A editar Matemática elementar/Teorema de Tales/Exercícios


Nos exercícios de 1 a 3, utilize Teorema de Tales para determinar o que se pede a respeito da situação ilustrada pela imagem a seguir:
[[Imagem:Thales theorem.svg|thumb|center|190px|As retas ''DE'' e ''BC'' são paralelas.]]

{{Exercício|1
|Considerando a figura ao lado, determine o comprimento do segmento <math>\overline{AD}</math>, supondo que <math>\overline{DB} = 5 cm</math>, <math>\overline{EC} = 10 cm</math> e <math>\overline{AE} = 8 cm.</math>
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{{Resolução
|[[Imagem:Exercise 1 (Thales theorem).svg|thumb|190px|As retas ''DE'' e ''BC'' são paralelas.]]
Pelo teorema de Tales, vale a igualdade <math>\textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{EC}},</math> ou seja, <math>\textstyle \frac{\overline{AD}}{5} = \frac{8}{10}.</math> Fazendo-se a multiplicação cruzada, obtém-se que <math>10 \times \overline{AD} = 5 \times 8 = 40,</math> ou seja, <math>\textstyle \overline{AD} = \frac{40}{10} = 4.</math> Assim, o lado <math>\overline{AD}</math> mede 4 cm.
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{{Exercício|2
|Determine <math>\overline{AD}</math> e <math>\overline{DB}</math>, supondo que na figura ao lado <math>\overline{AB} = 26 cm,</math> <math>\overline{AE} = 8 cm</math> e <math>\overline{EC} = 5 cm.</math>
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{{Resolução
|[[Imagem:Exercise 2 (Thales theorem).svg|thumb|190px|As retas ''DE'' e ''BC'' são paralelas.]]
Pelo teorema de Tales, tem-se a igualdade <math>\textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AE}}{\overline{AC}},</math> que neste caso corresponde a <math>\textstyle \frac{\overline{AD}}{26} = \frac{8}{8 + 5},</math> ou seja, <math>\textstyle \frac{\overline{AD}}{26} = \frac{8}{13}.</math> Multiplicando-se ambos os membros por 26, resulta que <math>\textstyle \overline{AD} = \frac{26 \times 8}{13} = 2 \times 8 = 16.</math> Portanto, o lado <math>\overline{AD}</math> mede 16 cm.

Além disso, tem-se <math>\overline{AD} + \overline{DB} = \overline{AB},</math> isto é, <math>16 + \overline{DB} = 26.</math> Consequentemente, <math>\overline{DB} = 26 - 16 = 10.</math> Então, o lado <math>\overline{DB}</math> mede 10 cm neste caso.
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{{Exercício|3
|Determine AD e DB, supondo que <math>\overline{AB} = 27 cm,</math> <math>\overline{AE} = 10 cm</math> e <math>\overline{AC} = 18 cm.</math>
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{{Resolução
|[[Imagem:Exercise 3 (Thales theorem).svg|thumb|191px|As retas ''DE'' e ''BC'' são paralelas.]]
O teorema de Tales garante que <math>\textstyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}},</math> isto é, que <math>\textstyle \frac{\overline{AD}}{27}=\frac{10}{18}</math>. Então <math>\textstyle 18 \times \overline{AD}=270</math> e consequentemente <math>\overline{AD}=\frac{270}{18} = 15</math>.

Como <math>\overline{AD}+\overline{DB}=\overline{AB},</math> resulta que <math>\textstyle 15 + \overline{DB}=27,</math> então <math>\textstyle \overline{DB} = 27 - 15 = 12.</math>
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}}

Do exercício 4 até o exercício 7, utilize Teorema de Tales para determinar o que se pede a respeito da situação ilustrada pela seguinte imagem:
[[Imagem:thales theorem exercise 1.svg|thumb|center|As retas ''AD'', ''BE'' e ''CF'' são paralelas.]]

{{Exercício|4
|Determine <math>\overline{AB}</math>, supondo que <math>\overline{BC} = 10 cm,</math> <math>\overline{DE} = 18 cm</math> e <math>\overline{EF} = 20 cm.</math>
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{{Resolução
|[[Imagem:Exercise 4 (Thales theorem).svg|thumb|190px|As retas ''AD'', ''BE'' e ''CF'' são paralelas.]]

