Topologia/Espaços topológicos

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Índice 1 Topologia 1.1 Exemplos 2 "Topologia" segundo os fechados 3 Fσ e Gδ

[editar] Topologia

Seja X um conjunto qualquer, considere um subconjunto T das partes de X, se T possuir as seguintes propriedades:

1) ;

2) Se , então ;

3) Se é uma família tal que , então ;

Dizemos que τ é uma topologia em X e que o par (X,τ) é um espaço topológico. Chamamos os elementos de τ de abertos. Sendo A um aberto, a X − A chama-se um fechado, isto é, F é fechado se X − F é um elemento da topologia.

Como se vê a intersecção finita de abertos é um aberto e a união arbitrária de abertos é um aberto. Não se garante no entanto que a intersecção infinita de abertos seja um aberto. Como se verá na maior parte dos casos não é assim.

Sendo τ₁, τ₂ duas topologias em X, diz-se que τ₁ é menor que τ₂ ou que τ₂ é maior que τ₁ sse τ₁ ⊆ τ₂, isto é, um aberto segundo τ₁ é também aberto segundo τ₂.

[editar] Exemplos

Seja X um conjunto. Então:

1) é uma topologia em X. Na verdade é a menor das topologias que se pode definir em X. A esta topologia chama-se a topologia indiscreta, antidiscreta ou topologia caótica em X.

2) , o conjunto das partes de X, é uma topologia em X. Na verdade é a maior das topologias que se pode definir em X. A esta topologia chama-se a topologia discreta em X.

3) {X − A:A é finito} é uma topologia em X que se chama topologia cofinita em X. Note-se que, se X é finito, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. A topologia cofinita é um exemplo de topologia que não possui a propriedade de Hausdorff. Note que, se X é finito, a topologia cofinita é a topologia discreta e se X é infinito não é possível construir uma topologia em que os abertos são finitos.

4) {X − A:A é parte contável de X} é uma topologia em X que se chama topologia cocontável. Note-se que, se X é contável, esta topologia no fim de contas é a topologia discreta. Note que se X é não-contável não é possível construir uma topologia em que os abertos são contáveis.

5) Seja . O conjunto é uma topologia sobre o conjunto .

[editar] "Topologia" segundo os fechados

Sejam X um espaço topológico e σ o conjunto dos fechados em X. Então:

1) X, Ø ∈ σ;

2) Para A, B ∈ σ, vem que A ∪ B;

3) Para (A_i)_i ∈ σ, vem que  ∩ _i A_i ∈ σ.

Como se vê os fechados seguem regras parecidas às que os abertos seguem, mas tendo em conta a complementação. Na verdade pode-se definir essa espécie de "topologia" começando por definir os fechados e definir mais tarde os abertos como os seus complementares.

[editar] F_σ e G_δ

Sendo X espaço topológico, às uniões contáveis de fechados chama-se F_σ e às intersecções contáveis de abertos chama-se G_δ. Em geral um F_σ não é fechado e um G_δ não é aberto, no entanto um fechado é um F_σ e um aberto é um G_δ.

Note-se que a união contável de F_σ's é um F_σ, a intersecção arbitrária de F_σ's é um F_σ, a união arbitrária de G_δ's é um G_δ e a intersecção contável de G_δ's é um G_δ.

A união finita de fechados é um fechado. Mas se se passar à união numerável, pode já não ser. Aqui não se quis considerar a união arbitrária de fechados. O que sucederia em tal caso? Em Topologia, como se verá, considerar famílias contáveis ou incontáveis de objectos topológicos delineia uma raia muito importante. Quando, para descrever e trabalhar numa topologia, basta apenas considerar famílias contáveis de objectos, tem-se uma topologia na qual é muito fácil trabalhar. Quando famílias contáveis não chegam, depara-se a todo o momento com problemas intratáveis.

Para aquilo que é a maioria das aplicações da Topologia, na Análise em particular, as topologias que verificam um certo grau de contabilidade são mais do que suficientes.

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