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Índice 1 Prefácio 2 Divisibilidade 2.1 Definição de divisibilidade 2.2 Propriedades da divisibilidade 2.3 Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal 2.3.1 Por que esses critérios funcionam? 2.4 Algoritmo da divisão (de Euclides) 2.5 Sistemas de numeração 2.5.1 Observações 2.6 Exemplos 2.6.1 Divisibilidade por 2 2.6.2 Divisibilidade por 3 2.6.3 Divisibilidade por 11 2.7 Exercícios 2.8 Notas 3 Números primos 3.1 Definição de número primo 3.2 Teorema da existência de fatoração 3.3 Exemplos 3.3.1 O conjunto dos números pares positivos 3.3.2 O monóide de Hilbert 3.3.3 Outros monóides 3.4 Teorema de Euclides 3.4.1 Demonstração de Euclides 3.4.1.1 Exemplos 3.4.2 Demonstração de Hermite 3.4.2.1 Exemplos 3.4.3 Demonstração de Saidak 3.4.3.1 Exemplos 3.5 Teorema fundamental da aritmética 3.5.1 Demonstração do teorema fundamental da aritmética 3.6 Corolário 3.6.1 Aplicação 3.6.2 Uma equivalência 3.7 Exercícios 4 Máximo divisor comum 4.1 Divisores comuns 4.1.1 Exemplos 4.1.1.1 Quem são os divisores comuns de a e b? 4.1.1.2 O maior dos divisores comuns 4.1.2 Definição de MDC 4.1.2.1 Exemplo 4.2 Teorema de Bézout 4.2.1 Corolário 4.2.2 Propriedade fundamental dos primos 4.2.3 Demonstração do teorema de Bézout 4.2.4 Exemplos numéricos 4.3 Algoritmo de Euclides para o MDC 4.3.1 Exemplo numérico 4.3.2 Interpretação matricial 4.3.2.1 Exemplificando 4.4 Uma demonstração alternativa do teorema de Bézout 4.5 Exercícios 4.6 Ver também 4.6.1 Wikipedia 5 Eficiência do algoritmo de Euclides 5.1 Fazendo estimativas 5.2 O pior caso 5.2.1 Exemplificando 5.3 Melhorando as estimativas 5.3.1 Teorema de Lamé 5.4 Demonstração da fórmula de Binet 5.5 Exercícios 6 Equações diofantinas 6.1 As equações diofantinas lineares 6.1.1 Aplicação 6.1.2 Interpretação geométrica 6.2 Diferença de quadrados 6.2.1 Teorema 6.2.2 Exemplo 6.3 Ternos pitagóricos 6.3.1 Exemplos 6.3.2 Observações 6.4 Exercícios 7 Congruências 7.1 Definição 7.2 A congruência vista como uma relação de equivalência 7.2.1 Compatibilidade com as operações 7.3 O anel das classes de congruência 7.3.1 Exemplos 7.4 Resumindo 7.5 Unidades 7.5.1 Exemplos 7.5.2 Propriedades das unidades 7.5.3 Exemplos 7.5.4 Curiosidades 7.5.4.1 Exemplo 7.6 Equações lineares 7.6.1 Exemplo de equação linear com apenas uma solução 7.6.2 Exemplo de equação linear sem solução 7.6.3 Exemplo de equação linear com duas soluções 7.7 Exercícios 8 Problemas em aberto 8.1 Conjectura de Goldbach 8.2 Hipótese de Riemann 8.3 Primos de Fibonacci 8.4 Primos de Mersenne 8.5 Primos gêmeos 9 10000 primos 9.1 Lista dos primeiros 10000 números primos 9.2 Código fonte da macro utilizada 10 Bibliografia 10.1 Livros em português 10.2 Livros em inglês 10.3 Outras referências 11 Estilo 11.1 Definições 11.2 Propriedades, Teoremas 11.3 Demonstrações, Justificativas 12 Índice remissivo 12.1 A 12.2 B 12.3 C 12.4 D 12.5 E 12.6 F 12.7 G 12.8 H 12.9 I 12.10 J 12.11 K 12.12 L 12.13 M 12.14 N 12.15 O 12.16 P 12.17 Q 12.18 R 12.19 S 12.20 T 12.21 U 12.22 V 12.23 W 12.24 X 12.25 Y 12.26 Z 13 GNU Free Documentation License 13.1 PREAMBLE 13.2 APPLICABILITY AND DEFINITIONS 13.3 VERBATIM COPYING 13.4 COPYING IN QUANTITY 13.5 MODIFICATIONS 13.6 COMBINING DOCUMENTS 13.7 COLLECTIONS OF DOCUMENTS 13.8 AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS 13.9 TRANSLATION 13.10 TERMINATION 13.11 FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE 13.12 How to use this License for your documents

[editar] Prefácio

Este livro está sendo estruturado com base em notas de aula do curso de introdução a teoria de números oferecido pelo IMPA no verão de 2008. Seu conteúdo não precisa (nem deve) se limitar àquele que consta atualmente no índice. Sendo assim, a qualquer momento o livro pode ser revisto e ampliado.

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Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Incluir no prefácio uma descrição global de quais assuntos serão tratados neste wikilivro, comentando sobre o enfoque escolhido.

[editar] Divisibilidade

A teoria de números é a área da matemática em que é estudado o anel dos números inteiros. O conjunto dos números inteiros é denotado por , sendo que:

O conjunto pode ser definido formalmente a partir do conjunto dos números naturais e estes, a partir dos axiomas de Peano. Para maiores detalhes sobre o assunto pode ser consultado o "capítulo específico" do wikilivro sobre álgebra abstrata, ou o livro de Milies & Coelho (2003).

O conjunto dos números inteiros é definido juntamente com duas operações: a adição e a multiplicação.

A estrutura aditiva dos números inteiros é trivial. Acompanhe os exemplos:

-2	-1	0	1	2	3	4
− 1 − 1		1 − 1		1 + 1	(1 + 1) + 1	(1 + 1) + (1 + 1)

Como se pode observar, qualquer número inteiro pode ser "formado aditivamente" a partir do número 1. Nesse sentido, a unidade é o "bloco básico" a partir do qual são construídos todos os números inteiros, usando-se as propriedades da operação de adição (como por exemplo a associatividade e a existência de elemento oposto).

Além disso, dado um número inteiro, sua decomposição em "blocos básicos" é essencialmente uma só. Por exemplo, se considerarmos o número 5, teremos:

No entanto, a única diferença entre duas representações do 5 é a posição dos parêntesis. Não há uma mudança significativa.

Já a estrutura multiplicativa de é muito mais sofisticada. Veja alguns exemplos:

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
bloco básico	bloco básico		bloco básico		bloco básico				bloco básico

Como deve ter percebido, quando se trata da operação de multiplicação, não existe um único bloco básico que gere todos os outros números. Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 não têm como ser obtidos a partir da multiplicação de dois números inteiros (além de 1 e eles próprios), mas permitem gerar outros números: , e assim por diante. Parece razoável que todos os inteiros podem ser gerados dessa maneira, bastando encontrar os blocos básicos adequados.

Mas será que mesmo sendo necessários mais "blocos básicos" para a estrutura multiplicativa que para a aditiva, um número inteiro sempre será decomposto de forma única em tais blocos?

Como foi visto, isso é o que acontece na estrutura aditiva. No entanto, para responder (de forma afirmativa) a esta pergunta, será necessário definir o conceito de divisibilidade, e conhecer de suas algumas propriedades. Este é o conteúdo da próxima seção.

[editar] Definição de divisibilidade

O conceito apresentado acima define uma relação binária no conjunto dos números inteiros: a divisibilidade.

Lembre-se que uma relação binária sobre é qualquer subconjunto do conjunto das partes de , . No caso da divisibilidade, tem-se:

Nesses termos, quando costuma-se dizer que está relacionado com escrevendo-se .

[editar] Propriedades da divisibilidade

A relação de divisibilidade possui as seguintes propriedades, para quaisquer (salvo indicação em contrário) inteiros a,b,c,d,r,s:

1.	(reflexividade)
2. e implica	(transitividade)
3. e implica ou
4. e implica	(linearidade)
5. e implica
6. implica	(multiplicatividade)
7. e implica	(lei do cancelamento)
8.	(1 divide todo número inteiro)
9.	(todo número inteiro divide zero)
10. implica	(zero só divide zero)
11. implica	(os divisores de 1 são 1 e -1)
12. e implica	(compatibilidade com a ordem "")
13. e implica

Demonstração
A demonstração dessas propriedades é deixada a cargo do leitor. Deste modo, sinta-se convidado a melhorar este texto acrescentando qualquer dessas demonstrações na versão online deste material.

Observações

• A terceira propriedade seria chamada de anti-simetria, se não fosse necessário considerar o caso "a = − b". Quando são considerados apenas os números não-negativos (os elementos de ) a conclusão é apenas "a = b", e as propriedades de 1 a 3 fazem da divisibilidade uma relação de ordem parcial sobre . No entanto, essa não é uma ordem total, pois nem todo par de elementos em é comparável, ou seja, existem inteiros não negativos a e b, para os quais não se tem a | b nem b | a.

• Frequentemente é mais prático trabalhar apenas com o conjunto dos números naturais (o subconjunto dos inteiros não-negativos ) ou com os números naturais não nulos (os inteiros positivos ).

• As propriedades 1 e 8 garantem que todo número inteiro não negativo a, diferente de 1, possui ao menos dois divisores, chamados de divisores triviais: e . Os números que possuem somente estes divisores são de grande interesse na teoria de números, e serão estudados no próximo capítulo.

[editar] Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal

Nas aulas de matemática do ensino fundamental, é possível que você tenha aprendido algumas regras (ou critérios) para saber rapidamente se um certo número é divisível por outro. Por exemplo, você identifica rapidamente que um número é par quando nota que o seu último dígito é par, assim como reconhece de imediato os múltiplos de 5, pois sabe que o seu dígito das unidades é sempre 0 ou 5.

O que talvez você não saiba é que podem ser deduzidos critérios de divisibilidade para vários outros números, senão todos, embora nem sempre tais regras sejam simples e fáceis de memorizar. Uma listagem das regras mais populares é apresentada na próxima tabela. Note que as regras descritas transformam um certo número em outro, geralmente menor, que preserva a divisibilidade pelo divisor em questão. Além disso, sempre que não fica claro se um número é múltiplo de certo divisor, a mesma regra pode ser aplicada novamente ao resultado já obtido, até que se torne evidente se determinado resultado é ou não divisível pelo divisor em questão.

