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Um esboço para o próximo mês...

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Álgebra linear numérica

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Álgebra linear numérica/Índice/Introdução

Neste livro serão abordados os aspectos numéricos e computacionais de problemas típicos da álgebra linear, como a resolução de sistemas lineares e a busca de autovalores. De início, este livro será estruturado com base em notas de aula da disciplina de Álgebra linear aplicada do curso de mestrado em Matemática Aplicada da UFPR. No entanto, toda contribuição posterior para a melhoria deste texto é bem vinda (e incentivada!), seja através de revisões de cunho ortográfico, melhorias no texto, formatação, citação de fontes para referência, proposta de exercícios, entre outras possibilidades.

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Bibliografia

• Golub, E., van Loan, C., Matrix Computations. 3rd ed.John Hopkins. Univ. Press, 1996.
• R.A. Horn, C.R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.
• R.A. Horn, C.R. Johnson. Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991.
• G.W. Stewart, Introduction to Matrix Computation, 1981.

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Álgebra linear numérica/Índice

1. Eliminação gaussiana
   1. Contagem de operações
   2. Pivotamento parcial
   3. Modelo IEEE
   4. Análise de erro
      1. Erro direto absoluto
      2. Erro direto relativo
      3. Erro reverso absoluto
      4. Erro reverso relativo
      5. Fator de magnificação de erro
      6. Mal condicionamento
2. Decomposição LU
   1. Matrizes elementares
   2. Complexidade
3. Métodos iterativos
4. Método de Jacobi
5. Método do Gradiente Conjugado
6. Decomposição QR
7. Mínimos quadrados
8. Método de Gauss-Seidel
9. Equações normais
10. Ajustamento de modelos a dados
11. Reflexão de Householder
12. Autovalores
13. Polinômio característico
14. Método da iteração de potências
15. Quociente de Rayleigh
16. Método da iteração simultânea normalizada
17. Método iterativo QR
18. Forma de Hessenberg superior

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Álgebra linear numérica/Índice/Eliminação gaussiana

A cada sistema de equações lineares

Latex:Sistema linear

pode-se associar uma matriz de coeficientes

Latex:Matriz de coef.

e uma matriz aumentada

Latex:Matriz aumentada

Cada etapa da eliminação gaussiana consiste em zerar os elementos abaixo da diagonal principal (ver também anexo 1).

Por exemplo a 1ª entrada a ser eliminada é a entrada a₂₁. Para isso, fazemos uso de operações elementares sobre as linhas da matriz aumentada. Subtraímos a_{21}/a_{11} vezes a linha 1 da linha 2 (assumindo que a_{11} é não nulo). Obtemos então o seguinte:

:Latex:Matriz aumentada para essa etapa

Contando as operações, isto requer uma divisão (para obter o multiplicador a_{21}/a_{11}), mais n multiplicações e adições. Para eliminar a entrada a_i1 da 1ª coluna e obter

:Latex:Matriz aumentada para essa etapa

basta realizar operações análogas. Observação: Tal procedimento funciona desde que a₁₁ seja diferente de zero. Este número e os outros a_ii que aparecerão na EG são chamados de pivôs. Por enquanto, o caso em que algum pivô é nulo não será tratado. Retomando a contagem de operações: p/ eliminar a 1ª coluna usamos (n+1) multiplicações/divisões para cada a_i1, junto com n adições/subtrações.

Para simplificar a tarefa, pode-se considerar apenas as multiplicações e divisões.