Red Book - Vestibular/Matemática/PA: diferenças entre revisões
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A PA apresentada no primeiro exemplo tem <math>a_1 = </math> e <math>r = </math>, logo, o vigésimo termo é igual a <math>a_{20} = a_1 + (20 - 1)r = </math> |
1. A PA apresentada no primeiro exemplo tem <math>a_1 = 2</math> e <math>r = 3</math>, logo, o vigésimo termo é igual a <math>a_{20} = a_1 + (20 - 1)r = 2 + 19 * 3 = 2 + 57 = 59</math> |
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2. Em uma PA cujo primeiro termo é igual à 6 e o segundo é igual à 10, então qual é a razão? |
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Como a razão é o valor que somamos a um termo para chegar ao próximo, temos que neste caso a razão vale 4, pois é necessário somar 4 ao primeiro termo (o 6) para chegar no segundo (o 10). |
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3. Dada uma PA em que o terceiro termo é igual à 10 e a razão é igual à -4, quanto vale o primeiro termo? |
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Para resolver este problema, basta usar a fórmula do termo geral: |
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<math>a_3 = a_1 + (3 - 1)r = a_1 + 2 * (-4) = a_1 - 8</math> |
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assim, |
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<math>a_1 = a_3 + 8 = 10 + 8 = 18</math> |
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portanto, o primeiro termo é igual a 18. |
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Edição atual desde as 01h00min de 19 de setembro de 2013
Introdução[editar | editar código-fonte]
Na Alemanha, há algum tempo atrás (por volta de 1785), um professor desafiou os alunos, que tinham cerca de dez anos, a calcularem a soma de todos os números de 1 à 100. Ou seja, as crianças deveriam somar 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100. Você sabe dizer qual é o resultado? Como calcular isto? Você poderia dizer: "Somando tudo, oras!". Mas isto demoraria muito... Mas. por incrível que pareça, o jovem Gauss, em poucos minutos, não só disse ao professor o resultado correto como ainda lhe mostrou uma maneira bem mais inteligente de efetuar este cálculo[nota 1] . Neste capítulo, vamos ver como ele fez isto e aprender a expandir a ideia que ele teve.
O que é uma progressão aritmética?[editar | editar código-fonte]
Quando dizemos "progressão", na verdade você pode pensar em "sequência". Mais especificamente, em uma sequência numérica, ou seja, uma coleção de números em que é possível dizer qual vem depois do outro. Por exemplo, é uma sequência com 7 termos. Dizemos que o primeiro termo é o valor 3, o segundo termo é 5 e assim sucessivamente. Mas, geralmente, você verá sequências que possuem alguma propriedade, por exemplo, a sequência é uma sequência que tem a seguinte propriedade: "todos os termos começam com a letra d ". Qual seria o próximo termo (depois do 18)? De forma semelhante, uma progressão aritmética (conhecida simplesmente por PA) é uma sequência com a seguinte propriedade:
Cada termo é igual ao anterior somado a uma constante |
— |
esta constante é chamada de razão.
Ou seja, uma PA é uma sequência na qual o primeiro termo é um valor qualquer, o segundo termo é igual ao primeiro mais a razão, o terceiro é igual ao segundo mais a razão, o quarto é igual ao terceiro mais a razão, e assim sucessivamente.
Exemplos[editar | editar código-fonte]
A sequência é uma PA cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3. Note que 5 é igual a 2 mais 3, assim como 8 é igual a 5 mais 3. Você sabe dizer qual o próximo termo? (o que vem após o 11 deve ser igual a 11 mais a razão).
A sequência também é uma PA. O primeiro termo é 10 e a razão é (sim, a razão pode ser negativa).
Termo geral[editar | editar código-fonte]
Dada um termo, se soubermos a razão, é fácil saber o próximo, basta somar a razão. Mas se quisermos saber um termo qualquer? Por exemplo, você saberia dizer qual é o vigésimo termo da PA apresentada no primeiro exemplo?
Na verdade isto é muito fácil! Vamos chamar de o primeiro termo, o segundo e assim sucessivamente, chamando um termo genérico, digamos, o n-ésimo termo, de . Além disto, vamos chamar a razão de . Como cada termo é igual ao anterior mais a razão, temos que
(o segundo é igual ao primeiro mais a razão)
da mesma forma,
, mas, trocando por mais a razão, obtemos .
De forma semelhante, temos
ou seja, para chegar no somamos três vezes o .
De uma forma mais geral, para chegar no n-ésimo termo, somamos vezes a razão, ou seja, o termo geral é dado pela fórmula
Exemplos[editar | editar código-fonte]
1. A PA apresentada no primeiro exemplo tem e , logo, o vigésimo termo é igual a
2. Em uma PA cujo primeiro termo é igual à 6 e o segundo é igual à 10, então qual é a razão? Como a razão é o valor que somamos a um termo para chegar ao próximo, temos que neste caso a razão vale 4, pois é necessário somar 4 ao primeiro termo (o 6) para chegar no segundo (o 10).
3. Dada uma PA em que o terceiro termo é igual à 10 e a razão é igual à -4, quanto vale o primeiro termo? Para resolver este problema, basta usar a fórmula do termo geral: assim, portanto, o primeiro termo é igual a 18.