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Linha 51: |
Linha 51: |
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==Exemplo 2== |
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==Exemplo 2== |
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Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 </math>. Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 </math> e <math> \bar{x} \in D_2</math> |
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Seja <math> f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} </math>, tais que <math> \bar{x} \in D_2 \subset D_1 </math>. Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 </math>. |
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=== Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math> === |
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=== Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math> === |
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Suponha por contradição que <math> \exists \; z \in D_2 </math> tal que <math> f(z) < f(\bar{x}) </math>. Por <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow f(\bar{x})\le f(z)</math>. Logo <math> f(z) < f(\bar{x})\le f(z) </math>. Contradição! A contradição foi supor que <math> \exists \; z \in D_2 </math> tal que <math> f(z) < f(\bar{x}) </math>. Portanto <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 </math> |
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==== Fórmulas ==== |
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==== Fórmulas ==== |
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<nowiki> |
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<nowiki> |
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<math> </math> |
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<math> </math> |
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</math> <math> |
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\bar{} |
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\bar{} |
Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, nos outros capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função é o mesmo de achar o mínimo da função
Mínimo Global
Seja e . Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é mínimo global,
- se
Máximo Global
Seja e . Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é máximo global,
- se
Mínimo Local
Seja e . Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é mínimo local,
- se onde
Máximo Local
Seja e . Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o
- Definição
Dizemos que um ponto é máximo local,
- se onde
Exemplo
Seja , tais que .
Mostrar que
Afirmação: e
Prova1: Tome .
Prova2: Suponha por contradição que . Mas . Logo . Contradição! A contradição foi supor que .
Portanto,
Exemplo 2
Seja , tais que . Seja .
Mostrar que
Suponha por contradição que tal que . Por . Logo . Contradição! A contradição foi supor que tal que . Portanto
Fórmulas
<math> </math>
</math> <math>
\| \|
\bar{}
\mathbb{}
{ \over }
\Rightarrow
\Leftarrow
\Leftrightarrow
\mapsto