Um número é divisível por...	quando...	Exemplos
1	sempre!	Qualquer número inteiro é divisível por 1.
2	seu dígito das unidades é par (ou seja, 0, 2, 4, 6, ou 8).	1 294 é par[1], pois 4 é par.
3	é divisível por 3 a soma dos seus dígitos.	405 é divisível por 3, pois 4 + 0 + 5 = 9, que é múltiplo de 3.
4	é divisível por 4 o dígito das unidades somado com o dobro do dígito das dezenas.	5 096 é múltiplo de 4, pois 6 + (2 × 9) = 24 que é múltiplo de 4
	é divisível por 4 o número formado pelos dois últimos dígitos.	70 841 não é divisível por 4, pois 41 não é.
5	o dígito das unidades é 0 ou 5.	123 456 7890 é divisível por 5, já que seu último dígito é 0.
6	é divisível por 2 e por 3.	24 é divisível por 6, já que seu é múltiplo de 2 e de 3.
	é divisível por 6 a soma do dígito das unidades com o quádruplo da soma dos demais dígitos.	12 348 é divisível por 6, pois (1 + 2 + 3 + 4) × 4 + 8 = 48
7	vale qualquer dessas propriedades:
	é divisível por 7 a soma alternada dos números formados pelos blocos de três dígitos (da direita para esquerda).	1 369 851 é divisível por 7, pois 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	é divisível por 7 a soma do número formado pelos dois últimos dígitos com o dobro do número formado ao desconsiderar estes dígitos.	364 é divisível por 7, uma vez que (3 × 2) + 64 = 70.
	é divisível por 7 a soma do último dígito com o número formado pelos dígitos restantes.	364 é divisível por 7, já que 36 + (4 x 5) = 56.
	é divisível por 7 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o dobro deste dígito.	364 é divisível por 7, pois 36 − (4 x 2) = 28.
8	vale qualquer dessas propriedades:
	o dígito das centenas é par e o número formado pelos dois últimos dígitos é divisível por 8.	12 345 624 é divisível por 8, pois 6 é par e 24 = 3 x 8.
	o dígito das centenas é ímpar e o número formado pelos dois últimos dígitos, somado com 4 é divisível por 8.	12 352, é múltiplo de 8, já que 3 é ímpar e 52 + 4 = 56 = 7 x 8.
	é divisível por 8 a soma do último dígito com o dobro do número formado pelos demais.	136 é divisível por 8, uma vez que (13 × 2) + 6 = 32.
9	é divisível por 9 a soma dos seus dígitos.	3 753 é múltiplo de 9, pois 3 + 7 + 5 + 3 = 18 e 1 + 8 = 9
10	o último dígito é 0.	135790 é múltiplo de 10, pois seu último dígito é 0.
11	vale qualquer dessas propriedades:
	é divisível por 11 a soma alternada dos seus dígitos.	918 082 é múltiplo de 11, pois 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 x 11.
	é múltiplo de 11 a soma dos números formados pelos blocos de dois dígitos (da direita para a esquerda).	627 é múltiplo de 11, pois 6 + 27 = 33 = 3 x 11.
	é múltiplo de 11 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o último dígito.	627 é múltiplo de 11, já que 62 - 7 = 55 = 5 x 11..

[editar] Por que esses critérios funcionam?

Diante de tantas regras, é natural não acreditar de imediato que elas sejam todas infalíveis. Você já deve ter feito (ou ouvido alguém fazer) pelo menos uma pergunta desse tipo:

Quem disse que esses macetes funcionam sempre?

Por acaso alguém já testou algum deles para todos os números, e viu que nunca falham?

Quem é que impôs essas regras?

É possível encontrar um critério para os números que não estão na tabela?

Antes de responder a essas e outras perguntas do gênero, é interessante apresentar um resultado fundamental da teoria de números. O enunciado não deve parecer uma grande novidade, pois formaliza o tão conhecido algoritmo de divisão, aquele processo utilizado ao dividir dois números manualmente. Se estiver um pouco "enferrujado", experimente calcular o resultado da divisão de 39629376 por 321, para relembrar as suas primeiras aulas de matemática...

[editar] Algoritmo da divisão (de Euclides)

Uma formulação alternativa é a seguinte:

Dados os números inteiros e , ou é múltiplo de ou está entre dois múltiplos consecutivos de .

Demonstração

Considere inicialmente que . Se , então (pois para tem-se ). Logo, pelo princípio da boa ordenação, possui um menor elemento . Como , segue que , para algum inteiro , e . Suponha que . Neste caso, segue que . De fato, se ocorresse , então seria elemento de . Além disso, e (pois ), donde não seria o menor elemento de . Por outro lado, se , então o algoritmo pode ser aplicado a e (que não é negativo), obtendo: , com Quanto à unicidade do quociente e do resto, pode-se proceder da seguinte maneira: Seja , com e . Nestas condições, tem-se: , ou seja, Por outro lado, como o valor de cada resto está entre e , sua diferença também está. Isto significa que: Logo, Mas o único elemento de com módulo menor que é o . Assim, implica . Consequentemente, de se conclui que , que equivale a , pois .

Um último passo antes de apresentar a justificativa formal para os critérios de divisibilidade mostrados anteriormente é entender como funciona o sistema de numeração decimal.

[editar] Sistemas de numeração

Conforme é ensinado nos primeiros anos de escola, um número como 726 representa a soma de 7 centenas com 2 dezenas e 6 unidades, ou seja,

Em geral, cada número inteiro não negativo possui uma única representação decimal . Este é um resultado de extrema utilidade no cotidiano, pois é graças a tal sistema de numeração que estão a disposição algoritmos tão simples para a realização de adições, subtrações, multiplicações e divisões. Ou você é capaz de se imaginar realizando uma divisão de 646 por 38 utilizando o sistema de numeração inventado pelos romanos? (Experimente: DCXLVI dividido por XXXVIII é igual a...)

Dada a importância do sistema de numeração decimal, é justo enunciar e justificar precisamente o seu funcionamento. Isso é feito no próximo teorema, que garante a existência de representações posicionais em qualquer base, não apenas na base 10.

[editar] Observações

• Quando a base não é 10, é comum usar a notação para explicitar esse fato.
• Os sistemas que utilizam a base 2 (binário), a base 8 (octal) e a base 16 (hexadecimal) são particularmente úteis na informática e na eletrônica digital.
• O sistema de numeração com base 60 (sexagesimal) foi inventado pelos Sumérios, e ainda é utilizado para a contagem de minutos e segundos, tanto para indicar períodos de tempo quanto para medir ângulos.

[editar] Exemplos

De posse dessas informações, já é possível demonstrar a validade dos critérios de divisibilidade dados pela tabela anterior. Nos próximos exemplos serão demonstrados alguns desses critérios. Os demais são deixados como exercício para o leitor.

[editar] Divisibilidade por 2

Demonstração
Considere um número inteiro positivo cuja representação decimal é . Para mostrar que se, e somente se, , note que: e em geral: Portanto: Assim, , com Deste modo, se , então . Reciprocamente, se tem-se .

[editar] Divisibilidade por 3

Demonstração

Seja um número inteiro positivo. Como no exemplo anterior, o principal é considerar as potências de 10 e os restos de suas divisões por 3. Primeiramente, note que: onde é o número que possui todos os seus dígitos iguais a 3. Esta última igualdade é devida à fórmula clássica para a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica). Substituindo essas potências de 10, obtem-se: ou seja, , onde e é a soma dos dígitos de . Deste modo, se , então . Analogamente, se tem-se .

[editar] Divisibilidade por 11

Demonstração

Como antes, considere um número inteiro positivo. Pode-se proceder como antes para obter o resultado. Primeiramente, observe a relação entre as primeiras potências de 10 e o número 11: É razoável esperar que o padrão continue, ou seja, que nas potências pares se tenha para algum inteiro , e nas potências ímpares se tenha para algum inteiro . No entanto, como a intuição as vezes falha (o próprio Fermat foi vítima de sua intuição, se enganando ao afirmar que todo número da forma é primo), é necessário provar que o padrão se repete, qualquer que seja o expoente. Em símbolos, é preciso mostrar que: , para algum inteiro . Para tal usaremos o binómio de Newton: ou seja, onde Uma vez que o padrão está justificado, o raciocínio é o mesmo do caso anterior: ou seja, , onde e é a soma alternada dos dígitos de . Deste modo, se , então . Analogamente, se tem-se .

[editar] Exercícios

1. Justifique a validade de cada uma das propriedades da divisibilidade apresentadas no texto.

[editar] Notas

1. ↑ 1294

[editar] Números primos

Um pouco de história Os números primos são conhecidos pela humanidade há muito tempo. No papiro Rhindi, por exemplo, há indícios de que o antigo povo egípcio já possuia algum conhecimento sobre esse tipo de números. No entanto, os registros mais antigos de um estudo explícito sobre números primos é devido aos gregos. Os Elementos de Euclides (cerca de 300 aC), contém teoremas importantes sobre números primos, incluindo a demonstração de sua infinitude o teorema fundamental da aritmética. Euclides também mostrou como construir um número perfeito a partir de um primo de Mersenne. Ao grego Eratóstenes, atribui-se um método simples para o cálculo de números primos, conhecido atualmente como crivo de Eratóstenes. Por outro lado, nos tempos atuais, os grandes números primos são encontrados por computadores, através de testes de primalidade mais sofisticados, como por exemplo o teste de primalidade AKS. Neste capítulo será definido o que são esses números primos, e serão apresentados os principais resultados acerca destes números.

[editar] Definição de número primo

Como já foi observado no capítulo anterior, o fato da divisibilidade ser reflexiva (propriedade 1) e que 1 é divisor de qualquer número inteiro (propriedade 8) garantem que todo número inteiro a diferente de 1 e − 1 possui pelo menos dois divisores: 1 e a. Com isso em mente, alguém poderia se perguntar:

• O que os números primos têm de tão especial, já que todos os números inteiros têm ao menos dois divisores?

É essencial notar que a definição acima exige que um número possua exatamente dois divisores positivos, antes de poder ser chamado de número primo. Assim, a definição exclui automaticamente o número 1 da lista de números primos, pois ele possui um único divisor positivo: o próprio 1. Além disso, seria redundante dizer na própria definição que um número é primo somente se os seus únicos divisores são ele mesmo e a unidade, pois isso decorre da exigência de que p tenha apenas dois divisores positivos.

Agora é possível explicar melhor a "decomposição em blocos básicos" apresentada no início desse texto.

Primeiramente, observe como os elementos de estão "ordenados" pela divisibilidade na figura a seguir:

No que diz respeito a multiplicação, será mostrado que todo número inteiro pode ser decomposto em um produto de números primos. Ou seja, os números primos são realmente "blocos básicos" que permitem a construção de todos os outros números inteiros, a partir de multiplicações.

Este resultado, de grande importância é sintetizado no próximo teorema.

