Probabilidade e Estatística/Probabilidade: diferenças entre revisões

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Revisão das 18h44min de 14 de março de 2012

Um dos ramos da matemática que é mais importante para a Estatística é a Teoria das Probabilidades. Esta teoria, por sua vez, está bastante embasada na Teoria dos Conjuntos. Este capítulo tem por objetivo explicar os fundamentos desta teoria.

Definições e Axiomas da Teoria dos Conjuntos

O Espaço Amostral é um conjunto formado por todos os resultados possíveis em qualquer fenômeno aleatório. Ele é representado pela letra grega maiúscula $\Omega$ (Ômega).
Evento é o nome que se dá à qualquer sub-conjunto do Espaço Amostral. Eles são representados por letras maiúsculas, como A, B, C, etc... O conjunto vazio é representado por Ø.
Por serem subconjuntos, é possível realizar a operação de união (U) entre conjuntos. A União de Eventos representa a ocorrência de um evento OU de outro.
Outra operação que pode ser feita sobre Eventos é a intersecção (∩). A intersecção de eventos representa a ocorrência de um E de outro.
Diz-se que dois eventos são Mutualmente Exclusivos ou Disjuntos quando eles não possuem nenhum elemento em comum entre si. Ou seja, a ocorrência de qualquer sub-evento que compõe um dos eventos automaticamente faz com que o outro não possa ocorrer. Ou ainda: Se A ∩ B = Ø , então A e B são Disjuntos.
Caso dois eventos sejam disjuntos, mas a sua união seja igual à todo o Espaço Amostral, significa que eles são complementares. Ou seja, eles são os únicos eventos possíveis de ocorrer. Ou ainda: Se A e B são Disjuntos e A U B = $\Omega$ , então A e B são complementares. Ou ainda: A^c=B e B^c=A.

Axiomas da Teoria das Probabilidades

É possível designar à todo e qualquer evento uma Probabilidade. A Probabilidade é uma função que pode receber um evento qualquer e retornar um número real entre 0 e 1. Se a probabilidade de um evento é 0, o evento nunca irá ocorrer. Se a probabilidade é 1, então ele sempre ocorrerá. Na maioria das vezes, a função de probabilidade retorna um número entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 0 é o valor, mais difícil é para o evento acontecer. E quanto mais próximo de 1, mais provável é a ocorrência de um evento. A Teoria das Probabilidades possui os seguintes axiomas:

1 - A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 e 1. Ou seja: $0\leq P(S)\leq 1$

2 - A Probabilidade de ocorrer algo dentro do Espaço Amostral é 1. Ou seja: $P(\omega )=1$

3 - A Probabilidade de ocorrer a união de todos os Pontos Amostrais é igual à soma da Probabilidade de ocorrer cada um dos Pontos Amostrais. Ou seja:

$\sum _{\omega \in \Omega }P\left(\left\{\omega \right\}\right)=P\left(\bigcup _{\omega \in \Omega }\left\{\omega \right\}\right)$

Propriedades da Teoria das Probabilidades

1 - A probabilidade de ocorrer um conjunto vazio pertencente ao conjunto de Pontos Amostrais é sempre zero. Este é um evento impossível. Ou seja:

P(Ø)=0

Ou seja, no lançamento de uma moeda, onde o Espaço Amostral é "Cara" ou "Coroa", é impossível que ocorra um resultado que não é nem um e nem outro.

2 - A probabilidade de qualquer subconjunto pertencente ao Conjunto Amostral pode ser calculada através da soma da probabilidade de seus elementos. Ou seja:

$P(A)=\sum {P(\omega i)}$ tal que A pertence ao Espaço Amostral e $A=\{\omega 1;\omega 2;...;\omega n\}$

Ou seja, no lançamento de um dado de 6 faces, a probabilidade de ocorrer 1 ou 2 é igual à P(1)+P(2).

3 - A probabilidade de que ocorra um evento é igual à 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento complementar. Ou seja:

$P(A)=1-{\bar {A}}$

Isso significa que a probabilidade de ocorrer o número 5 ou 2 no lançamento de um dado é igual à 1-(P(1)+P(3)+P(4)+P(6))

4 - A probabilidade de acontecer a união de dois subconjuntos é a mesma da soma das probabilidades de ambos menos a probabilidade dos dois ocorrerem juntos. Ou seja:

P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)

Isso significa que a probabilidade de que no lançamento de dois dados ocorram os resultados 1 ou 5 é a mesma de que ocorra o resultado 1 em um dos dados mais a probabilidade de ocorrer resultado 5 em um dos dados menos a probabilidade de que ocorram os dois juntos (esta probabilidade acaba sendo contada duas vezes na operação anterior).

