Medida e integração/Medida

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Definição 4.1

  1. Seja \mathfrak{M} uma σ-álgebra sobre um conjunto X. Uma medida positiva sobre \mathfrak{M} é uma função \mu: \mathfrak{M} \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+ satisfazendo a seguinte propriedade:
    1. Dada uma sequência \left(A_i\right)_{i \in \mathbb{N}} de elementos de \mathfrak{M}, cujos termos são dois a dois disjuntos, vale \mu\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \right) = \sum_{i \in \mathbb{N}}^{\infty} \mu(A_i);
    2. Existe algum conjunto A \in \mathfrak{M} para o qual \mu(A) < \infty.
  2. Um espaço com medida é uma terna ordenada (X, \mathfrak{M}, \mu), em que \mathfrak{M} é uma σ-álgebra sobre o conjunto X (ou seja, (X, \mathfrak{M}) é um espaço mensurável) e μ é uma medida positiva sobre \mathfrak{M}.
  3. Uma medida complexa limitada é uma função \mu: \mathfrak{M} \mapsto \mathbb{C} para a qual \mu\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \right) = \sum_{i \in \mathbb{N}}^{\infty} \mu(A_i), para toda sequência disjunta \left(A_i\right)_{i \in \mathbb{N}} de elementos de \mathfrak{M}.
  • Obs. 4.2: Apesar de serem chamadas de "positivas" as medidas abordadas neste capítulo tomam valores "não negativos". Neste sentido, talvez fosse preferível a terminologia "medida não negativa", em vez da adotada neste texto. No entanto, o uso da expressão mais simples não deve gerar confusão.
  • Obs. 4.3: A exigência de que algum elemento da σ-álgebra tenha medida finita é apenas para evitar trivialidades, como a "medida" que toma o valor infinito em todos os elementos de \mathfrak{M}.
  • Obs. 4.4: Uma vez que este capítulo irá abordar essencialmente as medidas positivas, elas serão chamadas simplesmente de "medidas" quando isto não causar confusão.
Proposição 4.5

Se μ é uma medida positiva sobre uma σ-álgebra \mathfrak{M}, então:

  1. \mu(\emptyset) = 0;
  2. Se \left(A_i\right)_{1 \le i \le n} é uma sequência disjunta finita cujos termos estão em \mathfrak{M}, então \mu\left(\bigcup_{i =1}^{n} A_i \right) = \sum_{i = 1}^{n} \mu(A_i);
  3. Se A e B estão em \mathfrak{M} e A \subset B, então \mu (A) \le \mu(B) e \mu (A \cup B) \le \mu (A) + \mu(B). Se, além disso, \mu (A) < \infty, então \mu(B \smallsetminus A) = \mu(B) - \mu(A);
  4. Se \left(A_i\right)_{i \in \mathbb{N}} é uma sequência cujos termos estão em \mathfrak{M} e verificam A_i \subset A_{i+1}, para todo n \in \mathbb{N}, então \lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right);
  5. Se \left(A_i\right)_{i \in \mathbb{N}} é uma sequência cujos termos estão em \mathfrak{M} e verificam A_i \supset A_{i+1}, para todo n \in \mathbb{N} e \mu(A_0) < \infty, então \lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) = \mu \left( \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n\right).
  • Obs. 4.6: Com exceção do terceiro item desta proposição, as demais propriedades continuam valendo no caso das medidas complexas finitas, pois a prova é idêntica.

Antes de passar aos exemplos mais interessantes de medidas, pode-se apresentar alguns tipos bem simples, conforme os próximos exemplos mostram. A medida de Lebesgue sobre \mathbb{R}^n possui uma construção mais elaborada, e por isso será introduzida em um capítulo posterior.

Índice

[editar] Exemplos

Medida da contagem
Dado um conjunto arbitrário X, pode-se definir uma medida \mu: \mathcal{P}(X) \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+ da seguinte maneira:

\mu (E) = \begin{cases} \infty, & \text{se } E \text{ tem infinitos elementos} \\ n, & \text{se } E \text{ tem } n \text{ elementos} \end{cases}

A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Medida de Dirac em x0
Dado um conjunto arbitrário X e um ponto qualquer x_0 \in X, define-se \delta_{x_0}: \mathcal{P}(X) \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+ como

\delta_{x_0}(E) = \begin{cases} 1, & \text{se } x_0 \in E\\ 0, & \text{se } x_0 \not \in E \end{cases}

A verificação de que esta função é realmente uma medida fica a cargo do leitor. Sinta-se convidado a melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Esta medida também é conhecida popularmente pelo nome de "medida da massa unitária concentrada em x0".