[editar] Teorema da existência de fatoração

Demonstração

Dado um número inteiro , vamos mostrar por indução que , com cada sendo um número primo. De fato, para , o teorema é válido, pois basta tomar . Se , e for primo, a afirmação é obviamente verdadeira, pois é suficiente escolher . Considere então que é composto, e que a hipótese de indução é que todo número menor que admite decomposição em fatores primos. Logo, existem inteiros e tais que . Além disso, e são menores que . Pela hipótese de indução, tem-se e , com cada e cada sendo um número primo, donde segue que: Assim, basta renomear os primos e como , e tem-se o teorema.

[editar] Exemplos

Com o auxílio de um computador, e algum software para computação algébrica, verifica-se ques são verdadeiras as seguintes igualdades:

e ainda:

Na página Factorization using the Elliptic Curve Method está disponível um pequeno aplicativo que determina a fatoração de um número ou expressão numérica. O aplicativo foi escrito em Java, e não precisa ser baixado para poder ser executado.

Nos próximos exemplos, são apresentados alguns sub-conjuntos de onde a operação de multiplicação continua (bem) definida. Esses conjuntos, assim como o conjunto dos números inteiros, possuem "blocos básicos" que permitem gerar todos os seus elementos a partir da multiplicação. No entanto, os exemplos servirão como motivação para o Teorema fundamental da artimética que será demosntrado posteriormente. Esse teorema garante que um número inteiro só possui uma decomposição em fatores primos, ou seja, se Carlos e Joana encontrarem duas fatorações em primos para um certo número inteiro n, então ambos encontraram os mesmos números primos, cada um aparecendo a mesma quantidade de vezes nas duas fatorações.

Ao contrário do que se possa esperar, essa propriedade não é uma consequência imediata das definições de divisibilidade e de números primos. Na verdade, a unicidade só é válida porque possui além de uma estrutura multiplicativa, uma estrutura aditiva com "boas propriedades". É a partir das propriedades de ambas as estruturas, que o teorema poderá ser demonstrado.

Os próximos exemplos servirão, portanto, para mostrar que em conjuntos onde se tem apenas uma estrutura multiplicativa, a decomposição em fatores "primos" (será dado um novo significado ao termo) pode não ser única.

[editar] O conjunto dos números pares positivos

Considere o conjunto .

Quem são os elementos que permitem "gerar" todos os demais através da multiplicação? Acompanhe:

n	2	4	6	8	10	12	14	16	18	...
fatoração de	2		6		10		14		18	...

Observe que 6 não pode ser escrito como o produto de outros dois números pares, pois estes teriam que ser necessariamente menores que 6. Assim, é rápido verificar (fazendo alguns poucos testes) que tal fatoração não é possível.

Nesse sentido, o número 6 (assim como o 2, o 10, o 14 e o 18) é um elemento irredutível de . De modo geral, um elemento n é irredutível se não puder ser decomposto em um produto. Os elementos que não são irredutíveis, são naturalmente chamados de redutíveis.

Observe que se é um elemento redutível de , então , ou seja, todo elemento redutível é um múltiplo de 4.

Os elementos irredutíveis de serão os "blocos básicos" a partir dos quais poderão ser gerados todos os outros números pares.

Da mesma forma como foi demonstrado que todo número inteiro possui uma decomposição em fatores primos, pode-se provar que todo elemento de possui uma decomposição em fatores irredutíveis.

Prova
Esta prova é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

Uma última consideração a respeito do conjunto (e que justifica a escolha do mesmo para este exemplo), é que embora todos os seus elementos admitam uma fatoração em irredutíveis, pode haver mais de uma decomposição para um mesmo número. Veja:

E como se verifica facilmente, os números acima são todos irredutíveis em .

Essa característica sugere que se os números inteiros possuem uma única fatoração em primos, isso se deve a alguma outra propriedade de , além de sua estrutura multiplicativa.

[editar] O monóide de Hilbert

Seja .

Verifica-se facilmente que a multiplicação de elementos de possui as seguintes propriedades:

1. , quaisquer que sejam ;
2. , para quaisquer ;
3. O elemento neutro da multiplicação, o número inteiro 1, está em .

Este conjunto é conhecido como o monóide de Hilbert.

A propriedade 1 decorre dos seguintes cálculos: Se e então

Novamente, tem-se a decomposição em fatores irredutíveis (fatores que não são produto de outros elementos em ). Acompanhe a fatoração de alguns elementos de :

n	1	5	9	13	17	21	25	29	...	45	...	65	...	117	...
fatoração de	1	5	9	13	17	21		29	...		...		...		...

[editar] Outros monóides

É possível obter outros exemplos similares procedendo de forma análoga com os conjuntos , e em alguns casos com (para quais ainda funciona?). Também o conjunto possui essas propriedades.

[editar] Teorema de Euclides

[editar] Demonstração de Euclides

Demonstração

Considere um conjunto finito de números primos, contendo uma quantidade arbitrária de elementos. Denote tal conjunto por . Seja . Como , então tem algum fator primo , ou seja, . Se , seria verdade que , devido a linearidade da divisibilidade. Mas nenhum primo divide 1, então . Assim, mostrou-se que não importa quantos elementos tenha um certo conjunto de números primos, sempre existirá um outro número primo que não está em , ou seja, existe uma infinidade de números primos!

[editar] Exemplos

Se o conjunto que aparece na demonstração do teorema for constituído dos primeiros números primos, então as fatorações de para alguns valores de são as seguintes:

		Fatoração de	Tipo
			primo
			primo
			primo
			primo
			primo
			composto
			composto

A demonstração acima pode ser adaptada para mostrar que o monóide de Hilbert possui infinitos elementos irredutíveis. Observe:

Demonstração
Se são elementos irredutíveis de , então é também um elemento de (por quê?), e portanto possui decomposição em fatores irredutíveis em . Seja um dos fatores que aparecem na decomposição de . Então , para , caso contrário (pelo mesmo motivo de antes). Logo existem infinitos números irredutíveis em .

Observação

Não serve escolher . Por que?

[editar] Demonstração de Hermite

Esta demonstração, assim como algumas outras, é uma variante daquela dada por Euclides. Acompanhe:

Demonstração

Para cada número natural , defina-se . Como qualquer outro número natural, possui algum fator primo . No entanto, este fator não pode ser divisor de qualquer número menor ou igual a , pois neste caso, dividiria também , e consequentemente seria divisor de . Portanto, tem que ser maior do que . Resumindo, dado qualquer inteiro positivo , existe um número primo que é maior do que , ou seja, o conjunto dos números primos é infinito.

[editar] Exemplos

Uma tabela como a anterior pode ser feita para os números . Neste caso, tem-se:

		Fatoração de	Tipo
			primo
			primo
			primo
			composto
			composto
...	...	...	...
	(bem grande!)	...	primo

Um fato curioso é que a última linha da tabela corresponde ao maior número primo da forma para valores de até 35500.

[editar] Demonstração de Saidak

Demonstração

Esta demonstração foi publicada recentemente pelo pesquisador Filip Saidak, em seu artigo A new proof of Euclid’s theorem de 2006. A prova consiste no seguinte: Forma-se uma sequência crescente de números , de tal modo que cada termo tenha pelo menos fatores primos. Dessa forma, inevitavelmente, conclúi-se que existem infinitos números primos. A sequência inicia com . Como e não têm divisores em comum, o produto possui ao menos 2 divisores primos. Do mesmo modo, e não têm fatores em comum, logo possui ao menos 3 fatores primos. O processo pode continuar indefinidamente, definindo-se sempre , e cada terá no mínimo k fatores primos (verifique isto por indução!).

[editar] Exemplos

Tomando , obtem-se a seguinte tabela:

		Fatoração de

[editar] Teorema fundamental da aritmética

Na demonstração deste resultado será assumido que é válido um outro teorema, cuja justificativa só será apresentada no próximo capítulo. Trata-se de uma propriedade bastante elementar, que já era conhecida por Euclides (alguns anos A.C):

Teorema

Se um número primo divide o produto de dois números inteiros, então ele é divisor de um dos dois.

(I)

Observação

• Em Álgebra a propriedade mencionada é usada para definir "primo" e em geral, a "irredutibilidade" (definida nos exemplos do primeiro capítulo) não coincide com a noção de "primalidade".
• A estrutura aditiva de será crucial na demonstração desta propriedade e consequentemente, do teorema fundamental da aritmética.

[editar] Demonstração do teorema fundamental da aritmética

Demonstração

A prova será feita por indução. Se , o resultado é imediato, então considere que o mesmo vale para todo número inteiro menor que . Supondo que existem duas decomposições para o inteiro , ou seja, , segue que algum é múltiplo de . Como a ordem dos fatores não é importante, pode-se supor que . Neste caso, seque que , pois e os únicos divisores de são e ele próprio. Logo, implica que Certamente , então pela hipótese de indução, m possui uma fatoração única, donde e , para cada índice. Assim, a fatoração de é única.

[editar] Corolário

Esta é chamada de forma padrão da decomposição em fatores primos.

Outra forma de escrita é

, com , exceto para uma quantidade finita de 's.

A constatação da verdade dessas afirmações é elementar.

[editar] Aplicação

A partir dessa notação pode-se definir uma função escolhendo . Verifica-se que a função acima definida goza das seguintes propriedades:

1. 
2. 

Essa função oferece uma forma "elegante" de se fazer certas demonstrações. Por exemplo, a irracionalidade de é provada assim:

Demonstração
Se fosse racional, poderia ser escrito como , sendo que , e . Neste caso, seria verdade que , ou seja, . Aplicando a função em ambos os membros, segue que No entanto, essa igualdade não é possível, pois o primeiro membro é um número par, e o último é ímpar. Logo, só pode ser irracional.

[editar] Uma equivalência

Como foi mostrado, se a propriedade (I) for válida, tem-se a validade do teorema fundamental da aritmética. Na verdade, as duas proposições são equivalentes.

Lembre-se que para garantir uma equivalência lógica (para mais informações, consulte algumas seções do wikilivro sobre lógica), é preciso verificar duas implicações, uma das quais já foi demonstrada neste capítulo. Resta ainda verificar o seguinte: ao supor a validade do teorema fundamental da aritmética, pode ser provada a propriedade (I)?

A resposta é afirmativa, e o motivo você encontrará nesta seção. Veja:

Demonstração
Suponha que . Então, pela definição de divisibilidade, existe algum número inteiro tal que . Mas e possuem decomposição em fatores primos, então: e Logo, , ou seja, precisa ser um dos 's ou um dos 's. No primeiro caso, conclui-se que , e no segundo .

[editar] Exercícios

1. Demonstre os seguintes fatos:
   1. Se (com ) for um número primo maior do que , então ou .
   2. O produto de dois elementos quaisquer do conjunto é ainda um elemento deste conjunto.
   3. O conjunto possui uma infinidade de números primos.

