Otimização/Elementos de análise convexa

Esta página é somente um esboço. Ampliando-a você ajudará a melhorar o Wikilivros.

Convexo

Definição

Dizemos que um conjunto $D \in \mathbb{R}^n$ é convexo quando $z(\alpha)=( 1 - \alpha ) x + \alpha y \in D, \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1]$, onde $z(\alpha) \;$ é a combinação convexa de $x,y \;$.

Teorema

Sejam $D \subset \mathbb{R}^n, f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ um conjunto convexo e uma função diferenciável em $\bar{x} \in D$. Seja também $\bar{x} \in$ $M(f,D \cap B_\epsilon(\bar{x}))\;$.

Função Convexa

Seja $f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \subset \mathbb{R}^n$

Definição

Dizemos que uma função f é convexa se $f(( 1 - \alpha ) x + \alpha y) \le ( 1 - \alpha ) f(x) + \alpha f(y), \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1]$.

Definição

Dizemos que uma função f é estritamente convexa se $f(( 1 - \alpha ) x + \alpha y) < ( 1 - \alpha ) f(x) + \alpha f(y), \forall \; x,y \in D, x\not=y, \forall \; \alpha \in \; ]0,1[$.

Definição

Dizemos que uma função f é $\lambda \; -$ fortemente convexa se $f(( 1 - \alpha ) x + \alpha y) \le ( 1 - \alpha ) f(x) + \alpha f(y) - \lambda \alpha (1-\alpha)\| x-y \|^2, \forall \; x,y \in D, \forall \; \alpha \in [0,1]$.

Definição

Dizemos que o epígrafo da função f é $E_f = \{ (x,c) / x \in D, c \in \mathbb{R}, f(x) \le c \}$ .

Teorema

Seja $f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \in \mathbb{R}^n$ um conjunto convexo.

Teorema da minimização convexa

Seja $f:D \rightarrow \mathbb{R}, D \in \mathbb{R}^n$ ambos convexos.

Função Concava

Definição

Uma função $f \;$ é chamada concava se $(-f) \;$ é convexa em $D \;$ convexa, onde $f:D \rightarrow \mathbb{R} \; \mbox{e} \; D \subset \mathbb{R}^n$