Red Book - Vestibular/Matemática/PA

Introdução

   Na Alemanha, há algum tempo atrás (por volta de 1785), um professor desafiou os alunos, que tinham cerca de dez anos, a calcularem a soma de todos os números de 1 à 100. Ou seja, as crianças deveriam somar 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100.
   Você sabe dizer qual é o resultado? Como calcular isto?
   Você poderia dizer: "Somando tudo, oras!". Mas isto demoraria muito...
   Mas. por incrível que pareça, o jovem Gauss, em poucos minutos, não só disse ao professor o resultado correto como ainda lhe mostrou uma maneira bem mais inteligente de efetuar este cálculo .
   Neste capítulo, vamos ver como ele fez isto e aprender a expandir a ideia que ele teve.

O que é uma progressão aritmética?

   Quando dizemos "progressão", na verdade você pode pensar em "sequência". Mais especificamente, em uma sequência numérica, ou seja, uma coleção de números em que é possível dizer qual vem depois do outro.
   Por exemplo, $3,5,7,9,1,0,10$ é uma sequência com 7 termos. Dizemos que o primeiro termo é o valor 3, o segundo termo é 5 e assim sucessivamente.
   Mas, geralmente, você verá sequências que possuem alguma propriedade, por exemplo, a sequência $2,10,12,16,17,18$ é uma sequência que tem a seguinte propriedade: "todos os termos começam com a letra d ". Qual seria o próximo termo (depois do 18)?
   De forma semelhante, uma progressão aritmética (conhecida simplesmente por PA) é uma sequência com a seguinte propriedade:

Cada termo é igual ao anterior somado a uma constante

—

esta constante é chamada de razão.

Ou seja, uma PA é uma sequência na qual o primeiro termo é um valor qualquer, o segundo termo é igual ao primeiro mais a razão, o terceiro é igual ao segundo mais a razão, o quarto é igual ao terceiro mais a razão, e assim sucessivamente.

Exemplos:

   A sequência $2,5,8,11,...$ é uma PA cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3. Note que 5 é igual a 2 mais 3, assim como 8 é igual a 5 mais 3. Você sabe dizer qual o próximo termo? (o que vem após o 11 deve ser igual a 11 mais a razão).

   A sequência $10,5,0,-5,-10,...$ também é uma PA. O primeiro termo é 10 e a razão é $-5$ (sim, a razão pode ser negativa).

Termo geral

   Dada um termo, se soubermos a razão, é fácil saber o próximo, basta somar a razão. Mas se quisermos saber um termo qualquer? Por exemplo, você saberia dizer qual é o vigésimo termo da PA apresentada no primeiro exemplo?