Por enquanto, há poucos exercícios sobre este capítulo. O leitor está convidado a adicionar mais exercícios nesta seção, para ajudar a melhorar o texto.

[editar] Máximo divisor comum

No capítulo anterior, foi demonstrado o teorema fundamental da aritmética. No entanto, a prova apresentada, utilizou-se de um resultado cuja prova apresentaremos neste capítulo. Para tanto, será preciso definir o conceito de máximo divisor comum entre dois números inteiros.

Este é o conteúdo da próxima seção.

[editar] Divisores comuns

[editar] Exemplos

[editar] Quem são os divisores comuns de a e b?

O conjunto formado pelos divisores comuns de e será denotado por .

No primeiro capítulo, mostrou-se que o número é divisor de qualquer número inteiro. Em particular, se forem escolhidos números e , certamente será um divisor comum de ambos.

Logo, o conjunto é não vazio, pois .

[editar] O maior dos divisores comuns

Se e for um divisor comum de e de , então . Logo o conjunto é limitado superiormente e deve ter um elemento máximo, ou seja, existe um divisor comum de e maior que todos os demais. Analogamente, para , o conjunto também tem um elemento máximo. O único caso que não é limitado superiormente é o conjunto , já que zero é múltiplo de qualquer inteiro não-nulo.

Isso motiva a próxima definição.

[editar] Definição de MDC

Quando o conjunto possui apenas um elemento positivo, ou seja, quando , os números e são ditos primos entre si, relativamente primos ou simplesmente co-primos.

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Unificar a notação utilizada ao longo do livro para denotar o MDC. Pode ser mais adequado utilizar sempre mdc(a,b), em vez de (a,b), para evitar confusões. Em caso de dúvida, pode-se discutir o assunto.

[editar] Exemplo

Qual é o máximo divisor comum entre e ?

Considerando que os divisores de são os elementos do conjunto e que os divisores de formam o conjunto , tem-se que , cujo maior elemento é . Portanto, .

Embora ainda não tenha sido explicado como encontrar o máximo divisor comum de dois números inteiros (isso será feito mais adiante), mostra-se que ele é um dos elementos do conjunto . Este resultado é um teorema surpreendente, pois relaciona a estrutura multiplicativa do conjunto dos números inteiros que foi estudada até agora, com sua estrutura aditiva:

[editar] Teorema de Bézout

O resultado também é conhecido como identidade de Bézout.

Antes de apresentar qualquer justificativa (construtiva ou puramente algébrica) dessa identidade, serão mostradas suas consequências imediatas mais importantes.

[editar] Corolário

Demonstração
Pelo teorema anterior, o máximo divisor comum entre e pode ser escrito como: , com e inteiros. Multiplicando cada membro da equação anterior por , obtem-se . Claramente, divide cada parcela desta soma. Consequentemente deve dividir .

Com essa propriedade, devida a Euclides de Alexandria, já é possível demonstrar o teorema que ficou pendente no capítulo anterior:

[editar] Propriedade fundamental dos primos

Demonstração
Sejam e um número primo que divide o produto . Será provado que se não divide , então deve necessariamente dividir . De fato, como é primo, o conjunto de seus divisores é . Além disso, , logo não pode ser um divisor comum de e . Segue que . De acordo com o corolário acima, isso implica que divide .

[editar] Demonstração do teorema de Bézout

Uma observação crucial para a demonstração do teorema de Bézout é que, para quaisquer números inteiros , tem-se a igualdade .

De fato, para que tal propriedade se verifique, é suficiente que os conjuntos e sejam iguais. Isso é verdade, pois:

• Se , então e .

Donde, .

Assim, .

• Reciprocamente, se , então e . Logo, deve dividir a soma:

,

ou seja, .

Outra propriedade do máximo divisor comum é a seguinte:

Por causa dela, pode ser suposto que , e obter a demonstração:

Demonstração
A prova será feita por indução em . Obviamente, se , tem-se , e a propriedade é válida pois sempre que tem-se: Logo, pode ser suposto que (e portanto, ). Será tomada como hipótese de indução que: os pares de números inteiros , cuja soma seja menor que , têm . Como , e somado com é menor que , a hipótese de indução garante que . Então:

Como toda prova por indução, a demonstração anterior fornece um algoritmo. No caso, trata-se de um procedimento para o cálculo de :

Dados de entrada
  Os inteiros  e .

Saída
  .

Procedimento
* Se , então ;
* Se , então ;
* Senão 

[editar] Exemplos numéricos

Usando o procedimento sugerido, pode-se calcular facilmente. Acompanhe:

No entanto, quando se tem bem maior que , a igualdade mais utilizada será .

Por exemplo, se e as etapas serão:

Neste caso, parece razoável subtrair de tantas vezes quanto for possível, em uma única etapa:

Em geral, será buscado um valor tal que , pois assim a igualdade (que é sempre verdadeira, para qualquer valor inteiro de ) reduz o cálculo de a um caso bem mais simples.

A existência de um número , satisfazendo ambas as desigualdades é garantida pelo algoritmo da divisão apresentado em um capítulo anterior. Se precisar relembrar os detalhes, consulte a seção "Algoritmo da divisão (de Euclides)".

De posse deste algoritmo, pode-se fazer uma melhoria no algoritmo sugerido anteriormente para o cálculo do MDC.

[editar] Algoritmo de Euclides para o MDC

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Adicionar informações históricas sobre o algoritmo e também uma referência às aplicações atuais em música, descrita nos artigos do Brun, e do Toussaint. Consulte a Bibliografia

Observe que esta é simplesmente uma generalização do algoritmo apresentado logo após a demonstração do teorema de Bézout.

É preciso verificar que o algoritmo irá parar, e ainda mais importante, que fornecerá a resposta correta.

[editar] Exemplo numérico

Quanto é ?

Aplicando o processo usado na demonstração do algoritmo de Euclides para o MDC, tem-se:

Logo, .

Para que não seja preciso explicitar cada uma das igualdades, pode-se dispor as informações de cada etapa em uma tabela como a seguinte:

quociente	1	1	2
30	18	12	6
Resto	12	6	0

É importante notar que, embora os quocientes apareçam indicados, o interesse está no valor dos restos.

Para obter automaticamente todas as etapas da aplicação do algoritmo de Euclides a outros pares de números inteiros, pode-se utilizar este recurso on-line, desenvolvido em javascript.

[editar] Interpretação matricial

Na demonstração de que o algoritmo de Euclides funciona, aparecem várias igualdades da forma:

O índice indica que esta é a -ésima divisão efetuada no algoritmo.

Cada uma dessas equações é uma equação de diferenças de segunda ordem, em que cada termo é descrito em função de dois anteriores. No caso, cada resto depende dos próximos dois restos, e reciprocamente, cada resto depende dos dois anteriores.

Tal relação de recorrência pode também ser expressa como:

, sempre que

Com essa notação, os cálculos que aparecem no algoritmo de Euclides para o MDC tornam-se mais sucintos. Por exemplo:

Para facilitar ainda mais a escrita, pode-se adotar a seguinte convenção:

Se o cálculo anterior for efetuado para todas as etapas do algoritmo, o resultado final será:

, sendo que .

Perceba que assim não há uma confusão tão grande com os índices dos sucessivos quocientes e restos.

Como a matriz é um produto de matrizes com entradas inteiras e não-negativas, nenhuma de suas entradas deverá ser negativa. Assim, é possível escrever da seguinte forma:

, com

Disso se conclui que

Escrevendo , tem-se

, pois cada matriz tem determinante igual a .

Logo, a matriz é invertível e . Esta última igualdade se justifica pois .

Dessas considerações, resulta que:

Fazendo o produto, e igualando cada componente, conclui-se que:

A primeira destas equções corresponde ao teorema de Bézout, com e . Já a segunda, implica em . Esse valor coincide com o conhecido mínimo múltiplo comum entre e , definido a seguir:

Segundo o comentário que precede esta definição, tem-se:

Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa na versão online deste material.

[editar] Exemplificando

Anteriormente foi visto que:

Utilizando esses valores, segue que:

.

Para este exemplo, a matriz inversa é

Logo,

, ou seja

• 
• 

Note que, quando são positivos, a expressão deve ter exatamente um dos valores menor que zero, para que a combinação linear de não seja maior que qualquer um deles.

[editar] Uma demonstração alternativa do teorema de Bézout

Agora será apresentada uma prova não construtiva do teorema de Bézout. Isso significa que, embora a mesma assegure a validade do teorema, ela não fornece um método para a obtenção do MDC (ao contrário do que foi feito anteriormente).

Além disso, são utilizados alguns conceitos que certamente são conhecidos por aqueles que possuem conhecimentos básicos de álgebra. Se este não for o seu caso, você poderá pular esta seção, e não haverá prejuizo na leitura do restante deste livro.

Demonstração

Sendo números inteiros, considere . Então, é um subgrupo aditivo de (um ideal), ou seja, possui as seguintes propriedades: ; Dados , tem-se . De fato, se então: com . Então: Mas todo subgrupo (aditivo?) de é escrito como , com , pois: Se é subgrupo de , então possui elementos não-negativos. Em particular, possui um menor elemento não-negativo . Se então pelo algoritmo de divisão, , com . Donde . Como , segue que , ou seja, . Para provar que se tem , escreva (isso é possível, já que ). Observe que: Então, tem-se , ou seja, é divisor de . Mas é o maior divisor porque, dado qualquer outro divisor , tem-se Logo, , ou seja, .

[editar] Exercícios

1. O algoritmo da divisão estabelece que dados os inteiros , existem inteiros tais que , com . Utilize uma calculadora comum (e apenas as quatro operações elementares) para obter os valores de correspondentes a alguns pares de inteiros .
2. Dados a e b, determine o valor de mdc(a,b) e números inteiros x, y tais que d = xa + yb, para os seguintes valores de a e b:
   1. a = 299 e b = 161
   2. a = 435 e b = 232
   3. a = 101 e b = 33
   4. a = 145 e b = 48

[editar] Ver também

[editar] Wikipedia

• Máximo divisor comum

[editar] Eficiência do algoritmo de Euclides

Neste capítulo, será discutido quão eficiente é o algoritmo de Euclides para o cálculo do MDC. De forma mais precisa, se forem dados dois números inteiros:

Quantas etapas (divisões) do algoritmo são necessárias para que um resto seja zero?

[editar] Fazendo estimativas

Recorde-se que o algoritmo baseia-se na construção da sequência:

cujos termos verificam as seguintes igualdades:

1
2
k-1
k			pois

O algoritmo fornece , que é o último resto não nulo, obtido em passos (divisões).

Uma observação importante é que o resto de uma divisão é sempre menor que a metade do dividendo:

Sendo a primeira desigualdade válida porque e a segunda porque . Deste modo, tem-se

e em geral

, para cada .