5 - Para calcular a probabilidade de um evento, basta dividir o número de Pontos Amostrais nos quais ele ocorre pelo número de pontos amostrais existentes. Isso significa que para calcular a probabilidade de ocorrer o número 3 em um dado de 6 faces, basta dividir 1(3 é apenas um ponto amostral) por 6 (número de todos os pontos amostrais existentes).

Probabilidade Condicional

Muitas vezes, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser dividido em etapas. A informação do que ocorre em uma etapa pode interferir na probabilidade de ocorrência da próxima etapa. Por exemplo, sabe-se que em uma caixa com 20 ovos (onde metade dos ovos são brancos e a outra metade vermelha), 8 estão quebrados. Dentre os ovos brancos, são 7 os quebrados e dentre os ovos vermelhos, 1 está quebrado. A probabilidade de que um ovo aleatório esteja quebrado é de 0,4 , pois:

(NÚMERO_DE_OVOS_QUEBRADOS)/(NÚMERO_TOTAL) = 8/20 = 0,4.

Entretanto, sabendo anteriormente que o ovo aleatório é vermelho, chegamos à conclusão que:

(NÚMERO_DE_OVOS_QUEBRADOS)/(NÚMERO_TOTAL) = (NÚMERO_DE_OVOS_VERMELHOS_QUEBRADOS/NÚMERO_TOTAL_DE_OVOS)/(NÚMERO_DE_OVOS_VERMELHOS/NÚMERO_TOTAL_DE_OVOS) = (1/20)/(10/20) = 0,05/0,5 = 0,1.

Ou seja: P(A|B)=P(A∩B)/P(B), onde P é a função de probabilidade e neste caso, A é o evento no qual o ovo está quebrado e B é o evento no qual o ovo é vermelho.

A fórmula acima também nos permite deduzir que: P(A∩B) = P(A|B)*P(B)

Eventos Independentes

Dois eventos são ditos independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade de A. Ou seja:

P(A|B)=P(A).

Ou ainda:

P(A ∩ B)=P(A)*P(B)

Perceba que se A é independente de B, então B também é independente de A.

Veja também

Wikipedia

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:

