Guia de problemas matemáticos/Geometria plana/Problema das circunferências tangentes 1

Descrição do problema

Três circunferências de raios 6 cm, 7 cm e 8 cm tangenciam-se externamente de modo que a primeira tangencia a segunda; a segunda tangencia a terceira e esta tangencia a primeira. Sejam P, S e Q os seus pontos de tangência. Calcule o raio da circunferência inscrita no triângulo $PSQ$.

Solução

De acordo com o problema, podemos criar a figura adiante:

Imagem ilustrativa do problema.

Sendo o triângulo ABC formado pelos centros das circunferências e o triângulo pqs formado pelos pontos de tangência entre as circunferências. Perecebe-se também que os segmentos AB, AC e BC têm 13, 14 e 15 centímetros respectivamente. A cirunferência k está inscrita no triângulo pqs, sendo r o seu raio.

Olhando atentamente, podemos calcular a área do triângulo ABC pela fórmula $A={\sqrt {p.(p-a).(p-b).(p-c)}}$ (onde p é o semiperímetro do triângulo e a, b e c são seus lados) e, em seguida, aplicar a fórmula $A={\frac {a.b.\sin \alpha }{2}}$ para cada ângulo do referido triângulo. Dessa maneira, conseguiremos o valor dos senos dos três ângulos para, posteriormente, calcularmos seus respectivos cossenos e prosseguirmos com o raciocínio.

Calculando o valor de $\cos \alpha$

$A={\sqrt {21.(21-13).(21-14).(21-15)}}\rightarrow A={\sqrt {21.8.7.6}}\rightarrow A={\sqrt {2^{4}.3^{2}.7^{2}}}\rightarrow A=84cm^{2}$

$A={\frac {AB.AC.\sin \alpha }{2}}\rightarrow 84={\frac {13.14.\sin \alpha }{2}}\rightarrow 84=13.7.\sin \alpha \rightarrow \sin \alpha ={\frac {12}{13}}$

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\rightarrow {\frac {144}{169}}+\cos ^{2}\alpha =1\rightarrow \cos ^{2}\alpha =1-{\frac {144}{169}}\rightarrow \cos ^{2}\alpha ={\frac {25}{169}}\rightarrow \cos \alpha ={\frac {5}{13}}$

Calculando o valor de $\cos \beta$

$A={\frac {AB.BC.\sin \beta }{2}}\rightarrow 84={\frac {13.15.\sin \beta }{2}}\rightarrow 168=13.15.\sin \beta \rightarrow \sin \beta ={\frac {56}{65}}$

$\sin ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta =1\rightarrow {\frac {3136}{4225}}+\cos ^{2}\beta =1\rightarrow \cos ^{2}\beta =1-{\frac {3136}{4225}}\rightarrow \cos ^{2}\beta ={\frac {1089}{4225}}\rightarrow \cos \beta ={\frac {33}{65}}$

Calculando o valor de $\cos \gamma$

$A={\frac {BC.AC.\sin \gamma }{2}}\rightarrow 84={\frac {14.15.\sin \gamma }{2}}\rightarrow 12=15.\sin \gamma \rightarrow \sin \gamma ={\frac {4}{5}}$

$\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma =1\rightarrow {\frac {16}{25}}+\cos ^{2}\gamma =1\rightarrow \cos ^{2}\gamma =1-{\frac {16}{25}}\rightarrow \cos ^{2}\gamma ={\frac {9}{25}}\rightarrow \cos \gamma ={\frac {3}{5}}$

Agora, com os valores dos cossenos dos ângulos em mãos, podemos calcular o valor dos lados do triângulo pqs pela Lei dos Cossenos.