Assim, comparando os termos cujos índices são pares, segue:

Por indução, resulta para cada termo:

De modo análogo, ao comparar os termos ímpares, e usar novamente indução, segue:

Com isso, a sequência dos decresce geometricamente, pois está fixado. O fato de ser uma sequência decrescente já havia sido demonstrado quando se justificou o funcionamento do algoritmo de Euclides. A novidade aqui é a velocidade com que a sequência decresce. Pelos cálculos anteriores, os restos diminuem, no mínimo, tão rápido quanto os termos da progressão geométrica .

A questão colocada era: Quantas divisões são necessárias para que o resto seja zero?

Analisando a progressão geométrica dada anteriormente, conclui-se que algum de seus termos é menor do que . Nesse caso, o resto correspondente será nulo, e o algoritmo para. Para ser mais exato, como

o menor índice inteiro que torna menor que é

Onde denota o maior inteiro que não supera (a parte inteira de ).

Então , e consequentemente r_2t = 0, pois os restos são números inteiros não-negativos.

Assim, sabendo que o algoritmo para exatamente quando , conlui-se que tal índice não pode ser maior que , em símbolos:

Para melhor compreender o significado dessa estimativa, considere que tem dígitos decimais. Então:

Aplicando o logaritmo em ambos os membros da segunda desigualdade, resulta

Logo, , que para valores grandes de é aproximadamente .

Embora esta não seja a melhor aproximação para , já é bastante útil, pois mostra que o número de etapas cresce linearmente com o número de dígitos de .

[editar] O pior caso

Para obter uma estimativa mais precisa do número de etapas que o algoritmo de Euclides leva para determinar o MDC de dois números, será considerada a seguinte questão:

Qual é o menor valor de para o qual o algoritmo leva passos?

Veja alguns exemplos utilizando a representação matricial do algoritmo:

Para :

Para :

Para :

É fácil perceber que é mínimo quando os valores forem todos iguais a , cada entrada da matriz é um polinômio nas variáveis (que são positivas), e cujos coeficiêntes são (se puder, acrescente uma justificativa mais formal).

Se cada quociente for substituido por na fórmula de recorrência

Esta passará a ser:

Que vale para satisfazendo .

A nova relação lembra a fórmula que define a sequência de Fibonacci, embora esteja "ao contrário".

Recordando A sequência de fibonacci é definida pelas seguintes equações: Assim, seus primeiros termos são: Também é possível demonstrar que é válida a fórmula de Binet: onde: , que é conhecido como o número de ouro;

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Conferir se o expoente k+1 está correto ou se deveria ser k, na próxima equação

Matricialmente, as condições produzem as seguintes igualdades:

, sendo que .

Com um simples uso do princípio de indução finita, consegue-se:

, desde que .

Deste modo,

Como , segue que

• 
• 

[editar] Exemplificando

Para determinar o valor de , seria necessário efetuar cinco divisões:

Logo, . Aproveitando este exemplo, observe que:

No entanto, se qualquer dos números for menor, o algoritmo requer menos etapas. Por exemplo, ao determinar tem-se:

Donde, .

Já o cálculo de é ainda mais simples:

Portanto, .

[editar] Melhorando as estimativas

Sabendo qual é o pior caso para a aplicação do algoritmo de Euclides, pode-se deduzir uma melhor estimativa de sua eficiência. Uma análise mais elaborada que aquela apresentada no início do capítulo fornece o seguinte resultado:

[editar] Teorema de Lamé

Gabriel-Lamé

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Incluir breve biografia sobre Lamé.

Para demonstrar o teorema de Lamé, é importante ter em mente algumas propriedades relacionadas a sequência de Fibonacci e ao número de ouro:

Tem-se:

• 

Demonstração
A verificação é direta, exigindo cálculos bastante simples.

• , arredondado para o inteiro mais próximo.

Demonstração
Utilizando a fórmula de Binet, basta observar que o módulo de é menor que , e consequentemente, quando , tem-se

• 

Demonstração
A justificativa será dada por indução: Se for verdade que , então:

• 

Demonstração
De fato, valem as seguintes equivalências: Mas (verifique a partir de ), e pois Sendo que esta última desigualdade é verdadeira.

Como foi visto anteriormente, quando é exige exatamente passos, é tem-se e . Logo,

Aplicando o logaritmo em ambos os menbros, segue:

ou seja

Mas , então:

, onde é o número de dígitos de

[editar] Demonstração da fórmula de Binet

Nesta seção, será deduzida a fórmula de Binet:

onde e .

A principal razão para se utilizar está fórmula, em vez da definição recursiva da sequência de Fibonacci, é que ela permite a obtenção de um termo da sequência sem precisar calcular os anteriores.

Demonstração

A relação entre os termos da sequência pode ser descrita matricialmente da seguinte forma: Para simplificar, será adotada a seguinte notação: A partir de um simples argumento de indução (veja exercício 1), obtem-se: Neste ponto, recorre-se à Álgebra linear, para obter um jeito simples de calcular o produto acima. Se puder ser escrito , com e sendo auto-vetores de , ou seja, vetores não nulos tais que e , será possível obter: A partir daí será bastante simples conseguir a fórmula explicita para (a segunda componente do vetor à esquerda), pois seriam constantes. É, portanto, necessário determinar essas constantes, a começar pelos auto-valores de . Tem-se: Logo , ou seja, Assim, (que implica ) ou . O primeiro caso não é de interesse, pois auto-vetores não são nulos. Note que a equação acima possui duas raízes: Além disso, se é raiz da equação, então para cada , o vetor é um auto-vetor de . Em particular, se , os auto-vetores correspondentes a cada raiz da equação quadrática são: De modo que e Resta escrever conforme se pretendia. Isso é fácil, já que são conhecidos e : Da segunda equação, segue que . Substituindo esse valor na primeira equação, resulta: Como (verifique!), tem-se . Logo, . Assim, . Em consequência: Em particular, escrevendo a igualdade entre as segundas coordenadas desses vetores, obtem-se a fórmula desejada:

[editar] Exercícios

1. Verifique, utilizando o princípio de indução, que:

   

2. Escreva outra demonstração para a fórmula de Binet, utilizando o princípio de indução.

Por enquanto, não há muitos exercícios sobre este capítulo. O leitor está convidado a adicionar mais ítens a essa seção, para ajudar a melhorar o texto.

[editar] Equações diofantinas

Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.

Considere o seguinte problema:

Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?

Matematicamente, o que se quer saber é:

Quais os valores de , para os quais a solução  possui alguma solução inteira?

Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.

[editar] As equações diofantinas lineares

A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: . Aqui, os inteiros e são fixados.

Quando é que tal equação possui solução?

O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.

Demonstração

Primeiramente, observe que se é uma solução, então (pela linearidade da divisibilidade). Reciprocamente, se , então . Mas pelo teorema de Bézout, existem inteiros tais que . Logo, multiplicando cada membro por , tem-se: ou seja, basta tomar e , e será uma solução. Resta determinar a forma geral de todas as soluções. Se for uma solução conhecida, qualquer outra solução satizfaz: Então , ou seja, . Tomando é possível escrever Donde: Claramente e . Logo ou seja, existe tal que Portanto, Usando essa expressão em resulta Disto se conclui que .

Assim como acontece em problemas que envolvem equações diferenciais, para determinar o conjunto solução de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, )

Agora é possível resolver o problema proposto no início.

[editar] Aplicação

Será que existem números inteiros que verificam ?

Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portant infinitas) é preciso que .

Pelo algoritmo de Euclides obtem-se , além de . Multiplicando ambos os membros por , segue que:

Assim, as demais soluções são da forma:

• 
• 

No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:

• 
• 

que são equivalentes a

Para que exista algum valor inteiro nesse intervalo, é suficiente que , ou seja,

Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de também há soluções:

• 
• 
• 
• 
• 
• 

A conclusão final é que, utilizando apenas notas de e de é possível obter qualquer valor inteiro maior que ou igual a .

[editar] Interpretação geométrica

Sabe-se que o conjunto dos pontos (com coordenadas reais) que verificam a equação é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da equação diofantina , são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Incluir figura mostrando uma reta , que passa por vários pontos de coordenadas inteiras, e cujo ponto mais próximo da origem (e com coordenadas inteiras) é destacado.

[editar] Diferença de quadrados

Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:

Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber exatamente quais são os números inteiros que são soma de quadrados.

Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:

• tem soluções inteiras?
• tem soluções inteiras?

Para poder entender a estratégia para a resolução desse tipo de problema, considere que a segunda equação tenha alguma solução :

O que se pode afirmar sobre esses dois números inteiros?

Primeiramente, deve valer , ou seja, a soma e a diferença das soluções devem ser divisores de . Sabe-se, por exemplo, que . Será que existem inteiros tais que

• 
• 

Por inspeção, percebe-se que e servem, logo .

E quanto ao outro problema?

É possível encontrar um par de divisores de (por exemplo, e ) tais que um seja a soma, e outro a diferença das soluções?

Observe:

Divisores de

Você é capaz de encontrar alguma linha dessa tabela contendo a soma e a diferença de dois números inteiros? Justifique.

Em vez de continuar tratando o problema baseando-se em exemplos particulares, considere que existem satisfazeno a equação em sua forma geral:

Conforme anteriormente, conclui-se que, para alguma escolha de , tais que , tem-se e , ou seja, para tais divisores de existe uma solução para o sistema:

Equivalentemente, tais inteiros são também solução do sistema:

Se você interpretar essas equações adequadamente, concluirá que devem ter a mesma paridade (ser ambos pares ou ambos ímpares). De fato, se um deles for par e o outro for ímpar, sua soma será um número ímpar, e consequentemente não poderá ser escrita como , para nenhum valor inteiro .

Na verdade, com pouca ou nenhuma argumentação extra, prova-se a validade do seguinte teorema

[editar] Teorema

Demonstração

A argumentação precedente mostrou que se então , sendo que têm a mesma paridade. Reciprocamente, se têm a mesma paridade, então sua soma e sua diferença são números pares, significando que o sistema possui uma solução. Mas o conjunto solução deste sistema coincide com o de: Logo, . Para finalizar a demonstração, note que as paridades de são iguais se, e somente se: são ímpares ou são pares Mas são ímpares se, e somente se, é ímpar. Além disso, para que sejam pares, é necessário e suficiente que e . Neste caso, , ou seja, é múltiplo de .

Uma forma direta de obter a representação de como diferença de quadrados é a seguinte:

• Se é múltiplo de .

Nessa situação, .

• Se é ímpar.

Nesse caso, .

[editar] Exemplo

Com esse resultado, conclúi-se que não há solução para o problema dado em um exemplo anterior:

• 

De fato, não é ímpar e nem múltiplo de .

