 0).

Demonstração

a) Um objeto de 1kg encontra-se em equilíbrio em uma rampa que forma ângulo de 30° com a superfície. Qual o coeficiente de atrito que há na rampa? Considere a aceleração gravitacional no local igual a 10 m/s².

• Como o objeto está em equilíbrio, os momentos são de igual intensidade. Assim, a força de atrito deve ser igual à força peso. Deve-se, ainda, decompor os vetores:

$\sum M_{H}=\sum M_{AH}\to F_{at}=P\sin \theta \to N\mu =P\sin \theta \to mg\mu \cos \theta =mg\sin \theta$

• Substituindo-se por números:

$8,6\mu =5\Rightarrow 0,57\ N.m$

b) Duas cordas ideais (A e B) presas a um teto plano, dispostas 75° uma da outra, prendem uma luminária L, de 2kg, que se encontra em equilíbrio. A luminária e a corda A formam ângulo de 135°. Qual a tração imposta em cada corda, considerando g = 10 m/s²?

${\frac {20}{\sin 75}}={\frac {A}{\sin(360-135-75)}}={\frac {B}{\sin 135}}$

• Considerando A:

${\frac {A}{0,5}}=20,7\Rightarrow 10,35\ N$

• E considerando B:

${\frac {B}{0,7}}=20,7\Rightarrow 29,28\ N$

Corpos extensos sobre um apoio

Nesses casos, o(s) corpo(s) está(ão) em equilíbrio sobre um apoio.

Demonstração

a) Uma gangorra de quatro metros, homogênea e de massa despresível, é sustentada por um apoio, exatamente a dois metros das extremidades. Uma criança A de massa 30kg está sentada a 2 metros do apoio da gangorra, e uma criança B de massa 40kg está sentada há 1,5 metros do apoio. A gangorra está em equilíbrio, considerando a aceleração gravitacional 10 m/s²?

• Primeiramente, deve-se verificar cada momento. Enquanto a criança A leva a gongorra a girar a um lado, a criança B leva ao outro. Temos então:

$M_{A}=M_{B}\to F_{A}d_{A}=F_{B}d_{B}$

• Como a força que gera o movimento é a força peso:

$P_{A}d_{A}=P_{B}d_{B}$

• Substituindo por números:

$30\times 10\times 2=40\times 10\times 1,5\to 600=600$

Logo, a gangorra está em equilíbrio.

b) Em um salão de festas, há uma mesa de seis metros, sustentada por um apoio localizado exatamente a 3,5 metros da extremidade esquerda, homogênea e de massa A. À esquerda do apoio, há vários objetos: um objeto B de 2kg, localizado a 1,5 metro do apoio e um objeto C de 1kg, a 2 metros. A 1,5 metro do apoio, à direita, está localizado um objeto D, de massa 10kg. Qual a massa da mesa (A), considerando que a mesa está em equilíbrio? Considere g = 10 m/s. Observe que o centro de gravidade da mesa, está situado à esquerda do apoio, logo, as forças A, B e C são do momento da esquerda, e a força D da direita:

$M_{esquerda}=M_{direita}\to 10(Ad_{A}+Bd_{B}+Cd_{C})=10Dd_{D}$

• Substituindo-se por números:

$(10A\times 0,5)+(20\times 1,5)+(10\times 2)=100\times 1,5\to 5A+50=150$

• Então:

$5A=100\to A=20$

Corpos extensos sobre dois apoios

Nestes casos, o corpo é sustentado por dois apoios. Para o sistema estar em equilíbrio, as forças seguem e satisfazem duas fórmulas, a primeira, a do equilíbrio vertical, já explicada anteriormente:

$\sum M_{H}=\sum M_{AH}\to F_{1}+F_{2}=F_{A}+F_{B}+F_{C}+...+F_{n}$

Onde:

• F₁ e F₂ são as forças dos apoios (momento de sustentação);
• F_A + F_B + F_C + ... + F_n são as forças em questão (momento de carga).

E a do equilíbrio de rotação, em que a soma dos momentos é equivalente entre a distância d dos apoios multiplicado pela força F do apoio. Todavia, as distâncias entre as forças e o apoio 1 é igual à distância multiplicada pela força do apoio 2:

$F_{A}d_{A}+F_{B}d_{B}+F_{C}d_{C}+...+F_{n}d_{n}=F_{x}d_{x}$

Onde:

• F é igual às forças de cada objeto, em newtons (N);
• d é a distância entre a força em questão e o apoio 1, em metros (m);
• F_x é a força do apoio 2, em newtons (N);
• d_x é a distância entre o apoio 1 e 2, em metros (m).

Demonstração

Em uma cidade do interior do estado do Mato Grosso, pretende-se construir uma ponte. Os engenheiros decidiram que a carga mínima (P) que a ponte deveria sustentar é de trinta toneladas. A ponte é sustentada por duas pilastras, A e B. Qual a carga sustentada por cada pilastra, sendo que a ponte tem cinco metros, sendo distância de um do outro exatamente cinco metros? Considere g = 10 m/s².

• Pelo equilíbrio de rotação, tem-se as seguintes distâncias e forças peso (observe que a distância da força de carga foi considerada 2,5 metros):

$300.000\times 2,5=F_{A}\times 5\to 750.000=5F_{A}\to F_{A}=150.000$

• E pelo equilíbrio vertical:

$F_{A}+F_{B}=P\to 150.000+F_{B}=300.000\to F_{B}=150.000$

Ou seja, cada pilastra sustenta, no mínimo, 150.000 N.