Teoria de números/Equações diofantinas

Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.

Considere o seguinte problema:

Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?

Matemáticamente, o que se quer saber é:

Quais os valores de $n\,\!$, para os quais a solução $2x+5y=n\,\!$ possui alguma solução inteira?

Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.

As equações diofantinas lineares

A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: $ax+by=n\,\!$. Aqui, os inteiros $a\,\!$ e $b\,\!$ são fixados.

Quando é que tal equação possui solução?

O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.

Teorema

Insira o enunciado do teorema.

Demonstração

Primeiramente, observe que se $(x,y)\,\!$ é uma solução, então $d|ax+by=n\,\!$ (pela linearidade da divisibilidade). Reciprocamente, se $d|n\,\!$, então $n=n'd\,\!$. Mas pelo teorema de Bézout, existem inteiros $r,s\,\!$ tais que $ar+bs=d\,\!$. Logo, multiplicando cada membro por $n'\,\!$, tem-se: $n'(ar+bs)=n'd=n\,\!$ ou seja, basta tomar $x=n'r\,\!$ e $y=n's\,\!$, e $(x,y)\,\!$ será uma solução. Resta determinar a forma geral de todas as soluções. Se $(x_{0},y_{0})\,\!$ for uma solução conhecida, qualquer outra solução $(x,y)\,\!$ satizfaz: $n=ax+by=ax_{0}+by_{0}\,\!$ Então $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0\,\!$, ou seja, $a(x-x_{0})=-b(y-y_{0})\,\!$. Tomando $d=(a,b)\,\!$ é possível escrever $a=a'd\,\!$ $b=b'd\,\!$ Donde: $a'(x-x_{0})=-b'(y-y_{0})\,\!$ Claramente $(a',b')=1\,\!$ e $a|-b'(y-y_{0})\,\!$. Logo $a'|(y-y_{0})\,\!$ ou seja, existe $t\in \mathbb {Z} \,\!$ tal que $a't=y-y_{0}\,\!$ Portanto, $y=y_{0}+a't\,\!$ Usando essa expressão em $a'(x-x_{0})=-b'(y-y_{0})\,\!$ resulta $a'(x-x_{0})=-b'(y_{0}+a't-y_{0})=-b'a't\,\!$ Disto se conclui que $x=x_{0}-b't\,\!$.

Assim como acontece em problemas que envolvem equações diferenciais, para determinar o conjunto solução de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, $ax+by=0\,\!$)

Agora é possível resolver o problema proposto no início.

Aplicação

Será que existem números inteiros $x,y,n\,\!$ que verificam $2x+5y=n\,\!$?

Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portant infinitas) é preciso que $(2,5)|n\,\!$.

Pelo algoritmo de Euclides obtem-se $(2,5)=1\,\!$, além de $2\cdot (-2)+5\cdot 1=1\,\!$. Multiplicando ambos os membros por $n\,\!$, segue que:

$2\cdot (-2n)+5\cdot n=n\,\!$

Assim, as demais soluções são da forma:

• $x=-2n+5t\,\!$
• $y=n-2t\,\!$

No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:

• $-2n+5t\geq 0\,\!$
• $n-2t\geq 0\,\!$

que são equivalentes a

${\frac {2}{5}}n\leq t\leq {\frac {n}{2}}\,\!$

Para que exista algum valor inteiro $t\,\!$ nesse intervalo, é suficiente que ${\frac {n}{2}}-{\frac {2}{5}}n\geq 1\,\!$, ou seja,

$n=5n-4n\geq 10\,\!$

Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de $n<10\,\!$ também há soluções:

• $4=2+2\,\!$
• $5=5+0\,\!$
• $6=2+2+2\,\!$
• $7=5+2\,\!$
• $8=2+2+2+2\,\!$
• $9=5+2+2\,\!$

A conclusão final é que, utilizando apenas notas de $2\,\!$ e de $5\,\!$ é possível obter qualquer valor inteiro maior que ou igual a $4\,\!$.

Interpretação geométrica

Sabe-se que o conjunto dos pontos $(x,y)\,\!$ (com coordenadas reais) que verificam a equação $d=ax+by\,\!$ é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da equação diofantina $d=ax+by\,\!$, são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.

Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Incluir figura mostrando uma reta $ax+by=d\,\!$, que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.

Diferênça de quadrados

Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:

$n=x^{2}-y^{2}\,\!$

Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro $n\,\!$ que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber exatamente quais são os números inteiros $n\,\!$ que são soma de quadrados.

Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:

• $x^{2}-y^{2}=30\,\!$ tem soluções inteiras?
• $x^{2}-y^{2}=32\,\!$ tem soluções inteiras?

Para poder responder essas perguntas, considere que exista uma solução da equação

$n=x^{2}-y^{2}\,\!$

No caso, a solução é $x,y\,\!$.

O que se pode afirmar sobre os inteiros $x,y\,\!$?