Por outro lado, usando a fórmula anterior, fica fácil resolver:

• 

Como , segue que

[editar] Ternos pitagóricos

Um pouco de história Pitágoras foi um matemático e filósofo grego nascido por volta de 570 a.C., na ilha de Samos. Ele é creditado pela demonstração de uma importante relação entre os lados de um triangulo retângulo, hoje conhecida como o teorema de Pitágoras, cujo enunciado é geralmente resumido da seguinte forma: O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os outros dois lados.

Um terno pitagórico é uma tripla de números inteiros que satisfazem a equação:

Por exemplo, , então é um terno pitagórico. Obviamente, também é um terno pitagórico, mas este último caso é trivial e sem interesse, portanto não será considerado na discussão que segue. O objetivo dessa seção é determinar em que circunstâncias a equação tem solução não trivial (não todos nulos).

É possível simplificar a investigação, considerando somento o caso em que são primos entre si. De fato, se então:

Na verdade, se for uma solução, então o máximo divisor comum destes números verifica as seguintes igualdades:

Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa na versão online deste material.

Em particular, não podem haver não podem ser ambos pares.

Por outro lado, os inteiros também não podem ser ambos ímpares.

De fato, se assim ocorresse, valeria:

• , para algum inteiro
• , para algum inteiro

Deste modo, elevando cada um destes números ao quadrado, resultaria:

• e
• 

Donde:

• 

Ou seja, a soma dos quadrados de e seria par, mas não pertenceria a .

No entanto, sempre que é par, tem-se par e consequentemente .

Logo, quando são ambos ímpares, a soma de seus quadrados não pode ser um quadrado perfeito.

Segue que dos inteiros , um é ímpar e outro é par. Sem perda de generalidade, pode-se supor que é par e é ímpar.

Uma outra forma de escrever a equação original é:

A partir daí, pode-se deduzir outras informações sobre os inteiros que a satisfazem. Por exemplo, , pois:

A segunda implicação vale pois . Logo, .

Mas não pode ocorrer , senão:

e como é par, também seria, coisa que não é possível já que .

Assim, o quadrado perfeito é o produto de dois números primos entre si. Disso decorre que cada um deles deve ser um quadrado perfeito (veja o exercício 1), ou seja:

que equivale a:

Portanto, quando três números inteiros primos entre si (e não todos nulos) satizfazem a equação:

devem existir inteiros , ímpares e primos entre si, tais que e:

Claramente, para quaisquer inteiros , os valores de obtidos pelas fórmulas acima são ternos pitagóricos, pois:

[editar] Exemplos

Pode-se obter facilmente uma dezena de ternos pitagóricos utilizando as fórmulas:

Alguns deles são listados na tabela a seguir:

parâmetros		ternos pitagóricos
3	1	3	4	5
5	1	5	12	13
7	1	7	24	25
9	1	9	40	41
5	3	15	8	17
7	3	21	20	29

Note ainda que toda solução é da forma:

onde:

[editar] Observações

A fórmula clássica para a obtenção de ternos pitagóricos é conhecida como Fórmula de Euclides, por ter sido apresentada nos Elementos de Euclides é a seguinte:

Tal fórmula é equivalente àquela deduzida anteriormente, como se pode verificar facilmente:

Demonstração
De fato, foi mostrado que se , com então não têm a mesma paridade. Adimitindo que seja ímpar e que seja par, conclui-se que é impar e portanto: Mas é verdade que , pois a soma e a diferença de dois números ímpares são números pares. Donde que é equivalente a: sendo que Disso se conclui também que:

[editar] Exercícios

1. Mostre que se , com primos entre si, então são quadrados perfeitos.

[editar] Congruências

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss foi um famoso matemático, astrônomo e físico alemão.

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Incluir breve biografia sobre Carl Friedrich Gauss, enfatizando suas contribuições na teoria de números.

[editar] Definição

Com essa notação, tem-se para quaisquer inteiros :

pois

e

Como se pode ver na próxima tabela, onde são listadas todas as combinações possíveis para e módulo , a soma de dois quadrados nunca é congruente a módulo .

	0	1
0	0	1
1	1	2

Em outras palavras, o simples cálculo feito acima mostra que ao somar dois quadrados perfeitos, o sucessor do resultado nunca é múltiplo de .

Nota

Sendo assim, a notação para congruências, introduzida por Gauss evita o uso de várias constantes () que não são relevantes durante grande parte dos cálculos envolvendo divisibilidade. Atente para a semelhança (visual) entre as seguintes expressões:

Observação

Conforme o algoritmo da divisão, dados e existem únicos de modo que:

, com

Isso significa que qualquer inteiro é congruente ao seu resto na divisão por um inteiro não nulo . Uma vez que o resto obtido é único, pode-se definir para cada inteiro fixado, uma função que a cada número associa o resto da divisão de por . A imagem de por esta função é denotada por . Mais precisamente:

Quando não houver risco de confusão, o índice será omitido e será escrito apenas em vez de .

[editar] A congruência vista como uma relação de equivalência

A partir da noção de congruência módulo um certo inteiro , pode-se definir uma relação no conjunto dos números inteiros da seguinte forma:

Como será mostrado logo a diante, a relação assim definida satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria, transitividade, sendo por isso considerada uma relação de equivalência:

1. 
2. 
3. 

De modo geral, é sempre possível construir uma relação de equivalência sobre um conjunto a partir de uma função cujo domínio seja . De fato, se for definido que:

então será uma relação de equivalência em , pois :

1. 
2. 
3. 

E destas propriedades da igualdade seguem as propriedades correspondentes para a relação . Em particular, tomando , e , conclui-se que a congruência é uma relação de equivalência.

[editar] Compatibilidade com as operações

Um fato importante, que não pode deixar de ser mencionado é que a relação de congruência é compatível com as operações do anel dos números inteiros, a saber, a adição e a multiplicação. Uma operação é compatível com uma relação de equivalência quando a partir de

pode-se concluir que

No caso da relação de congruência, vê-se que a mesma é compatível tanto com a adição quanto com a multiplicação de números inteiros, como é sintetizado no próximo resultado.

A verificação deste resultado é bem simples, como se pode ver a seguir.

Demonstração
Primeiramente, da hipótese sobre os inteiros , segue que existem inteiros , tais que Donde, . ou seja, . Além disso, onde Logo, ou seja,

[editar] O anel das classes de congruência

Sempre que se tem uma relação de equivalência sobre um conjunto é possível definir uma partição de tal conjunto. Uma coleção de subconjuntos de é chamada de partição de se todo elemento de pertence a exatamente um elemento de . Os elementos de são disjuntos dois a dois, e sua união é o próprio conjunto .

Para definir uma partição de , usando a congruência módulo , primeiramente define-se para cada inteiro a classe de equivalência de , segundo , como:

Quando o inteiro estiver subentendido, será utilizado apenas para denotar .

Nesses termos, o quociente de pela relação é a partição dada por:

Por simplicidade, denota-se simplesmente como .

Uma das formas de visualizar essa partição de é imaginar que sobre um barbante foram marcados todos os números inteiros, separando os números adjacentes sempre por uma mesma distância. Depois disso, para obter uma representação de , enrola-se o barbante em torno de uma circunferência (infinitas vezes!), de modo que o zero ocupe a mesma posição que os inteiros . Você pode então pensar nos elementos de como sendo os n pontos sobre a circunferência que se formou. Veja uma ilustração:

Deste modo, cada ponto da circunferência representa uma das classes de equivalência módulo , ou seja, o conjunto dos números inteiros que ficaram sobrepostos naquele ponto da circunferência.

Mas o que há de interessante em particionar o conjunto dos números inteiros?

A grande utilidade de separar os números inteiros em várias classes de congruência é consequência da compatibilidade da congruência com as operações de adição e multiplicação: Sabendo-se que elas são compatíveis, é possível definir em cada novas operações de adição e multiplicação. O procedimento é o seguinte:

Fixado um inteiro , e dadas as classes , define-se:

(ou simplesmente )

Em outras palavras, a soma (produto) das classes de congruência dos inteiros é a classe de congruência de sua soma (produto).

É importante notar onde é utilizada a compatibilidade da congruência com as operações de : Dadas duas classes de equivalência e , tanto faz obter como sendo ou . Todas essas classes são idênticas!

Mais do que isso, ao definir essas operações, torna-se um anel com unidade, ou seja, são válidas as seguintes propriedades:

Além disso, tem-se um homomorfismo de anéis entre e :

---

Recordando...

Um anel com unidade é um conjunto R equipado com duas operações binárias + : R × R ? R e · : R × R ? R (onde × denota o produto cartesiano), chamadas de adição e multiplicação, tais que:

• (R, +) é um grupo abeliano com elemento identidade, isto é, para todo a, b, c em R, vale o seguinte:
  • (a + b) + c = a + (b + c) (+ é associativa)
  • 0 + a = a (0 é a identidade)
  • a + b = b + a (+ é comutativa)
  • para cada a em R existe −a em R tal que a + (−a) = (−a) + a = 0 (−a é o elemento inverso de a)
• (R, ·) é um monóide com elemento identidade 1, isto é, para todo a, b, c em R, vale:
  • (a · b) · c = a · (b · c) (· é associativa)
  • 1 · a = a · 1 = a (1 é a identidade)
• Multiplicação se distribui em relação a adição:
  • a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
  • (a + b) · c = (a · c) + (b · c).

---

[editar] Exemplos

As próximas tabelas são as tabuadas das operações de adição e multiplicação no anel . Note que este é um número composto, e que (por esse motivo) existem elementos não nulos em cujo produto é zero (no caso, ).

	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Outro fato curioso que pode ser identificado em alguns anéis é a presença de elementos nilpotentes, ou seja, tais que alguma de suas potências é nula. Por exemplo, em , tem-se .

Veja a tábua de multiplicação completa para o anel de inteiros módulo :

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	0	2	4	6	8	10	0	2	4	6	8	10
3	0	3	6	9	0	3	6	9	0	3	6	9
4	0	4	8	0	4	8	0	4	8	0	4	8
5	0	5	10	3	8	1	6	11	4	9	2	7
6	0	6	0	6	0	6	0	6	0	6	0	6
7	0	7	2	9	4	11	6	1	8	3	10	5
8	0	8	4	0	8	4	0	8	4	0	8	4
9	0	9	6	3	0	9	6	3	0	9	6	3
10	0	10	8	6	4	2	0	10	8	6	4	2
11	0	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

O próximo passo é tentar compreender algebricamente os conjuntos .

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Revisar/reescrever/excluir o trecho a seguir (até onde diz "Corolário da p7").

No próximo diagrama pode ser observada a estrutura aditiva de :

é subgrupo aditivo de .

, subgrupo aditivo de

. Logo

Menor tal que .

gera , ou seja são os blocos básicos.

Observe a seguinte tabela, onde constam as ordens aditivas módulo 6.

