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Um produto

Figura 1: Exemplo de construção de curvas de nível com três portas

Considera-se uma região de armazenagem no primeiro e quarto quadrantes com três pontos de entrada/saída. Os pontos têm coordenadas (0,c), (0,0) e (0,-c) como está representado na figura 1. Assumindo que a distância é dividida igualmente entre os três pontos de entrada/saída, as curvas de nível representam-se como mostrado na figura 1. Neste caso, há dois conjuntos de curvas de nível. O primeiro conjunto é adequado para $\ 2c/3<k<c$ e o segundo para $\ k>c$ (Francis et al., 1992, p. 306-308).

Para o primeiro conjunto de curvas de nível,

$\ k={1 \over 3}(c-a)+{1 \over 3}a+{1 \over 3}(a+c)$ = $\ {2 \over 3}c+{1 \over 3}a$

Assim $\ a$ está relacionado com $\ k$ e $\ c$ da seguinte forma:

$\ a=3k-2c$

A área delimitada pelo primeiro conjunto de curvas de nível, em função de $\ a$, para $\ 0<A<{c^{2} \over 3}$ é:

$\ A={a^{2} \over 3}$

ou

$\ A={(3k-2c)^{2} \over 3}=q(k)$

Assim, para $\ 2c/3<k<c$,

$\ k={2c+(3A)^{1/2} \over 3}=r(A)$

Para o segundo conjunto de curvas de nível,

$\ k={1 \over 3}e+{1 \over 3}(e+c)+{1 \over 3}(e+2c)$

ou

$\ k=e+c$

Assim $\ e$ está relacionado com $\ k$ e $\ c$ da seguinte forma:

$\ e=k-c$

A área delimitada pelo segundo conjunto de curvas de nível, em função de $\ e$ e $\ c$, é:

$\ A=e^{2}+2ec+{c^{2} \over 3}$

A área em termos de $\ k$ e $\ c$, para $\ A>{c^{2} \over 3}$, é:

$\ A=(k-c)^{2}+2(k-c)c+{c^{2} \over 3}$

ou

$\ A=k^{2}-{2c^{2} \over 3}=q(k)$

Resolvendo a equação anterior em ordem a $\ k$, para $\ k>c$, tem-se,

$\ k=(A+{2c^{2} \over 3})^{1/2}=r(A)$

Portanto, para um determinado $\ T$, a distância percorrida esperada para uma região de armazenagem, com área $\ A$, é dada por:

$\ E\left[R\right]$ = $\ {T \over A}[\int _{2c/3}^{c}(6k-4c)k\,dk+\int _{c}^{(A+2c^{2}/3)^{1/2}}(2k)k\,dk]$ = $\ {T \over A}\left[{2 \over 3}K_{1}^{3}-{10 \over 27}c^{3}\right]$

onde

$\ K_{1}=(A+{2c^{2} \over 3})^{1/2}$

Para o caso em que $\ c=20ft$, $\ T=100porhora$ e $\ A=10\ 000ft^{2}$, tem-se $\ E\left[R\right]=6\ 905,47ft/h$.