<math>\textstyle\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}}</math> que neste caso fica assim :<math>\textstyle \frac{\overline{AB}}{10} = \frac{18}{20},</math> Fazendo a multiplicação cruzada resulta que <math>\textstyle \overline{AB} = \frac{20 \times 8}{13} = 2 \times 8 = 16.</math> Portanto, o lado <math>\overline{AB}</math> mede 9 cm.
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{{Exercício|5
|Determine <math>\overline{AB}</math> e <math>\overline{BC},</math> supondo que <math>\overline{AC} = 30 cm,</math> <math>\overline{DE} = 8 cm</math> e <math>\overline{EF} = 7 cm.</math>
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}}
{{Resolução
|[[Imagem:Exercise 5 (Thales theorem).svg|thumb|190px|As retas ''AD'', ''BE'' e ''CF'' são paralelas.]]
<math>\frac{30}{\overline{AB}}=\frac{15}{8}</math>

<math>240=15 \overline{AB}</math>

<math>\overline{AB}=240/15 =16</math>


<math>\overline{AB}+\overline{BC}=30</math>

<math>16+\overline{BC}=30</math>

<math>\overline{BC}=14</math>
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}}

{{Exercício|6
|Determine a medida de <math>\overline{AB},</math> supondo que <math>\overline{AC} = 20 cm,</math> <math>\overline{DF} = 30 cm</math> e que <math>\overline{EF}</math> é <math>4 cm</math> maior que <math>\overline{BC}</math>.
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}}
{{Resolução
|[[Imagem:Exercise 6 (Thales theorem).svg|thumb|190px|As retas ''AD'', ''BE'' e ''CF'' são paralelas.]]
20/CB = 30/x+4 multiplicando-se em cruz teremos 30/CB = 20(CB+4) 
resolvendo como uma equação de 1º grau 30CB = 20CB+80 30CB-20CB = 80 10CB = 80 CB=80/10 CB=8 logo 30-12=18
FE=12cm
ED=18cm
CB=8cm
            BA=12cm
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}}

{{Exercício|7
|Determine <math>\overline{AC},</math> supondo que<math> \overline{DE} = 12 cm,</math> <math>\overline{EF} = 8 cm</math> e que <math>\overline{AB}</math> é <math>3 cm</math> maior que <math>\overline{BC}.</math>
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}}
{{Resolução
|[[Imagem:Exercise 7 (Thales theorem).svg|thumb|190px|As retas ''AD'', ''BE'' e ''CF'' são paralelas.]]
BC=y
AB=y+3
24+8y=12y
4y=24
y=6
Então:
3+6+6=x
x=15
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}}

{{Exercício|8
|Considere um triângulo <math>\vartriangle ABC</math> tal que <math>\overline{AB} = 5</math>, <math>\overline{BC} = 6</math> e <math>\overline{CA} = 7</math>. Desenhe sobre o segmento <math>\overline{BC}</math> um ponto <math>M</math> tal que <math>\overline{BM} = 4</math>. A reta paralela a <math>\overline{AC}</math> que passa por <math>M</math> encontra <math>\overline{BA}</math> no ponto <math>N</math>. Calcule <math>\overline{BN},</math> <math>\overline{AN}</math> e <math>\overline{MN}</math>.
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}}
{{Resolução
|Para determinar AN:
BC/MC=AB/AN
6/2=5/x
6x=10
x=1,6

Para determinas MN:
MC/AC=AN/MN
2/7=1,6/x
x=5,6
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}}

{{Exercício|9
|Considere um triângulo <math>\vartriangle TIC</math> em que <math>\overline{TI} = 5,</math> <math>\overline{IC} = 8</math> e <math>\overline{CT} = 4</math>. Desenhe na semi-reta <math>\overrightarrow{TI}</math> (ou seja, a semi-reta que começa em <math>T</math> e passa por <math>I</math>) um ponto <math>O</math> tal que <math>\overline{TO} = 7</math>. A reta paralela a <math>\overline{IC}</math> que passa por <math>O</math> encontra a reta <math>CT</math> no ponto <math>S</math>. Calcule <math>\overline{TS},</math> <math>\overline{CS}</math> e <math>\overline{OS}.</math>
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}}
{{Resolução}}

[[Categoria:Exercícios de geometria]]
{{AutoCat}}

[[fr:Théorème de Thalès (E-M)]]