Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais

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Tabela de conteúdo

[editar] Definição

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ("Há 4 melancias voando num mar de suco de limão") ou a ordenação ("Esta é a 20ª melhor canção sobre melancias voadoras já cantada por um jacaré"). As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.

Os matemáticos usam \mathbb{N} para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.

\mathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Se retirarmos o 0 desses conjunto, obtemos o subconjunto:

\mathbb{N}^* = {1,2,3,4,5,6,7,...}

[editar] Operações em \mathbb{N}

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.

[editar] Critérios de divisibilidade

[editar] Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par.

[editar] Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

  • 360 (3+6+0=9) → é divisível.

[editar] Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

Exemplo:

  • 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

[editar] Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplo:

  • 2.654.820 → é divisível.

[editar] Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplo:

  • 414 → divisível por 6, pois
    • par → divisível por 2
    • 4+1+4=9 → divisível por 3.

[editar] Divisibilidade por 7

A divisibilidade por 7 também pode ser verificada da seguinte maneira:

Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, 45 − 6 = 39. Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.

Outro exemplo: 784 → Separando 78 e 4, teremos 78 − 8 = 70. Como 70 é divisível por 7 o número 784 também é.

Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

[editar] Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 8.

Exemplo:

  • 24512 → é divisível.

[editar] Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

  • 927 (9+2+7=18) → é divisível.

[editar] Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplo:

  • 154.870 → é divisível

[editar] A divisibilidade por 11

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.

  • Separe o último algarismo
    15 e 4
  • Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
    15 - 4 = 11.

Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.

Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.

O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.

Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.
Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.

Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de ordem par e os de ordem ímpar. Se as somas forem iguais ou diferirem de um múltiplo de 11, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F

Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque 7+3+7 = 0+1+5 + 11.

[editar] Divisibilidade por 2n

Um número é divisível por 2n quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por 2n.

[editar] Números primos

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

[editar] Decomposição em fatores primos (fatoração)

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).

Exemplos:

  • 6 = 2 \times 3
  • 16 = 2^4\,\!
  • 20 = 2^2 \times 5

[editar] Máximo Divisor Comum (MDC)

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números a\,\! e b\,\! (vulgarmente abreviada como mdc(a,b)\,\!) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, mdc(16,8) = 8\,\!. A definição abrange qualquer número de termos.

Exemplo:

  • mdc(a,b,c,d)\,\!.

Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:

Seja m\,\! o máximo divisor comum entre a\,\! e b\,\! e também a'\,\! e b'\,\! o resultado da divisão de ambos por m\,\!, respectivamente.

Então, o seguinte se verifica:

a = b \Leftrightarrow ma = mb \Leftrightarrow a' = b'\,\!

[editar] Cálculo

Pode-se calcular o MDC de duas formas:

  • Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
  • Fatoração disjunta

[editar] Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

Exemplo

mdc(24,40)\,\!

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3



40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5


Com efeito,

MDC = 2³ = 8

[editar] Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.

Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:

     Q1    Q2     Q...   
  A  |  B  |  R1  |  R2  | R...
  R1 | R2  | R...  | 0

onde,

A = um dos números
B = o outro número
Q1 = quociente da divisão \frac{A}{B}
R1 = resto da divisão \frac{A}{B} (em seguida, ele torna-se o divisor de B)
E assim em diante.


O último resto (antes do 0) será o MDC.

Exemplo
      3      3        
  80  |  24  |  8    ← MDC (8)
  8   |   0

[editar] Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números a\,\! e b\,\! (vulgarmente abreviada como mmc(a,b)\,\!) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, mmc(6,8) = 24\,\!.

[editar] Cálculo

Pode-se calcular o MMC de duas formas:

  • Fatoração conjunta
  • Fatoração disjunta

[editar] Fatoração conjunta

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

Exemplo

mmc(24,40)\,\!


24, 40  | 2
12, 20  | 2   
6, 10   | 2   x  
3,  5   | 3
1,  5   | 5  
1,  1   | 120

[editar] Fatoração disjunta

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

Exemplo

mmc(24,40)\,\!

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3



40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5


Com efeito,

23 • 3 • 5
8 • 3 • 5
120,

[editar] Propriedade do MDC e do MMC

MDC(a,b) \times MMC(a,b) = a \times b

[editar] Ver também

[editar] Wikilivros

Uma abordagem mais avançada:

[editar] Wikipédia

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