Otimização/Elementos de análise convexa: diferenças entre revisões

Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa
sem resumo de edição
[edição não verificada][edição não verificada]
Sem resumo de edição
Sem resumo de edição
|[[../Definições de convexidade/]]
}}
 
== Convexo ==
{{Definição
|Dizemos que um conjunto <math> D \in \mathbb{R}^n </math> é convexo quando <math> z(\alpha)=( 1 - \alpha ) x + \alpha y \in D, \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1] </math>, onde <math> z(\alpha) \;</math> é a combinação convexa de <math> x,y \; </math>.
}}
===Teorema===
Sejam <math> D \subset \mathbb{R}^n, f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} </math> um conjunto convexo e uma função diferenciável em <math> \bar{x} \in D </math>. Seja também <math> \bar{x} \in M(f,D \cap B_\epsilon(\bar{x})) </math>.
==== <math> \langle f'(\bar{x}),x-\bar{x}\rangle \ge 0, \forall \; x \in D</math> ====
 
==Função Convexa==
Seja <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}^n </math>
{{Definição
|Dizemos que uma função f é convexa se <math> f(( 1 - \alpha ) x + \alpha y) \le ( 1 - \alpha ) f(x) + \alpha f(y), \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1]</math>.
}}
 
{{Definição
|Dizemos que uma função f é estritamente convexa se <math> f(( 1 - \alpha ) x + \alpha y) < ( 1 - \alpha ) f(x) + \alpha f(y), \forall \; x,y \in D, x\not=y, \forall \; \alpha \in \; ]0,1[</math>.
}}
 
{{Definição
|Dizemos que uma função f é <math> \lambda \; -</math> fortemente convexa se <math> f(( 1 - \alpha ) x + \alpha y) \le ( 1 - \alpha ) f(x) + \alpha f(y) - \lambda \alpha (1-\alpha)\| x-y \|^2, \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1]</math>.
}}
 
{{Definição
|Dizemos que o epígrafo da função f é <math> E_f = \{ (x,c) / x \in D, c \in \mathbb{R}, f(x) \le c \} </math> .
}}
 
=== Teorema ===
Seja <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \in \mathbb{R}^n </math> um conjunto convexo.
 
==== Mostrar que f é convexo <math> \Leftrightarrow E_f \;</math> é convexo ====
 
=== Teorema ===
Seja <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \in \mathbb{R}^n </math> ambos convexos.
==== Mostrar que <math> \bar{x} \in M(f,B_\epsilon(\bar{x})) \Rightarrow </math> é convexo ====
==== Mostrar que f é convexo <math> \Leftrightarrow E_f \;</math> é convexo ====
==== Mostrar que f é convexo <math> \Leftrightarrow E_f \;</math> é convexo ====
 
===== Fórmulas =====
<nowiki>
<math> </math> \mathbb{R} \Rightarrow \rightarrow \Leftarrow \Leftrightarrow \mapsto \setminus
\langle \rangle \| \| \forall \in \subset \bar{} { \over } \cap \cup
</nowiki>
 
===== links =====
[[Análise_real/Continuidade | contínua]]
[[Otimização/Existência_de_soluções_globais | <math> M(f,D)\; </math>]]
[[Otimização/Existência_de_soluções_globais#Curva_de nível_Lf.2CD.28c.29 | <math> L_{f,D}(c)\; </math>]]
[[Otimização/Existência_de_soluções_globais#Teorema_de_Weierstrass | Teorema de Weierstrass]]
3 415

edições

Menu de navegação