Guia de problemas matemáticos/Funções/Funções do 2º grau/Maior valor da expressão

O problema

Se 2x + y = 1, com x e y reais, então calcule o maior valor da expressão x² + 3xy + y².

Uma solução

Pela primeira equação dada, podemos calcular o valor de y em função de x:

$y=1-2x$

Agora podemos substituir esse valor na expressão dada. Vamos chamar essa expressão de f(x). Então:

$f(x)=x^{2}+3x\left(1-2x\right)+\left(1-2x\right)^{2}$

$f(x)=x^{2}+3x-6x^{2}+1-4x+4x^{2}$

$f(x)=-x^{2}-x+1$

Acabamos numa função do 2º Grau em x. Então, como faremos para descobrir seu valor máximo? Bom, como o coeficiente de x² é negativo, a parábola dessa função será voltada para baixo. Assim, podemos calcular seu valor máximo através da relação:

$y_{v}={\frac {-\Delta }{4a}}$ , na qual y_v é o vértice da função (no nosso caso, o valor máximo), ∆ é o discriminante das equações do 2º Grau e a é o coeficiente de x². Portanto:

$y_{v}={\frac {-\left(1+4\right)}{4.(-1)}}={\frac {-5}{-4}}={\frac {5}{4}}$

E o problema termina.

Caso você tenha uma outra solução, sinta-se livre para editar o artigo, apenas utilize a aba "Discussão" para discutir as soluções antes de alterar o tópico. Sinta-se livre também para comentar, criticar ou sugerir qualquer coisa.

Agradecimentos

• A Ângelo Alberto de Castro Almeida, que me enviou esse e outros vários problemas do CACN, juntamente com suas soluções, colaborando para o desenvolvimento do Guia.