Teoria das probabilidades

@@ Linha 81: / Linha 81: @@
-{{AutoCat}
+{{AutoCat}}
-Introdu¸c˜ao. No¸c˜ao de experiˆencia aleat´oria
-A teoria da Probabilidade tem como objectivo formular modelos de fen´omenos
-naturais em que se sup˜oe intervir o acaso, i.e., em que a partir do passado se n˜ao pode
-prever deterministicamente o futuro, mas para os quais se podem encontrar, em certas
-condi¸c˜oes, taxas de realiza¸c˜ao constante, que poder˜ao permitir certas previs˜oes de ´ındole
-geral.
-Tais fen´omenos dizem-se fen´omenos aleat´orios, i.e., s˜ao fen´omenos sujeitos `a
-influˆencia do acaso e, como tal, fora do alcance do observador.
-Defini¸c˜ao 2.1
-Considere-se uma experiˆencia que verifica as seguintes caracter´ısticas:
-– pode repetir-se um grande n´umero de vezes nas mesmas condi¸c˜oes ou pelo
-menos em condi¸c˜oes semelhantes;
-– a sua realiza¸c˜ao d´a um resultado de entre um conjunto de resultados poss´ıveis
-w1,w2, ...,wN;
-– cada um dos resultados da experiˆencia ´e imprevis´ıvel mas ´e poss´ıvel considerar
-“estabilidade na frequˆencia da sua ocorrˆencia”.
-Uma experiˆencia com estas caracter´ısticas diz-se ser uma experiˆencia aleat´oria.
-Exemplos de experiˆencias aleat´orias:
-. lan¸camento de um dado e registo do n´umero de pontos que sai;
-. lan¸camento de uma moeda e observa¸c˜ao da face que fica voltada para cima;
-. lan¸camento de dois dados ;
-. tempo de vida de uma pessoa, em anos;
-. tempo de trabalho de uma m´aquina at´e `a primeira avaria.
-Em cada um dos exemplos dados n˜ao ´e poss´ıvel saber `a priori o resultado que se ir´a
-obter. Os fen´omenos aleat´orios s˜ao caracterizados pela sua imprevisibilidade (fen´omeno
-n˜ao determin´ıstico) e pela sua regularidade estat´ıstica (observando-se o fen´omeno um
-grande n´umero de vezes, nas mesmas condi¸c˜oes, a frequˆencia relativa de cada resultado
-Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica e `a Probabilidade - ISA(2008) - Manuela Neves 39
-poss´ıvel do fen´omeno tende a estabilizar, aproximando-se dum valor constante). Estas
-caracter´ısticas foram j´a referidas na defini¸c˜ao de experiˆencia aleat´oria, dada acima.
-Sendo assim, num fen´omeno aleat´orio n˜ao se pode prever o resultado da pr´oxima
-prova, mas pode fazer-se uma previs˜ao do resultado em m´edia.
-Espa¸co de resultados. No¸c˜ao de acontecimento
-Defini¸c˜ao 2.2
-Chama-se espa¸co de resultados ou espa¸co amostra e representa-se por
- ao
-conjunto de todos os resultados poss´ıveis associados a uma experiˆencia aleat´oria.
-Para cada um dos exemplos citados acima temos os seguintes espa¸cos de resultados:
-.
- = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
-.
- = { ‘valor’, ‘pa´ıs’} = {‘V’,‘P’} = {1, 0};
-.
- = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)};
-.
- = IN;
-.
- = IR+.
-Defini¸c˜ao 2.3
-Chama-se acontecimento aleat´orio a qualquer subconjunto do espa¸co de resultados.
-Por exemplo
-• no lan¸camento do dado, o acontecimento A – sa´ıda de face par pode representarse
-por A={2, 4, 6};
-• na observa¸c˜ao do tempo de trabalho de uma m´aquina at´e `a primeira avaria, o
-acontecimento B – dura¸c˜ao entre 10 e 12 anos ´e B={x : 10 < x < 12}.
-Se um acontecimento ´e constitu´ıdo por um ´unico elemento diz-se acontecimento
-elementar, um acontecimento que n˜ao cont´em nenhum elemento diz-se acontecimento
-imposs´ıvel e ao espa¸co
- chama-se acontecimento certo.
-Diz-se que um acontecimento se realiza sempre que o resultado de uma experiˆencia
-´e um elemento que pertence ao acontecimento.
-Do que ficou dito verifica-se que h´a equivalˆencia entre a no¸c˜ao de acontecimento
-e a no¸c˜ao de conjunto. Tem-se ent˜ao um paralelismo entre ´algebra de conjuntos e ´algebra
-de acontecimentos. Consideremos as principais no¸c˜oes da
-Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica e `a Probabilidade - ISA(2008) - Manuela Neves 40
-´A
-lgebra dos Acontecimentos
-. Diz-se que A ´e subacontecimento de B e escreve-se A � B, se e s´o se a realiza¸c˜ao
-de A implica a realiza¸c˜ao de B;
-. Dado um acontecimento A, chama-se acontecimento complementar ou contr´ario
-a A e representa-se por Ac ou A, ao conjunto de todos os elementos de
- que
-n˜ao est˜ao em A.
-. Dados os acontecimentos A e B chama-se uni˜ao de A com B e representa-se por
-A [ B ao acontecimento que consiste na realiza¸c˜ao de pelo menos um deles;
-. produto ou intersec¸c˜ao ´e o acontecimento AB ou A \ B, que se realiza apenas
