Guia de problemas matemáticos/Equações e inequações/Número de soluções inteiras para a inequação 2

O problema

Se a e b são dois números reais, denotamos por min(a,b) o menor dos números a e b, isto é,

$\operatorname {min} (a,b)={\begin{cases}a,&{\mbox{se }}a\leq b,\\b,&{\mbox{se }}a>b.\end{cases}}$

Calcule o número de soluções inteiras negativas da inequação min(2x - 7, 8 - 3x) > -3x + 3.

Uma solução

Nesse problema (como em praticamente todos os formados por inequações) teremos que trabalhar com intervalos. Primeiramente, devemos encontrar os intervalos a que deve pertencer x para que a ou b seja o menor número. Pela definição dada no enunciado, vamos encontrar esse intervalo para que a seja o menor:

$2x-7\leq 8-3x\longrightarrow 5x\leq 15\longrightarrow x\leq 3$

Vamos agora repetir a operação, dessa vez procurando pelo intervalo a que deve pertencer x de forma que b seja o menor:

$2x-7\geq 8-3x\longrightarrow 5x\geq 15\longrightarrow x\geq 3$

A desigualdade proposta pelo problema pede que o menor dos números, a ou b, seja maior que -3x + 3. Para tanto, devemos encontrar o intervalo que contendo x, tornará verdadeira a desigualdade. Faremos isso da seguinte maneira: primeiramente, vamos encontrar o intervalo em que x nos dará como menor o número a e, ao mesmo tempo, maior que -3x + 3. Após, faremos o mesmo com o número b. Então:

$2x-7>-3x+3\longrightarrow 5x>10\longrightarrow x>2$

Vemos aqui que para qualquer x real, maior que 2, a será maior que -3x + 3. Agora devemos fazer a intersecção desse intervalo com o intervalo que nos fornece a como o menor. Isso resultará em:

$2<x\leq 3$.....(I)

Agora, para o número b:

$8-3x>-3x+3\longrightarrow 8>3$

Aqui, temos que para qualquer x real, o número b será maior que -3x + 3. Portanto, para que b seja o menor e, ao mesmo tempo, maior que -3x + 3, devemos ter:

$x\geq 3$.....(II)

Finalmente, para encontrarmos todos os valores de x que, dando a ou b como o menor número e, ao mesmo tempo, fazendo com que esse número seja maior que -3x + 3, precisamos efetuar a intersecção entre os conjuntos (I) e (II). Essa operação nos dará:

$x>2$

Portanto, o conjunto solução dessa inequação será $S=\left(x\in \Re /x>2\right)$, ou seja, x deve ser positivo e maior que 2. Isso nos leva a concluir que não existem soluções inteiras e negativas para a desigualdade proposta. Matematicamente falando:

$\left((I)\cap (II)\right)\cap Z_{-}^{*}=\emptyset$

E terminamos o problema.

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Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.