	1	2	3	4	5	6
0	0
1	1	2	3	4	5	0
2	2	4	0
3	3	0
4	4	2	0
5	5	4	3	2	1	0

. Logo

Corolário da p7

Se p é primo então não tem subgrupos triviais.

ou . Isso implica que ou , donde é domínio de integridade e portanto, é corpo (todo domínio finito é corpo).

Exemplo:

	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

Outra consequencia é que, fixado z não nulo em Z_p, a função , definida por é injetiva, pois se , ou seja, , então . Como , pode-se concluir que , ou seja, .

Em particular, da sobrejetividade de , e de (a imagem de ), segue a existência de tal que , ou seja, tal que .

Algebricamente, o significado da sobrejetividade de é a existência de um elemento inverso para cada (quando p é primo). No entanto, a argumentação anterior é não construtiva, pois não indica um método para obter o inverso de um certo .

Pode-se obter outra justificativa para a existência de elementos inversos em usando o teorema de Bezout. De fato, se, e somente se, , ou seja, se, e somente, . Usando o algoritmo de Euclides, pode-se então encontrar tais que . Em particular, usando congruências módulo p segue . Donde , ou seja, . Portanto, o procurado é simplesmente .

[editar] Resumindo

Os fatos mais relevantes apresentados na discussão feita até agora podem ser sintetizados da seguinte forma:

• Para qualquer , tem-se um anel finito ;
• São equivalentes:
  • é corpo;
  • é um domínio;
  • é um número primo;

(propriedades algébricas dos conjuntos -- anéis regulares --correspondem a propriedades aritméticas dos numeros inteiros ).

• São também equivalentes:
  • tem divisores de zero;
  • é um número composto;

[editar] Unidades

Para um inteiro arbitrário (seja ele primo ou não), podem ser considerada a questão:

Quais elementos de são inversíveis?

Antes de responder essa pergunta, convém introduzir uma notação específica para denotar o conjunto dos elementos que possuem inverso multiplicativo:

[editar] Exemplos

• Se p é número primo, então

• 

• 

[editar] Propriedades das unidades

Pode-se verificar que para qualquer , o conjunto , das unidades de , é um grupo multiplicativo finito. Em particular, sempre que , tem-se . Além disso, e existe tal que .

Novamente, a estrutura de reflete as propriedades aritméticas de . Para melhor entender o que isso significa, é interessante saber para cada a quantidade de elementos de . É razoável esperar que esse número varie com , então o melhor é definir uma função que associa com a cardinalidade de :

Observações

• Convenciona-se que .
• O valor é justamente a quantidade de números de a que são coprimos com :

Demonstração
De fato, se , então existe tal que , ou seja, . Isso significa que , ou seja, que . Segue que . Reciprocamente, se , então (teorema de Bézout). Logo, e consequentemente, . Neste caso, .

[editar] Exemplos

• Quando é um número primo, tem-se .
• Por outro lado, para números compostos, pode ser bem menor do que . Em particular, .

[editar] Curiosidades

O valor de  é justamente a quantidade de frações próprias não negativas com denominador  (ou seja, ) que já estão na forma irredutível.

[editar] Exemplo

No caso apresentado anteriormente, temos as seguintes frações próprias com tal denominador:

Escrevendo cada uma delas na forma irredutível obtém-se:

Pode-se então conferir que, como era esperado, só duas das frações já estavam em sua forma irredutível: e .

Note que ao escrever cada fração em sua forma irredutível os denominadores que surgem são todos divisores de . Além disso, tem-se:

• 1 fração com denominador 1
• 1 fração com denominador 2
• 2 fração com denominador 3
• 2 fração com denominador 6

Totalizando frações. Por outro lado, a seguinte tabela indica um fato muito interessante:

d	Número de frações com denominador d
1	1	1
2	1	1
3	2	2
6	2	2

Percebe-se que as duas últimas colunas coincidem. Mas o que isso significa?

Isso quer dizer que o número é, na verdade, igual a soma dos valores de cada um dos divisores . Em símbolos:

Pode-se verificar que essas duas propriedades são válidas em geral:

• é igual à quantidade de frações próprias não negativas com denominador que estão na forma irredutível.

• 

Justificativa
Fica a cargo do leitor justificar este fato. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo a justificativa na versão online deste material.

[editar] Equações lineares

Uma questão muito natural é investigar em que casos há alguma solução para equações lineares do tipo

[editar] Exemplo de equação linear com apenas uma solução

Considere em a seguinte equação:

ou, em termos de congruências,

Sabendo que , é possível determinar tais que

Por exemplo, pode-se tomar e . Outra possibilidade é e . Neste caso, nota-se que:

ou seja,

significando que em , ou seja, que neste anel o inverso multiplicativo de é ele mesmo. Sabendo disso, é possível resolver

de forma análoga à utilizada em : Multiplicando-se ambos os membros pelo inverso de , segue:

ou seja,

Conclui-se então que, nesse exemplo, há uma somente uma solução em para a equação dada. Observe ainda que o número não teve qualquer influência no número de soluções para o problema. Isso pode ser percebido considerando para cada o resultado de sua multiplicação por :

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	3	6	1	4	7	2	5

Note que se tem uma permutação dos elementos de e que, portanto, o único elemento que é levado em ao ser multiplicado por é o . Essa unicidade permaneceria se o fosse trocado por qualquer outro elemento.

[editar] Exemplo de equação linear sem solução

Considere a seguinte equação em :

que em termos de congruências se escreve como

Já foi mostrado que ela é equivalente à seguinte equação em :

ou seja,

É claro que tal equação não adimite sequer uma solução inteira, uma vez que à esquerda tem-se um número par e a direita um ímpar, ou para ser mais exato, pois .

[editar] Exemplo de equação linear com duas soluções

Como um último exemplo antes de conhecer o teorema que dá uma resposta definitiva sobre o número de soluções de uma equação linear em , considere em a equação:

ou seja,

O problema de encontrar soluções para esta equação é equivalente a encontrar inteiros tais que:

Dividindo ambos os membros por dois, obtem-se

ou seja,

Em termos de congruências, segue:

Os números inteiros que verificam essa congruência são os termos da progressão aritmética:

No entanto, como as soluções são buscadas em , devemos considerar os números acima módulo :

ou seja, o conjunto das soluções é:

Em suma, verificou-se através dos exemplos anteriores que é possível encontrar em equações do tipo que possuam uma ou duas soluções, e mesmo equações que não adimitem solução. Essa é uma notavel diferença entre corpos (como , e ) e anéis. Por exemplo, em ou você deve estar habituado a resolver , simplesmente dividindo os dois membros por (e talvez descrevendo esse procedimento como "passar o para o lado direito, dividindo..."). No entanto, é tempo de notar que isso só é possível quando possui inverso. Em , todo número não nulo possui inverso. Mas isso não é verdade em todo anel! Por essa razão torna-se necessário tomar algum cuidado ao resolver equações nos aneis . Fique atento!

[editar] Exercícios

1. Mostre que, se e é um polinômio com coeficientes inteiros, então .
2. Que propriedade aritmética do número inteiro corresponde a existência de elementos nilpotentes em ? (Lembre-se, um elemento é nilpotente quando alguma de suas potências inteiras é igual a zero)

[editar] Problemas em aberto

Mesmo com toda a pesquisa desenvolvida até hoje em teoria de números, há muitos problemas (conjecturas) cuja resposta ainda não se conhece. Neste capítulo, será feito um apanhado daqueles mais relevantes.

Esta página é um esboço de matemática. Ampliando-a você ajudará a melhorar o Wikilivros.

[editar] Conjectura de Goldbach

[editar] Hipótese de Riemann

[editar] Primos de Fibonacci

[editar] Primos de Mersenne

[editar] Primos gêmeos

[editar] 10000 primos

[editar] Lista dos primeiros 10000 números primos

A tabela a seguir foi produzida de forma automatizada, utilizando uma macro elaborada justamente para este fim. O código fonte está disponível na última seção desta página, e foi escrito na linguagem de programação OpenOffice.org Basic.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521	523	541
547	557	563	569	571	577	587	593	599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809
811	821	823	827	829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911	919	929	937	941
947	953	967	971	977	983	991	997	1009	1013	1019	1021	1031	1033	1039	1049	1051	1061	1063	1069
1087	1091	1093	1097	1103	1109	1117	1123	1129	1151	1153	1163	1171	1181	1187	1193	1201	1213	1217	1223
1229	1231	1237	1249	1259	1277	1279	1283	1289	1291	1297	1301	1303	1307	1319	1321	1327	1361	1367	1373
1381	1399	1409	1423	1427	1429	1433	1439	1447	1451	1453	1459	1471	1481	1483	1487	1489	1493	1499	1511
1523	1531	1543	1549	1553	1559	1567	1571	1579	1583	1597	1601	1607	1609	1613	1619	1621	1627	1637	1657
1663	1667	1669	1693	1697	1699	1709	1721	1723	1733	1741	1747	1753	1759	1777	1783	1787	1789	1801	1811
1823	1831	1847	1861	1867	1871	1873	1877	1879	1889	1901	1907	1913	1931	1933	1949	1951	1973	1979	1987
1993	1997	1999	2003	2011	2017	2027	2029	2039	2053	2063	2069	2081	2083	2087	2089	2099	2111	2113	2129
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2437	2441	2447	2459	2467	2473	2477	2503	2521	2531	2539	2543	2549	2551	2557	2579	2591	2593	2609	2617
2621	2633	2647	2657	2659	2663	2671	2677	2683	2687	2689	2693	2699	2707	2711	2713	2719	2729	2731	2741
2749	2753	2767	2777	2789	2791	2797	2801	2803	2819	2833	2837	2843	2851	2857	2861	2879	2887	2897	2903
2909	2917	2927	2939	2953	2957	2963	2969	2971	2999	3001	3011	3019	3023	3037	3041	3049	3061	3067	3079
3083	3089	3109	3119	3121	3137	3163	3167	3169	3181	3187	3191	3203	3209	3217	3221	3229	3251	3253	3257
3259	3271	3299	3301	3307	3313	3319	3323	3329	3331	3343	3347	3359	3361	3371	3373	3389	3391	3407	3413
3433	3449	3457	3461	3463	3467	3469	3491	3499	3511	3517	3527	3529	3533	3539	3541	3547	3557	3559	3571
3581	3583	3593	3607	3613	3617	3623	3631	3637	3643	3659	3671	3673	3677	3691	3697	3701	3709	3719	3727
3733	3739	3761	3767	3769	3779	3793	3797	3803	3821	3823	3833	3847	3851	3853	3863	3877	3881	3889	3907
3911	3917	3919	3923	3929	3931	3943	3947	3967	3989	4001	4003	4007	4013	4019	4021	4027	4049	4051	4057
4073	4079	4091	4093	4099	4111	4127	4129	4133	4139	4153	4157	4159	4177	4201	4211	4217	4219	4229	4231
4241	4243	4253	4259	4261	4271	4273	4283	4289	4297	4327	4337	4339	4349	4357	4363	4373	4391	4397	4409
4421	4423	4441	4447	4451	4457	4463	4481	4483	4493	4507	4513	4517	4519	4523	4547	4549	4561	4567	4583
4591	4597	4603	4621	4637	4639	4643	4649	4651	4657	4663	4673	4679	4691	4703	4721	4723	4729	4733	4751
4759	4783	4787	4789	4793	4799	4801	4813	4817	4831	4861	4871	4877	4889	4903	4909	4919	4931	4933	4937
4943	4951	4957	4967	4969	4973	4987	4993	4999	5003	5009	5011	5021	5023	5039	5051	5059	5077	5081	5087
5099	5101	5107	5113	5119	5147	5153	5167	5171	5179	5189	5197	5209	5227	5231	5233	5237	5261	5273	5279
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103087	103091	103093	103099	103123	103141	103171	103177	103183	103217	103231	103237	103289	103291	103307	103319	103333	103349	103357	103387
103391	103393	103399	103409	103421	103423	103451	103457	103471	103483	103511	103529	103549	103553	103561	103567	103573	103577	103583	103591
103613	103619	103643	103651	103657	103669	103681	103687	103699	103703	103723	103769	103787	103801	103811	103813	103837	103841	103843	103867
103889	103903	103913	103919	103951	103963	103967	103969	103979	103981	103991	103993	103997	104003	104009	104021	104033	104047	104053	104059
104087	104089	104107	104113	104119	104123	104147	104149	104161	104173	104179	104183	104207	104231	104233	104239	104243	104281	104287	104297
104309	104311	104323	104327	104347	104369	104381	104383	104393	104399	104417	104459	104471	104473	104479	104491	104513	104527	104537	104543
104549	104551	104561	104579	104593	104597	104623	104639	104651	104659	104677	104681	104683	104693	104701	104707	104711	104717	104723	104729