-quando ambos os acontecimentos se realizam;
-Os acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos ou incompat´ıveis
-se e s´o se a realiza¸c˜ao de um implica a n˜ao realiza¸c˜ao do outro, i.e., se e s´o se
-A \ B = ;, ou seja a intersec¸c˜ao ´e o acontecimento imposs´ıvel;
-. Chama-se diferen¸ca dos acontecimentos A e B ao acontecimento A − B = A \ Bc,
-i.e., ao acontecimento que se realiza se e s´o se A se realiza sem que B se realize.
-Se B ⊂ A, A − B ´e o acontecimento complementar de A em rela¸c˜ao a B.
-As propriedades estudadas na ´algebra dos conjuntos (associatividade, comutatividade,
-idempotˆencia, absor¸c˜ao, distributividade, leis de Morgan, dupla nega¸c˜ao, complementaridade,
-citando as mais importantes), s˜ao v´alidas para acontecimentos.
-Probabilidade de um acontecimento
-Intuitivamente, a no¸c˜ao de probabilidade de um acontecimento ´e uma medida da
-possibilidade de ocorrˆencia do acontecimento quando se realiza a experiˆencia aleat´oria `a
-qual o acontecimento est´a ligado.
-A primeira defini¸c˜ao de probabilidade conhecida, foi a sintetizada por Laplace no
-princ´ıpio do s´ec. XIX, sob a hip´otese de casos igualmente prov´aveis ou poss´ıveis,
-ou o chamado princ´ıpio da simetria.
-A defini¸c˜ao de Laplace dizia o seguinte:
-• A probabilidade de realiza¸c˜ao de um dado acontecimento ´e igual ao quociente entre
-o n´umero de casos favor´aveis `a realiza¸c˜ao desse acontecimento e o n´umero total de
-casos poss´ıveis, desde que todos os casos sejam igualmente prov´aveis.
-Seja A o acontecimento “sa´ıda de face par” quando do lan¸camento de um dado
-equilibrado. Como h´a 3 casos favor´aveis em 6 casos poss´ıveis tem-se
-P(A) =
-.
-Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica e `a Probabilidade - ISA(2008) - Manuela Neves 41
-A defini¸c˜ao cl´assica de Laplace manteve-se at´e ao come¸co deste s´eculo, quando
-come¸caram a surgir cr´ıticas por ela apresentar diversos inconvenientes. N˜ao era uma
-defini¸c˜ao suficientemente geral pois fazia depender o c´alculo das probabilidades do facto
-de os diferentes casos serem igualmente prov´aveis e numer´aveis.
-A regularidade estat´ıstica dos fen´omenos aleat´orios faz surgir uma outra teoria
-a Teoria frequencista da probabilidade, por analogia com a no¸c˜ao emp´ırica de
-frequˆencia. Surgiu no in´ıcio do s´eculo e segundo ela a probabilidade de um acontecimento
-pode ser determinada observando a frequˆencia relativa de ocorrˆencia desse acontecimento
-numa sucess˜ao numerosa de experiˆencias aleat´orias.
-Efectuando n repeti¸c˜oes duma experiˆencia aleat´oria, seja nA o n´umero de vezes
-que se verificou o acontecimento A nessas n repeti¸c˜oes. Devido ao princ´ıpio da regularidade
-estat´ıstica ´e de esperar que as frequˆencias relativas fn(A) = nA/n do acontecimento
-A numa sucess˜ao de provas com um grande n´umero de repeti¸c˜oes sejam aproximadamente
-iguais a um n´umero, digamos P (0 ≤ P ≤ 1).
-A probabilidade ´e ent˜ao interpretada como frequˆencia limite, i.e., quando n
-grande tem-se fn(A) � P(A).
-Esta teoria considera como uma medi¸c˜ao f´ısica (frequˆencia relativa) um conceito
-te´orico (probabilidade). A probabilidade P aparece como um objecto matem´atico, satisfazendo
-certas propriedades imediatas que resultam da defini¸c˜ao de Laplace e da no¸c˜ao
-de frequˆencia relativa.
-No in´ıcio do s´ec XX come¸cou a sentir-se a necessidade de uma axiomatiza¸c˜ao
-da teoria das probabilidades, que permitisse ultrapassar a ambiguidade da certos conceitos
-e interpreta¸c˜oes, mas partindo da observa¸c˜ao da realidade e que a ela se aplicasse.
-A defini¸c˜ao axiom´atica de probabilidade que iremos apresentar foi introduzida por Kolmogoroff.
-Defini¸c˜ao 2.4
-Dada uma experiˆencia aleat´oria, seja
- o espa¸co de resultados associado. Chamase
-probabilidade P, a uma aplica¸c˜ao que a cada acontecimento de
- associa um n´umero
-real satisfazendo o seguinte conjunto de axiomas:
-A1) P(A) ≥ 0 ∀A ⊂
-;
-A2) P(
-) = 1;
-A3) P(A∪B) = P(A)+P(B) se A∩B = ∅. (Axioma das probabilidades totais).
-Os axiomas apresentados referem-se ao caso de
- ser finito. Quando
- ´e infinito,
-o conjunto de axiomas est´a incompleto. Ter´a ent˜ao que se considerar a generaliza¸c˜ao do
-axioma A3) ao caso de uma sucess˜ao infinita de acontecimentos. Teremos ent˜ao o axioma
-A3∗) P(∪∞ i=1Ai) =
-P∞
-i=1 P(Ai) se Ai ∩Aj = ∅, i 6= j (Axioma completo das probabilidades
-totais).