Álgebra linear/Formas canônicas elementares

Autovetores e autovalores

Definição

Seja V um espaço vetorial sobre K, e seja T um operador linear sobre V. Um vetor não nulo $v$ de V é dito um autovetor (ou vector próprio) de T se existir um $\lambda \in K$ tal que $T(v)=\lambda v\;$. Neste caso, $\lambda \;$ é dito autovalor (ou valor próprio) de T.

Um significado prático:

• Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
• Para cada autovalor $\lambda \;$, podem existir vários autovetores $v\;$ tais que $T(v)=\lambda v\;$. Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor $\lambda \;$. Haverá infinitos autovetores associados a cada autovalor, exceto no caso do corpo K ser um corpo finito.

Prove:

• Se v é um autovetor de T associado ao autovalor $\lambda$, e $a\in K\,$ é um escalar não-nulo, então $av$ também é um autovetor associado a $\lambda$.
• O conjunto $V_{\lambda }=\{v\in V|T(v)=\lambda v\}$ é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que $V_{\lambda }$ é o conjunto de todos os autovetores associados a $\lambda$ unido ao vetor nulo.

$T-\lambda I$: um operador importante

O operador $(T-\lambda I):V\mapsto V$, leva os autovetores no vetor nulo

Como $(T-\lambda I)(v)=0,\forall v\in V_{\lambda }$. Logo $V_{\lambda }\;$ é o núcleo da transformação de $T-\lambda I$.

Teorema do operador $T-\lambda I$

Seja $T-\lambda I$ um operador linear sobre V de dimensão finita e $\lambda$ um valor característico do operador T sobre V. O operador $T-\lambda I$ é singular, se e somente se, det($T-\lambda I$)=0.

Prova:

• Definindo uma matriz associada ao operador

O operador $T-\lambda I$ é singular, ou seja, não é injetor. Existe uma matriz $A=[T]_{\beta },\beta \;$ é a base do operador T sobre V. Assim tome $\forall v\in V,(T-\lambda I)(v)=T(v)-\lambda I(v)=Av-\lambda I(v)=(A-\lambda I)(v)$, ou seja, $\forall v\in V,(T-\lambda I)(v)=(A-\lambda I)(v)$.

• calculando a determinante sobre o polinômio

Autovetores de uma matriz quadrada

Definição

Um autovalor de uma matriz $A_{n\times n}$ é um escalar $\lambda \in K$ tal que existe um vetor não nulo v, com $Av=\lambda v\;$, onde v é chamado de autovetor de A associado a $\lambda \;$.

$v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

Polinômio característico

Definição

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio $p(\lambda )=\det(A-\lambda I)$ é chamado de polinômio característico de A.

Prove:

• Seja $\alpha =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor $\lambda \;$. Então $[v]_{\alpha }\;$ é um autovetor da matriz $[T]_{\alpha }\;$ associado ao autovalor $\lambda \;$ de $[T]_{\alpha }\;$
• Se $\alpha \;$ e $\beta \;$ são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de $[T]_{\alpha }\;$ é igual ao polinômio característico de $[T]_{\beta }\;$.

Exemplo:

Operador diagonalizável

Definição

Um operador T é dito diagonalizável se existir uma base $\alpha =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ de V tal que $[T]_{\alpha }$ é uma matriz diagonal.

Definição

Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas semelhantes se existir uma matriz P, de mesma ordem, inversível, tal que $B=P^{-1}AP$.

Definição

Uma matriz $A_{n}$ é dita diagonalizável se $A_{n}$ for semelhante a uma matriz diagonal D (ou seja, existe uma matriz P, inversível, tal que $D=P^{-1}AP$).

Prove:

• Se $\alpha =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ tais que $\lambda _{i}\neq \lambda _{j}$ se $i\neq j$, então $\alpha$ é LI.
• Seja $\alpha =\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ uma base de V. A matriz $[T]_{\alpha }$ é diagonal $\iff \alpha$ é uma base de V formada por autovetores de T
• Se T é auto-adjunto e $\lambda$ é um autovalor de T, então $\lambda \in R$.
• Se T é auto-adjunto e $v_{1},\ldots ,v_{n}$ são autovetores de T associados aos autovalores $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ (distintos), respectivamente, então $v_{i}\perp v_{j}$, se $i\neq j$.
• Se T é unitário e $\lambda$ é um autovalor de T, então $|\lambda |=1$.
• Se $\lambda$ é um autovalor de T e T é normal, então ${\overline {\lambda }}$ é autovalor de $T^{*}$.
• $V_{\lambda }$ é T-invariante.
• $V_{\lambda }^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se T é normal e $\lambda$ é autovalor de T, então $V^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se T é normal, então $V_{\lambda }^{\perp }$ é T-invariante.