Otimização/Elementos de análise convexa: diferenças entre revisões

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Revisão das 19h48min de 19 de outubro de 2010

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Convexo

Definição

Dizemos que um conjunto $D\in \mathbb {R} ^{n}$ é convexo quando $z(\alpha )=(1-\alpha )x+\alpha y\in D,\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$ , onde $z(\alpha )\;$ é a combinação convexa de $x,y\;$ .

Teorema

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n},f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ um conjunto convexo e uma função diferenciável em ${\bar {x}}\in D$ . Seja também ${\bar {x}}\in M(f,D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}))$ .

$\langle f'({\bar {x}}),x-{\bar {x}}\rangle \geq 0,\forall \;x\in D$

Função Convexa

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\subset \mathbb {R} ^{n}$

Definição

Dizemos que uma função f é convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)\leq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y),\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$ .

Definição

Dizemos que uma função f é estritamente convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)<(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y),\forall \;x,y\in D,x\not =y,\forall \;\alpha \in \;]0,1[$ .

Definição

Dizemos que uma função f é $\lambda \;-$ fortemente convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)\leq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)-\lambda \alpha (1-\alpha )\|x-y\|^{2},\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$ .

Definição

Dizemos que o epígrafo da função f é $E_{f}=\{(x,c)/x\in D,c\in \mathbb {R} ,f(x)\leq c\}$ .

Teorema

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\in \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo.

Mostrar que f é convexo $\Leftrightarrow E_{f}\;$ é convexo

Teorema

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\in \mathbb {R} ^{n}$ ambos convexos.

Mostrar que ${\bar {x}}\in M(f,B_{\epsilon }({\bar {x}}))\Rightarrow$ é convexo

Mostrar que f é convexo $\Leftrightarrow E_{f}\;$ é convexo

Fórmulas

<math> </math> \mathbb{R} \Rightarrow \rightarrow \Leftarrow \Leftrightarrow \mapsto \setminus \langle \rangle \| \| \forall \in \subset \bar{} { \over } \cap \cup

links

contínua $M(f,D)\;$ $L_{f,D}(c)\;$ Teorema de Weierstrass

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+== Convexo ==
+{{Definição
+|Dizemos que um conjunto <math> D \in \mathbb{R}^n </math> é convexo quando <math> z(\alpha)=( 1 - \alpha ) x + \alpha y \in D, \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1] </math>, onde <math> z(\alpha) \;</math> é a combinação convexa de <math> x,y \; </math>.
+}}
+===Teorema===
+Sejam <math> D \subset \mathbb{R}^n, f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} </math> um conjunto convexo e uma função diferenciável em <math> \bar{x} \in D </math>. Seja também <math> \bar{x} \in M(f,D \cap B_\epsilon(\bar{x})) </math>.
+==== <math> \langle f'(\bar{x}),x-\bar{x}\rangle \ge 0, \forall \; x \in D</math> ====
+==Função Convexa==
+Seja <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}^n </math>
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+|Dizemos que uma função f é convexa se <math> f(( 1 - \alpha ) x + \alpha y) \le ( 1 - \alpha ) f(x) + \alpha f(y), \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1]</math>.
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+{{Definição
+|Dizemos que uma função f é <math> \lambda \; -</math> fortemente convexa se <math> f(( 1 - \alpha ) x + \alpha y) \le ( 1 - \alpha ) f(x) + \alpha f(y) - \lambda \alpha (1-\alpha)\| x-y \|^2, \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1]</math>.
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+|Dizemos que o epígrafo da função f é <math> E_f = \{ (x,c) / x \in D, c \in \mathbb{R}, f(x) \le c \} </math> .
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+=== Teorema ===
+Seja <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \in \mathbb{R}^n </math> um conjunto convexo.
+==== Mostrar que f é convexo <math> \Leftrightarrow E_f \;</math>  é convexo ====
+=== Teorema ===
+Seja <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \in \mathbb{R}^n </math> ambos convexos.
+==== Mostrar que <math> \bar{x} \in M(f,B_\epsilon(\bar{x})) \Rightarrow </math>  é convexo ====
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+==== Mostrar que f é convexo <math> \Leftrightarrow E_f \;</math>  é convexo ====
+===== Fórmulas =====
+<nowiki>
+<math> </math> \mathbb{R} \Rightarrow \rightarrow \Leftarrow \Leftrightarrow \mapsto \setminus
+\langle \rangle \| \| \forall \in \subset \bar{} { \over } \cap \cup
+</nowiki>
+===== links =====
+[[Análise_real/Continuidade | contínua]]
+[[Otimização/Existência_de_soluções_globais | <math> M(f,D)\; </math>]]
+[[Otimização/Existência_de_soluções_globais#Curva_de nível_Lf.2CD.28c.29 | <math> L_{f,D}(c)\; </math>]]
+[[Otimização/Existência_de_soluções_globais#Teorema_de_Weierstrass | Teorema de Weierstrass]]

Revisão das 19h48min de 19 de outubro de 2010

Convexo

Teorema

⟨ f ′ ( x ¯ ) , x − x ¯ ⟩ ≥ 0 , ∀ x ∈ D {\displaystyle \langle f'({\bar {x}}),x-{\bar {x}}\rangle \geq 0,\forall \;x\in D}

Função Convexa

Teorema

Mostrar que f é convexo ⇔ E f {\displaystyle \Leftrightarrow E_{f}\;} é convexo

Teorema

Mostrar que x ¯ ∈ M ( f , B ϵ ( x ¯ ) ) ⇒ {\displaystyle {\bar {x}}\in M(f,B_{\epsilon }({\bar {x}}))\Rightarrow } é convexo

Mostrar que f é convexo ⇔ E f {\displaystyle \Leftrightarrow E_{f}\;} é convexo

Mostrar que f é convexo ⇔ E f {\displaystyle \Leftrightarrow E_{f}\;} é convexo

Fórmulas

links

$\langle f'({\bar {x}}),x-{\bar {x}}\rangle \geq 0,\forall \;x\in D$

Mostrar que f é convexo $\Leftrightarrow E_{f}\;$ é convexo

Mostrar que ${\bar {x}}\in M(f,B_{\epsilon }({\bar {x}}))\Rightarrow$ é convexo

Mostrar que f é convexo $\Leftrightarrow E_{f}\;$ é convexo

Mostrar que f é convexo $\Leftrightarrow E_{f}\;$ é convexo