Otimização/Situação inicial

Otimização

Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, nos outros capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função $f(x)$ é o mesmo de achar o mínimo da função $-f(x)$

Mínimo Global

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R}$. Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o $min\;f(x),\forall \;x\in D$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é mínimo global,

se $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D$

Máximo Global

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R}$. Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o $max\;f(x),\forall \;x\in D$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é máximo global,

se $f({\bar {x}})\geq f(x),\forall \;x\in D$

Mínimo Local

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R}$. Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o $min\;f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}})$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é mínimo local,

se $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}})$ onde $B_{\epsilon }({\bar {x}})=\{x\in D;\;\|x-{\bar {x}}\|<\epsilon \}$

Máximo Local

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ e $f:D\rightarrow \mathbb {R}$. Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o $max\;f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}})$

Definição

Dizemos que um ponto ${\bar {x}}\in D$ é máximo local,

se $f({\bar {x}})\geq f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}})$ onde $B_{\epsilon }({\bar {x}})=\{x\in D;\;\|x-{\bar {x}}\|<\epsilon \}$

Exemplo

Seja $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ;D_{1},D_{2}\subset \mathbb {R}$, tais que $D_{2}\subset D_{1}$.

Mostrar que $\inf _{x\in D_{1}}f(x)\leq \inf _{x\in D_{2}}f(x)$

Afirmação: $f(y)=\inf _{x\in D_{1}}f(x)\Rightarrow f(y)\leq f(x),\forall \;x\in D_{1}$ e $f(z)=\inf _{x\in D_{2}}f(x)\Rightarrow f(z)\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}$

Prova1: Tome $t\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow t\in D_{1}\Rightarrow f(y)\leq f(t),\forall \;t\in D_{2}\Rightarrow f(y)\leq f(z)$.

Prova2: Suponha por contradição que $\inf _{x\in D_{2}}f(x)<\inf _{x\in D_{1}}f(x)\Rightarrow f(z)<f(y)$. Mas $z\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow z\in D_{1}\Rightarrow f(y)\leq f(z)$. Logo $f(z)<f(y)\leq f(z)$. Contradição! A contradição foi supor que $\inf _{x\in D_{2}}f(x)<\inf _{x\in D_{1}}f(x)$.

Portanto, $\inf _{x\in D_{1}}f(x)\leq \inf _{x\in D_{2}}f(x)$

Exemplo 2

Seja $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ;D_{1},D_{2}\subset \mathbb {R}$, tais que ${\bar {x}}\in D_{2}\subset D_{1}$. Seja $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{1}$.

Mostrar que $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}$

Suponha por contradição que $\exists \;z\in D_{2}$ tal que $f(z)<f({\bar {x}})$. Por $z\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow f({\bar {x}})\leq f(z)$. Logo $f(z)<f({\bar {x}})\leq f(z)$. Contradição! A contradição foi supor que $\exists \;z\in D_{2}$ tal que $f(z)<f({\bar {x}})$. Portanto $f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}$