Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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intro + teorema |
demonstração (começo) |
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| Linha 19: | Linha 19: | ||
{{Teorema|texto= |
{{Teorema|texto= |
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Dados <math>a,b \in \mathbb{Z}\,\!</math>, existem <math>x,y \in \mathbb{Z}\,\!</math> tais que <math>ax+by = n\,\!</math> se, e somente se, <math>(a,b)|n\,\!</math>. |
Dados <math>a,b \in \mathbb{Z}\,\!</math>, existem <math>x,y \in \mathbb{Z}\,\!</math> tais que <math>ax+by = n\,\!</math> se, e somente se, <math>(a,b)|n\,\!</math>. |
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Além disso, se <math>(x_0,y_0)\,\!</math> é solução, então todas as soluções são da forma: |
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<math>x = x_0 - b't\,\!</math> e <math>y = y_0 +a't\,\!</math>, onde <math>a=a'd\,\!</math> e <math>b=b'd\,\!</math>. |
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{{Demonstração |
{{Demonstração| |
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Suponha que <math>(x,y)\,\!</math> e <math>(x_0,y_0)\,\!</math> são soluções, ou seja que: |
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:<math>n = ax+by=ax_0+by_0\,\!</math> |
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Então <math>a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\,\!</math>, ou seja, <math>a(x-x_0)=-b(y-y_0)\,\!</math>. |
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Se <math>d=(a,b)\,\!</math>, então é possível escrever |
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* <math>a=a'd\,\!</math> |
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* <math>b=b'd\,\!</math> |
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Donde: |
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:<math>a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)\,\!</math> |
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Claramente <math>(a',b')=1\,\!</math> e <math>a|-b'(y-y_0)\,\!</math>. |
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Logo |
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:<math>a'|(y-y_0)\,\!</math> |
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ou seja, existe <math>t \in \mathbb{Z}\,\!</math> tal que |
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:<math>a't=y-y_0\,\!</math> |
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Portanto, <math>y=y_0+a't\,\!</math> |
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Usando essa expressão em |
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:<math>a'(x-x_0) = -b'(y-y_0)\,\!</math> |
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resulta |
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:<math>a'(x-x_0) = -b'(y_0+a't-y_0) = -b'a't\,\!</math> |
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Disto se conclui que <math>x=x_0-b't\,\!</math>. |
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Revisão das 20h24min de 15 de janeiro de 2008
Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.
Considere o seguinte problema:
Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?
Matemáticamente, o que se quer saber é:
Quais os valores de , para os quais a solução possui alguma solução inteira?
Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.
As equações diofantinas lineares
A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: . Aqui, os inteiros e são fixados.
Quando é que tal equação possui solução?
O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.
- Teorema
Insira o enunciado do teorema.
| Demonstração |
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Suponha que e são soluções, ou seja que: Então , ou seja, . Se , então é possível escrever Donde: Claramente e . Logo ou seja, existe tal que Portanto, Usando essa expressão em resulta Disto se conclui que . |
