Otimização/Situação inicial: diferenças entre revisões

Explorar interativamente o histórico

[edição não verificada]

← Edição anterior Edição posterior →

Conteúdo apagado Conteúdo adicionado

VisualTexto wiki

Em linha

Revisão das 17h09min de 1 de novembro de 2010

Otimização

Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, ao longo dos próximos capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função $f$ é equivalente a achar o mínimo da função $-f.$

Mínimo global

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} .$ Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o $\operatorname {min} \;f(x),\forall \;x\in D.$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é mínimo global, se $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D.$

Máximo global

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} .$ Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o $\operatorname {max} \;f(x),\forall \;x\in D.$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é máximo global, se $f({\bar {x}})\geq f(x),\forall \;x\in D.$

Mínimo local

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} .$ Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o $\operatorname {min} \;f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}).$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é mínimo local, se

f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}})

onde

B_{\epsilon }({\bar {x}})=\{x\in D;\;\|x-{\bar {x}}\|<\epsilon \}.

Máximo local

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R} .$ Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o $\operatorname {max} \;f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}).$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é máximo local, se $f({\bar {x}})\geq f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}})$ onde $B_{\epsilon }({\bar {x}})=\{x\in D;\;\|x-{\bar {x}}\|<\epsilon \}.$

Exemplos

Seja $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ;D_{1},D_{2}\subset \mathbb {R} ,$ tais que $D_{2}\subset D_{1}.$

Exemplo 1

Mostrar que $\inf _{x\in D_{1}}f(x)\leq \inf _{x\in D_{2}}f(x).$

Afirmação: $f(y)=\inf _{x\in D_{1}}f(x)\Rightarrow f(y)\leq f(x),\forall \;x\in D_{1}$ e $f(z)=\inf _{x\in D_{2}}f(x)\Rightarrow f(z)\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.$

Prova1: Tome $t\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow t\in D_{1}\Rightarrow f(y)\leq f(t),\forall \;t\in D_{2}\Rightarrow f(y)\leq f(z).$

Prova2: Suponha por contradição que $\inf _{x\in D_{2}}f(x)<\inf _{x\in D_{1}}f(x)\Rightarrow f(z)<f(y).$ Mas $z\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow z\in D_{1}\Rightarrow f(y)\leq f(z).$ Logo $f(z)<f(y)\leq f(z).$ Contradição! A contradição foi supor que $\inf _{x\in D_{2}}f(x)<\inf _{x\in D_{1}}f(x).$

Portanto, $\inf _{x\in D_{1}}f(x)\leq \inf _{x\in D_{2}}f(x).$

Exemplo 2

Seja $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ;D_{1},D_{2}\subset \mathbb {R} ,$ tais que ${\bar {x}}\in D_{2}\subset D_{1}.$ Seja $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{1}.$

Mostrar que $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.$

Suponha por contradição que $\exists \;z\in D_{2}$ tal que $f(z)<f({\bar {x}}).$ Por $z\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow f({\bar {x}})\leq f(z).$ Logo $f(z)<f({\bar {x}})\leq f(z).$ Contradição! A contradição foi supor que $\exists \;z\in D_{2}$ tal que $f(z)<f({\bar {x}}).$ Portanto $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.$

