Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais

1

Dados $a,b,c,d$ num corpo K, sendo b e d diferentes de zero, prove:

• ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd}$
• ${a \over b}\cdot {c \over d}={a\cdot c \over b\cdot d}$

Resolução

• ${a \over b}+{c \over d}={abdd^{-1}b^{-1} \over b}+{cbdd^{-1}b^{-1} \over d}=add^{-1}b^{-1}+cbd^{-1}b^{-1}=(ad+bc)(bd)^{-1}={ad+bc \over bd}$
• ${a \over b}\cdot {c \over d}={abb^{-1} \over b}\cdot {cdd^{-1} \over d}=ab^{-1}\cdot cd^{-1}=acb^{-1}d^{-1}=ac(db)^{-1}=ac(bd)^{-1}={a\cdot c \over b\cdot d}$

${\displaystyle }$

2

Dado $a\neq 0$ num corpo K, põe-se, por definição, $a^{0}=1$ e, se $n\in \mathbb {N} ,a^{-n}={1 \over a^{n}},{\mbox{ ou seja}},a^{-n}=(a^{n})^{-1}.$ Sejam quais forem $m,n\in \mathbb {Z} ,$ prove :

• $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$

Resolução

• $a^{m}\cdot a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m+n}=a^{m+n}.$
• $(a^{m})^{n}=(\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m})^{n}=\underbrace {\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m}\cdot ...\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{m}} _{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{\underbrace {m+m+...+m} _{n}}=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{mn}=a^{mn}$

3

Se ${x_{1} \over y_{1}}={x_{2} \over y_{2}}=...={x_{n} \over y_{n}}$ num corpo K, prove que, dados $a_{1},...,a_{n}\in K$ tais que $a_{1}y_{1}+...+a_{n}y_{n}\neq 0,{\mbox{ tem-se }}{a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n} \over a_{1}y_{1}+...+a_{n}y_{n}}={x_{1} \over y_{1}}$

Resolução

Por indução sobre n,

• vamos mostrar válido para n = 1: ${a_{1}x_{1} \over a_{1}y_{1}}={x_{1} \over y_{1}}$
• Supor válido para n = k e mostrar válido para n=k+1:
  • ${a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k} \over a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k}}={x_{1} \over y_{1}}\Rightarrow (a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k})y_{1}=(a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k})x_{1}$. Como ${x_{1} \over y_{1}}={x_{k+1} \over y_{k+1}}\Rightarrow x_{1}y_{k+1}=y_{1}x_{k+1}.$ Logo $(a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k})y_{1}+a_{k+1}x_{k+1}y_{1}=(a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k})x_{1}+a_{k+1}y_{k+1}x_{1}\Rightarrow$ $\Rightarrow (a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k}+a_{k+1}x_{k+1})y_{1}=(a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k}+a_{k+1}y_{k+1})x_{1}\Rightarrow {a_{1}x_{1}+...+a_{k}x_{k}+a_{k+1}x_{k+1} \over (a_{1}y_{1}+...+a_{k}y_{k}+a_{k+1}y_{k+1}}={x_{1} \over y_{1}}$

${\displaystyle }$