Métodos numéricos/Sistemas de equações lineares: diferenças entre revisões

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=== Condensação de Gauss ===
=== Condensação de Gauss ===
Método de Gauss

Consiste essencialmente em transformar por etapas sucessivas a matriz original do sistema numa matriz triangular superior. Após obtenção da matriz transformada (matriz triangular superior) o sistema pode ser resolvido por substituição ascendente.


Algoritmo de eliminação de Gauss

Este é um método geral de resolver sistemas de equações lineares e consiste numa sequência de passos “elementares” que transformam o sistema dado num sistema muito fácil de resolver.

Um passo elementar do método de eliminação de Gauss consiste na “adição membro a membro a uma equação de um múltiplo de outra”, de forma que na equação obtida, seja nulo o coeficiente de certa incógnita. Diz-se que se eliminou essa incógnita da equação.

Os passos elementares são conduzidos de maneira a eliminar a incógnita x1 de todas as equações a partir da 2ª, depois eliminar a incógnita x2 de todas as equações a partir da 3ª, etc ...

Deste processo resulta um novo sistema, digamos Ux = c equivalente ao sistema original, e cuja matriz U é uma matriz em escada.

Com a obtenção de uma matriz em escada U termina a parte descendente do método de eliminação de Gauss. Neste momento verifica-se se o sistema obtido, Ux = c é possível, isto é , se não há equações com o primeiro membro nulo e o segundo não nulo.

Se o sistema for possível resolve-se de “baixo para cima” (parte “ascendente” do algoritmo) obtendo se necessário algumas incógnitas em função das outras.


Factorização LU

O processo de condensação de Gauss (que consiste numa sequência de operações elementares sobre as linhas das matrizes A(k), as quais podem ser expressas sob a forma de pré-multiplicações desta matriz por matrizes triangulares elementares) conduz a uma expressão em que a matriz A surge sob a forma do produto de uma matriz L triangular inferior de diagonal unitária e de uma matriz U triangular superior – factorização triangular ou factorização LU da matriz A.

A determinação da solução x, tendo determinado LU consiste na solução em solução de dois sistemas triangulares, sendo um inferior e outro superior..

A factorização envolve apenas a matriz A e não o segundo membro b, intervindo este exclusivamente na fase de solução dos sistemas triangulares.

Assim sendo, uma vez factorizada a matriz A, podemos resolver com esta matriz tantos sistemas de equações quantos quisermos, apenas à custa de substituições (ascendentes e descendentes). Isto revela uma vantagem sobre o método de eliminação de Gauss.




==== Pesquisa de Pivot ====
==== Pesquisa de Pivot ====

Revisão das 07h55min de 4 de agosto de 2010

Introdução

Métodos directos

Condensação de Gauss

Método de Gauss

       Consiste essencialmente em transformar por etapas sucessivas a matriz original do sistema numa matriz triangular superior. Após obtenção da matriz transformada (matriz triangular superior) o sistema pode ser resolvido por substituição ascendente.


        Algoritmo de eliminação de Gauss
        Este é um método geral de resolver sistemas de equações lineares e consiste numa sequência de passos “elementares” que transformam o sistema dado num sistema muito fácil de resolver.
        Um passo elementar do método de eliminação de Gauss consiste na “adição membro a membro a uma equação de um múltiplo de outra”, de forma que na equação obtida, seja nulo o coeficiente de certa incógnita. Diz-se que se eliminou essa incógnita da equação.
        Os passos elementares são conduzidos de maneira a eliminar a incógnita x1 de todas as equações a partir da 2ª, depois eliminar a incógnita x2 de todas as equações a partir da 3ª, etc ...
        Deste processo resulta um novo sistema, digamos Ux = c equivalente ao sistema original, e cuja matriz U é uma matriz em escada.
        Com a obtenção de uma matriz em escada U termina a parte descendente do método de eliminação de Gauss. Neste momento verifica-se se o sistema obtido, Ux = c é possível, isto é , se não há equações com o primeiro membro nulo e o segundo não nulo.
        Se o sistema for possível resolve-se de “baixo para cima” (parte “ascendente” do algoritmo) obtendo se necessário algumas incógnitas em função das outras.


         Factorização LU 
        O processo de condensação de Gauss (que consiste numa sequência de operações elementares sobre as linhas das matrizes A(k), as quais podem ser expressas sob a forma de pré-multiplicações  desta matriz por matrizes triangulares elementares) conduz a uma expressão em que a matriz A surge sob a forma do produto de uma matriz L triangular inferior de diagonal unitária e de uma matriz U triangular superior – factorização triangular ou factorização LU da matriz A.
        A determinação da solução x, tendo determinado LU consiste na solução em solução de dois sistemas triangulares, sendo um inferior e outro superior..
        A factorização envolve apenas a matriz A e não o segundo membro b, intervindo este exclusivamente na fase de solução dos sistemas triangulares.
        Assim sendo, uma vez factorizada a matriz A, podemos resolver com esta matriz tantos sistemas de equações quantos quisermos, apenas à custa de substituições (ascendentes e descendentes). Isto revela uma vantagem sobre o método de eliminação de Gauss.


Pesquisa de Pivot

Métodos iterativos

Método de Jacobi

Método de Gauss-Seidel

Métodos interativos com relaxação

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