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
 {{AutoNav}}
-Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, nos outros capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função <math> f(x) </math> é o mesmo de achar o mínimo da função <math> -f(x) </math>
+Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, ao longo dos próximos capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função <math>f</math> é equivalente a achar o mínimo da função <math> -f.</math>
-==Mínimo Global==
+== Mínimo global ==
-Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o <math> min \; f(x), \forall \; x \in D </math>
+Sejam <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}.</math> Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o <math> \operatorname{min} \; f(x), \forall \; x \in D .</math>
 {{Definição
-|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é mínimo global,
+|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é mínimo global, se <math> f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D.</math>
-:se <math> f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D</math>
 }}
-==Máximo Global==
+== Máximo global ==
-Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o <math> max \; f(x), \forall \; x \in D </math>
+Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}.</math> Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o <math> \operatorname{max} \; f(x), \forall \; x \in D .</math>
 {{Definição
-|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é máximo global,
+|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é máximo global, se <math> f(\bar{x}) \ge f(x), \forall \; x \in D.</math>
-:se <math> f(\bar{x}) \ge f(x), \forall \; x \in D</math>
 }}
-==Mínimo Local==
+== Mínimo local ==
-Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o <math> min \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math>
+Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}.</math> Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o <math> \operatorname{min} \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x}).</math>
 {{Definição
-|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é mínimo local,
+|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é mínimo local, se
-:se <math> f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> onde <math> B_\epsilon (\bar{x}) = \{ x \in D ; \;  \| x - \bar{x} \| < \epsilon \}</math>
+: <math> f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> onde <math> B_\epsilon (\bar{x}) = \{ x \in D ; \;  \| x - \bar{x} \| < \epsilon \}.</math>
 }}
-==Máximo Local==
+== Máximo local ==
-Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o <math> max \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math>
+Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}.</math> Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o <math> \operatorname{max} \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x}).</math>
 {{Definição
-|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é máximo local,
+|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é máximo local, se <math> f(\bar{x}) \ge f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> onde <math> B_\epsilon (\bar{x}) = \{ x \in D ; \;  \| x - \bar{x} \| < \epsilon \}.</math>
-:se <math> f(\bar{x}) \ge f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> onde <math> B_\epsilon (\bar{x}) = \{ x \in D ; \;  \| x - \bar{x} \| < \epsilon \}</math>
 }}
-==Exemplo==
+== Exemplos ==
-Seja <math> f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>.
+Seja <math> f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} ,</math> tais que <math> D_2 \subset D_1 .</math>
-===Mostrar que <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) </math>===
+=== Exemplo 1 ===
+Mostrar que <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) .</math>
-Afirmação: <math> f(y)=\inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow  f(y) \le f(x), \forall \; x \in D_1</math> e  <math> f(z)=\inf_{x \in D_2}f(x) \Rightarrow  f(z) \le f(x), \forall \; x \in D_2</math>
+Afirmação: <math> f(y)=\inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow  f(y) \le f(x), \forall \; x \in D_1</math> e  <math> f(z)=\inf_{x \in D_2}f(x) \Rightarrow  f(z) \le f(x), \forall \; x \in D_2.</math>
-Prova1: Tome <math> t \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow t \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(t), \forall \; t \in D_2 \Rightarrow f(y) \le f(z) </math>.
+Prova1: Tome <math> t \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow t \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(t), \forall \; t \in D_2 \Rightarrow f(y) \le f(z) .</math>
-Prova2: Suponha por contradição que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(z) < f(y)</math>. Mas <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow z \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(z) </math>. Logo <math> f(z) < f(y) \le f(z) </math>. Contradição! A contradição foi supor que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) </math>.
+Prova2: Suponha por contradição que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(z) < f(y).</math> Mas <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow z \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(z) .</math> Logo <math> f(z) < f(y) \le f(z) .</math> Contradição! A contradição foi supor que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) .</math>
-Portanto, <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) </math>
+Portanto, <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) .</math>
-==Exemplo 2==
+=== Exemplo 2 ===
-Seja <math> f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> \bar{x} \in D_2 \subset D_1 </math>. Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 </math>.
+Seja <math> f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} ,</math> tais que <math> \bar{x} \in D_2 \subset D_1 .</math> Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 .</math>
-=== Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math> ===
+Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 .</math>
-Suponha por contradição que <math> \exists \; z \in D_2 </math> tal que <math> f(z) < f(\bar{x}) </math>. Por <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow f(\bar{x})\le f(z)</math>. Logo <math> f(z) < f(\bar{x})\le f(z) </math>. Contradição! A contradição foi supor que <math> \exists \; z \in D_2 </math> tal que <math> f(z) < f(\bar{x}) </math>. Portanto <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math>
+Suponha por contradição que <math> \exists \; z \in D_2 </math> tal que <math> f(z) < f(\bar{x}) .</math> Por <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow f(\bar{x})\le f(z).</math> Logo <math> f(z) < f(\bar{x})\le f(z) .</math> Contradição! A contradição foi supor que <math> \exists \; z \in D_2 </math> tal que <math> f(z) < f(\bar{x}) .</math> Portanto <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 .</math>