[editar] Código fonte da macro utilizada

Para obter uma réplica da tabela acima, basta fazer o seguinte:

• Criar um novo documento no OpenOffice.org Writer;
• Copiar o código abaixo para uma nova macro do OpenOffice.org Basic.
• Executar a macro escolhendo (quando for perguntado) 500 linhas, 20 colunas e maior número primo igual a 123456.

Notas

• A execução pode levar alguns minutos (não mais do que 10), pois não foi feito qualquer esforço para otimizar o código.
• No caso de querer converter a tabela resultante para a sintaxe do MediaWiki, pode ser utilizado o comando exportar no OpenOffice, escolhedo o formato "MediaWiki (.txt)".

[editar] Bibliografia

[editar] Livros em português

• Coutinho, Severino Coullier. Números inteiros e criptografia RSA. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 226 p. ISBN 8524401249

Neste livro são tratados os tópicos de teoria de números que são essenciais para a compreensão do método de criptografia RSA. A forma de exposição do conteúdo procura evitar o padrão "Definição, Teorema, Demonstração", que é usado em muitos livros de matemática.

• Hefez, Abramo. Curso de álgebra. 3.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. 226 p. ISBN 852440079X

• Milies, César Polcino, Coelho, Sônia Pitta. Números: Uma introdução à Matemática. 3.ed. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2003. ISBN 8531404584

• Moreira, Carlos Gustavo Tamm de Araujo, Saldanha, Nicolau C. Primos de Mersenne: e outros primos muito grandes. IMPA, 1999. 81 p. v. 1. ISBN 8524401494

• Ribenboim, Paulo. Números primos: Mistérios e records. Rio de Janeiro: IMPA, 2001. 292 p. ISBN 8524401680

• Santos, José Plínio de Oliveira. Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 198 p. ISBN 9788524401428

[editar] Livros em inglês

• Apostol, Tom M.. Introduction to Analytic Number Theory. Springer, 1976. 352 p. ISBN 0387901639

• Cassels, J. W. S.. An introduction to diophantine aproximations. Cambridge University Press, 1957.

• Cohn, Harvey. A Second Course in Number Theory. New York: John Wiley & Sons, 1962. 276 p.

• Dickson, Leonard Eugene. History of the theory of numbers: Divisibility and Primality. American Mathematical Society, 1966. 486 p. ISBN 0821819348

• Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae. Springer, 1986. 472 p. ISBN 0387962542

• Goldman, Jay R.. The Queen of Mathematics: An Historically Motivated Guide to Number Theory. A.K. Peters, 1998. 525 p. ISBN 1568810067

• Guy, Richard K.. Unsolved Problems in Number Theory. 3.ed. Springer, 2004. 437 p. v. 1. ISBN 0387208607

• Hardy, G. H., Wright, Edward Maitland. An Introduction to the Theory of Numbers. 5.ed. Oxford University Press, 1979. 456 p. ISBN 0198531710

• Honsberger, R.. A Theorem of Gabriel Lamé: Ch. 7 in Mathematical Gems II. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1976. 54-57 p. ISBN 0883853027

• Ireland, Kenneth F., Rosen, Michael. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer, 1990. ISBN 038797329X

• Jones, Gareth A., Jones, Josephine Mary. Elementary Number Theory. Springer, 1998. 301 p. ISBN 3540761977

• Knuth, Donald. The Art of Computer Programming: Seminumerical Algorithms. 3.ed. Addison-Wesley, 1997. v. 2. ISBN 0201896842

• LeVeque, William Judson. Fundamentals of Number Theory. Dover, 1996. 288 p. ISBN 0486689069

• Matiyasevich, Yuri V.. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, 1993. 288 p. ISBN 0262132958

• Niven, Herbert Ivan, Zuckerman, Herbert S.. Introduction to the Theory of Numbers. John Wiley & Sons, 1968. 296 p. ISBN 0471641537

• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records. Springer, 1996. 572 p. ISBN 0387944575

• Saidak, Filip. A New Proof of Euclid's Theorem, Amer. Math. Monthly 113, no. 10, 937--938. 2006.

• Sierpiński, Wacław. 250 Problems in Elementary Number Theory. American Elsevier Pub. Co., 1970. 125 p. ISBN 0444000712

• Stewart, Ian. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem. A K Peters, Ltd., 2002. ISBN 1568811195

• Vinogradov, Ivan Matveevich. Elements of number theory. Courier Dover Publications, 2003. 240 p. ISBN 0486495302

[editar] Outras referências

• The Elements of Euclid, por Isaac Todhunter - Disponível no Wikisource

• Jurkiewicz, Samuel. Divisibilidade e Números Inteiros: Introdução à Aritmética Modular. Apostila 1 do estágio para bolsistas da OBMEP.

• Neves, Vítor. Introdução à Teoria dos Números. Universidade de Aveiro. 2001.

• Weisstein, Eric W. Lamé's Theorem. From MathWorld - A Wolfram Web Resource.

• Viggo Brun. Euclidean algorithms and musical theory. Enseignement Mathématique, 10:125–137, 1964.

• Toussaint, Godfried. The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms.

• Shoup, Victor. A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (Version 1) - Um eBook disponibilizado sob a Creative Commons license (Attribution-NonCommercial-NoDerivs 2.0).

[editar] Estilo

Nesta página estarão indicadas as convenções adotadas neste wikilivro, no que diz respeito a sua formatação. Recomenda-se a leitura do mesmo, por todos que pretendem contribuir com a melhoria desde texto.

[editar] Definições

Observações

• Geralmente um termo importante aparece pela primeira vez em uma definição.
• Devido à sua importância, é bom destacar a definição do restante do texto.
• No momento, a forma de destacar uma definição neste wikilivro é a inclusão da mesma dentro de uma região com bordas duplas, como no exemplo acima. Par isso, utilize {{Definição}}.
• O conceito que está sendo definido tem sido colocado em negrito, sendo que o texto da explicação tem sido alinhado a esquerda.

[editar] Propriedades, Teoremas

Observações

• Os principais itens a ser destacados são: teoremas, proposições, corolários e pequenos lemas.
• Utilize {{Teorema}} quando precisar destacar essas propriedades.

[editar] Demonstrações, Justificativas

Demonstração
As demonstrações aparecem em quadros como esse.

Observações

• Utilize {{Demonstração}} nesses casos.
• Por padrão, se não for inserido qualquer texto para a demonstração, o resultado é:

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a na versão online deste material.

[editar] Índice remissivo

Esta página é um esboço de matemática. Ampliando-a você ajudará a melhorar o Wikilivros.

Faltam capítulos neste índice. Ampliando-o você ajudará a melhorar o Wikilivros.

Nesta página estão listados os conceitos abordados neste livro em ordem alfabética.

O nome de cada conceito possui um link para a página onde o mesmo é definido. Outras ocorrências importantes do conceito são indicadas pelos links numerados, logo após o link principal.

[editar] A

• Anel
• Axiomas de Peano
• Adição
• Associatividade

[editar] B

• Bloco básico

[editar] C

[editar] D

• Divisibilidade

[editar] E

• Elemento oposto
• Estrutura

aditiva

multiplicativa

[editar] F

[editar] G

[editar] H

[editar] I

[editar] J

[editar] K

[editar] L

• Lei do cancelamento
• Linearidade

[editar] M

• Multiplicação
• Multiplicatividade

[editar] N

• Número

inteiro

natural

[editar] O

[editar] P

[editar] Q

[editar] R

• Reflexividade

[editar] S

[editar] T

• Transitividade

[editar] U

[editar] V

[editar] W

[editar] X

[editar] Y

[editar] Z

[editar] GNU Free Documentation License

Version 1.2, November 2002

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The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. If a section does not fit the above definition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does not identify any Invariant Sections then there are none.

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The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reference in this License, but only as regards disclaiming warranties: any other implication that these Warranty Disclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License.

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You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3.

You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies.

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If you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers) of the Document, numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects.

If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages.

If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a computer-network location from which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added material. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public.

It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.

[editar] MODIFICATIONS

You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:

• A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.
• B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.
• C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.
• D. Preserve all the copyright notices of the Document.
• E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.
• F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.
• G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.
• H. Include an unaltered copy of this License.
• I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.
• J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.
• K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.
• L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.
• M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.
• N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.
• O. Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.

You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.

You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.

The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.

[editar] COMBINING DOCUMENTS

You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.

The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work.

In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements."

[editar] COLLECTIONS OF DOCUMENTS

You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.

You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document.

[editar] AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS

A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not themselves derivative works of the Document.

If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.

[editar] TRANSLATION

Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.

If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.

[editar] TERMINATION

You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.

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The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.

Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.

[editar] How to use this License for your documents

To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page:

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   Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.

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