Calculando o valor de ${\overline {ps}}$

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Aps tem-se:

$ps^{2}=6^{2}+6^{2}-2.6.6.\cos \alpha \rightarrow ps^{2}=2.36-2.36.{\frac {5}{13}}\rightarrow ps^{2}={\frac {26.36-10.36}{13}}\rightarrow ps^{2}={\frac {16.36}{13}}$ $\rightarrow ps={\frac {24}{\sqrt {13}}}\rightarrow ps={\frac {24{\sqrt {13}}}{13}}cm$

Calculando o valor de ${\overline {pq}}$

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Bpq tem-se:

$pq^{2}=7^{2}+7^{2}-2.7.7.\cos \beta \rightarrow pq^{2}=2.49-2.49.{\frac {33}{65}}\rightarrow pq^{2}={\frac {130.49-66.49}{65}}\rightarrow pq^{2}={\frac {64.49}{65}}\rightarrow$ $pq={\frac {56}{\sqrt {65}}}\rightarrow pq={\frac {56{\sqrt {65}}}{65}}cm$

Calculando o valor de ${\overline {qs}}$

Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo Cqs tem-se:

$qs^{2}=8^{2}+8^{2}-2.8.8.\cos \gamma \rightarrow qs^{2}=2.64-2.64.{\frac {3}{5}}\rightarrow qs^{2}={\frac {10.64-6.64}{5}}\rightarrow qs^{2}={\frac {4.64}{5}}\rightarrow qs={\frac {16}{\sqrt {5}}}$ $qs={\frac {16{\sqrt {5}}}{5}}cm$

Pois bem. Agora, podemos descobrir o valor do raio da circunferência inscrita no triângulo ABC através da fórmula $R={\frac {A}{p}}$, na qual R é o raio da circunferência inscrita no triângulo, A e p são a área e o semi-perímetro do mesmo. Podemos notar que esse raio será também o da circunferência circunscrita ao triângulo pqs e, a partir dele e dos lados do referido triângulo, podemos encontrar o que o problema pede: o raio da circunferência inscrita nele.

Calculando o valor do raio da circunferência inscrita em $pqs$

Aplicando a fórmula do raio da circunferência inscrita num triângulo qualquer para o triângulo ABC: $R={\frac {A_{ABC}}{p_{ABC}}}\rightarrow R={\frac {84}{21}}\rightarrow R=4cm$

Como esse também é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo pqs podemos calcular o tão esperado raio da circunferência inscrita neste:

$r={\frac {A_{pqs}}{p_{pqs}}}$

Mas: $A={\frac {pq.qs.ps}{4R}}$, sendo R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo pqs. Portanto:

$r={\frac {pq.qs.ps}{4Rp}}\rightarrow r={\frac {\left({\frac {24{\sqrt {13}}}{13}}\right).\left({\frac {56{\sqrt {65}}}{65}}\right).\left({\frac {16{\sqrt {5}}}{5}}\right)}{4.4.\left({\frac {{\frac {24{\sqrt {13}}}{13}}+{\frac {56{\sqrt {65}}}{65}}+{\frac {16{\sqrt {5}}}{5}}}{2}}\right)}}\rightarrow$ $r={\frac {\left({\frac {24.56.16.65}{13.5.65}}\right)}{8.8.\left({\frac {15{\sqrt {13}}+7{\sqrt {65}}+26{\sqrt {5}}}{65}}\right)}}\rightarrow$

$r={\frac {24.56.16}{8.8.\left(15{\sqrt {13}}+7{\sqrt {65}}+26{\sqrt {5}}\right)}}\rightarrow r={\frac {21.16}{{\sqrt {13}}.\left(15+7{\sqrt {5}}\right)+26{\sqrt {5}}}}\rightarrow$

$r={\frac {21.16}{{\sqrt {13}}\left(15+7{\sqrt {5}}+2{\sqrt {13}}{\sqrt {5}}\right)}}\rightarrow r={\frac {21.16}{{\sqrt {13}}{\sqrt {5}}\left(3{\sqrt {5}}+7+2{\sqrt {13}}\right)}}\rightarrow$

$r={\frac {21.16{\sqrt {65}}}{65.\left(3{\sqrt {5}}+7+2{\sqrt {13}}\right)}}$

Esse foi o valor final que eu encontrei para r. Eu ainda não consegui racionalizar mais, a ponto de tornar expressão mais simples... Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.