Guia de problemas matemáticos/Funções/Funções do 2º grau/Maior valor da expressão

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O problema[editar | editar código-fonte]

Se 2x + y = 1, com x e y reais, então calcule o maior valor da expressão x² + 3xy + y².

Uma solução[editar | editar código-fonte]

Pela primeira equação dada, podemos calcular o valor de y em função de x:



Agora podemos substituir esse valor na expressão dada. Vamos chamar essa expressão de f(x). Então:



Acabamos numa função do 2º Grau em x. Então, como faremos para descobrir seu valor máximo? Bom, como o coeficiente de é negativo, a parábola dessa função será voltada para baixo. Assim, podemos calcular seu valor máximo através da relação:


, na qual yv é o vértice da função (no nosso caso, o valor máximo), ∆ é o discriminante das equações do 2º Grau e a é o coeficiente de . Portanto:



E o problema termina.


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Agradecimentos[editar | editar código-fonte]

  • A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.