Generalização
Os exemplos anteriores são casos particulares de um tipo mais geral de medida. Para perceber isto, é preciso considerar um tipo de "soma" que envolve famílias não enumeráveis de números reais não negativos. Considere um conjunto X e uma função f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+. Defina

\sum_{x \in X} f(x) := \sup \left\{\sum_{x \in F} f(x) : F \subset X \text{ e } |F| < \infty \right\}

Posteriormente será visto que esta soma é a "integral de f" em relação a medida da contagem sobre X. Agora que foi estabelecida uma notação para este tipo de soma, observe que a função f determina uma medida positiva sobre a σ-álgebra \mathcal{C}, da seguinte maneira:

\mu_f (E) := \sum_{x \in E} f(x)

Com as notações anteriores, tem-se a medida da contagem sobre X quando f é a função constante igual a 1.

Analogamente, a medida de Dirac em x0 é obtida quando existe algum x_0 \in X tal que

f(x) = \begin{cases} 1, & \text{se } x = x_0\\ 0, & \text{se } x \not = x_0 \end{cases}.

Contra-exemplo
No último item da Proposição 4.5, é realmente necessário que se verifique a hipótese \mu (A_0) < \infty, caso contrário não se tem garantia sobre qualquer relação entre \lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n) e \mu \left( \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n\right). Por exemplo, se μ é a medida da contagem sobre X = \mathbb{N} e se define para cada n \in \mathbb{N} o conjunto A_n = \{p \in \mathbb{N} :p \ge n\}, então obviamente A_n \supset A_{n+1}, para todo n \in \mathbb{N} e \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n = \emptyset. No entanto, \mu(A_n) = \infty, para todo n \in \mathbb{N} e, em particular, \mu(A_0) = \infty. Neste caso,

\mu \left( \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) = \mu (\emptyset) = 0 < \infty = \lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n).

[editar] Sobre a as notações e a terminologia

Na definição Definição 4.1, caracterizou-se um "espaço de medida" como sendo uma terna ordenada (X, \mathfrak{M}, \mu), em que X é um conjunto, \mathfrak{M} é uma σ-álgebra sobre X e μ é uma medida positiva sobre \mathfrak{M}. Analogamente, na definição de "espaço mensurável", é explicitado um par ordenado (X, \mathfrak{M}), no qual X é um conjunto e \mathfrak{M} é uma σ-álgebra sobre X. A presença de todo este formalismo é geralmente vantajosa, e por vezes necessária, principalmente ao se definir os novos conceitos. No entanto, tal formalismo é de certo modo dispensável: Ao definir um espaço de medida (X, \mathfrak{M}, \mu), é considerada a função μ. Como toda função tem um domínio, e no caso de μ, o domínio é uma σ-álgebra, basta conhecer a medida para saber quem é \mathfrak{M}. Além disso, sabendo-se quem é \mathfrak{M}, se deduz qual é o conjunto X, pois ele é simplesmente o maior conjunto que pertence a qualquer σ-álgebra sobre X.

Sendo assim, é aceitável usar expressões informais como, por exemplo, "seja μ uma medida". No caso de ser necessário dar alguma enfase para a σ-álgebra ou para o conjunto X, poderia ser dito "seja μ uma medida sobre \mathfrak{M}" ou "seja μ uma medida sobre X".

Em síntese, é de uso corrente nos livros da área expressões e notações simples, em vez de suas formulações "logicamente impecáveis", então o leitor não deve se espantar ao se deparar com frases do tipo "seja X um espaço com medida", já que em tais situações ficará implícito que há alguma medida definida sobre alguma σ-álgebra sobre X, conforme as observações anteriores sugerem.


[editar] Ver também

[editar] Notas

Obtido em "http://pt.wikibooks.org/wiki/Medida_e_integra%C3%A7%C3%A3o/Medida"