|
|
Linha 6: |
Linha 6: |
|
|
|
|
|
==Mínimo Global== |
|
==Mínimo Global== |
|
Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \mapsto \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o <math> min \; f(x), \forall \; x \in D </math> |
|
Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o <math> min \; f(x), \forall \; x \in D </math> |
|
|
|
|
|
{{Definição |
|
{{Definição |
Linha 14: |
Linha 14: |
|
|
|
|
|
==Máximo Global== |
|
==Máximo Global== |
|
Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \mapsto \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o <math> max \; f(x), \forall \; x \in D </math> |
|
Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o <math> max \; f(x), \forall \; x \in D </math> |
|
|
|
|
|
{{Definição |
|
{{Definição |
Linha 22: |
Linha 22: |
|
|
|
|
|
==Mínimo Local== |
|
==Mínimo Local== |
|
Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \mapsto \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o <math> min \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> |
|
Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o <math> min \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> |
|
|
|
|
|
{{Definição |
|
{{Definição |
Linha 30: |
Linha 30: |
|
|
|
|
|
==Máximo Local== |
|
==Máximo Local== |
|
Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \mapsto \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o <math> max \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> |
|
Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}</math>. Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o <math> max \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> |
|
|
|
|
|
{{Definição |
|
{{Definição |
Linha 38: |
Linha 38: |
|
|
|
|
|
==Exemplo== |
|
==Exemplo== |
|
Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>. |
|
Seja <math> f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>. |
|
|
|
|
|
===Mostrar que <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) </math>=== |
|
===Mostrar que <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) </math>=== |
Linha 51: |
Linha 51: |
|
|
|
|
|
==Exemplo 2== |
|
==Exemplo 2== |
|
Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> \bar{x} \in D_2 \subset D_1 </math>. Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 </math>. |
|
Seja <math> f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> \bar{x} \in D_2 \subset D_1 </math>. Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 </math>. |
|
|
|
|
|
=== Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math> === |
|
=== Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math> === |
Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, nos outros capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função é o mesmo de achar o mínimo da função
Mínimo Global
Seja e . Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é mínimo global,
- se
Máximo Global
Seja e . Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é máximo global,
- se
Mínimo Local
Seja e . Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é mínimo local,
- se onde
Máximo Local
Seja e . Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é máximo local,
- se onde
Exemplo
Seja , tais que .
Mostrar que
Afirmação: e
Prova1: Tome .
Prova2: Suponha por contradição que . Mas . Logo . Contradição! A contradição foi supor que .
Portanto,
Exemplo 2
Seja , tais que . Seja .
Mostrar que
Suponha por contradição que tal que . Por . Logo . Contradição! A contradição foi supor que tal que . Portanto