Medida e integração/Integração de funções positivas

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Medida e integração

Ao longo deste capítulo estará fixado um espaço com medida $(X, \mathfrak{M}, \mu).$

Definição 5.1

Considere uma função simples $σ$ mensurável sobre $X$ , cuja forma canônica é dada por:

$\sigma= \sum_{i = 1}^n \alpha_i X_{A_i},$

ou seja,

$Im (\sigma) = \{\alpha_i : 1 \le i \le n\}$ tem $n$ elementos^{[ver nota 1]};
$\left(A_i\right)_{1 \le i \le n}$ é uma partição de $X$ ; e
Para cada $1 \le i \le n,$ tem-se $A i = σ - 1 (α i).$

Nestas condições, define-se para cada $E \in \mathfrak{M}$ a integral de $\boldsymbol{\sigma}$ sobre $\mathbf{E}$ em relação à medida $\boldsymbol{\mu}$ como sendo:

5.1.1

$\int\limits_E \sigma = \int\limits_E \sigma \, d\mu := \sum_{i = 1}^n \alpha_i \mu\left(E \cap A_i\right).$

Obs. 5.2: Note como está sendo usada a convenção de que $0 \cdot \infty = 0:$ pode acontecer de existir algum índice $i$ para o qual $α i = 0$ e $\mu(E \cap A_i) = \infty$ . A convenção foi feita de tal modo que ao colocar um coeficiente nulo em uma parcela, a medida do subconjunto de $X$ correspondente não interfira no valor final da integral.
Obs. 5.3: Pode ser demonstrado que o fato da função simples estar ou não expressa em sua forma canônica não influi no valor produzido pela fórmula 5.1.1.

Exercício: Justifique a afirmação feita na Observação 5.3.

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Pelo Teorema 3.4, toda função $f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ pode ser aproximada por uma sequência não-decrescente de funções simples. Isto motiva a próxima definição, na qual é apresentada a noção de integral para um certo tipo de funções que não são simples.

Definição 5.4

Se $f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ é uma função mensurável, define-se para cada $E \in \mathfrak{M}$ a integral de Lebesgue de $\boldsymbol{f}$ sobre $\mathbf{E}$ em relação à medida $\boldsymbol{\mu}$ como sendo o elemento de $\overline{\mathbb{R}}_+ = [0, \infty]$ dado por:

5.4.1

$\int\limits_E f = \int\limits_E f \, d\mu := \sup_{\sigma \in S(f)} \int\limits_E \sigma \, d\mu,$

onde $S (f): = {σ | σ$ é função simples, mensurável sobre $X$ e tal que $\sigma \le f\}.$ ^{[ver nota 2]}

No caso em que $\int\limits_E f < \infty,$ se diz que $\boldsymbol{f}$ é integrável em $E$ . Se $\int\limits_X f < \infty,$ então se diz simplesmente que $\boldsymbol{f}$ é integrável.

Obs. 5.5: Note que se uma função mensurável $f$ é simples, a fórmula 5.4.1 da Definição 5.4 fornece para a integral $\int\limits_E f \, d\mu$ uma expressão que, a primeira vista, não tem motivo para coincidir com aquela da fórmula 5.1.1 presente na Definição 5.1. No entanto, pode-se verificar que elas de fato fornecem o mesmo valor.

Exercício: Justifique a afirmação feita na Observação 5.5.

Resolução
A resolução deste exercício é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Lema 5.6

Dado um espaço com medida $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ e uma partição finita $\left(G_i\right)_{1\le i \le p}$ de $X$ em conjuntos mensuráveis, considere a função simples mensurável^{[ver nota 3]} $\sigma: X \mapsto \mathbb{R}_+$ definida por

$\sigma= \sum_{i = 1}^p \gamma_i X_{G_i},$

onde, para cada $1 \le i \le p,$ tem-se $\gamma_i \in \mathbb{R}_{+}.$ Então, para todo $E \in \mathfrak{M}$ vale:

$\int\limits_E \sigma \, d\mu = \sum_{i = 1}^{p} \gamma_i \mu\left(E \cap G_i\right) = \sum_{a \in \mathbb{R}_{+}} \mu\left(E \cap \sigma^{-1}(a)\right).$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Lema 5.7

Dado um espaço com medida $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ e as funções simples mensuráveis $σ$ e $τ.$ Se $\sigma \le \tau$ ^{[ver nota 4]}, então para qualquer $E \in \mathfrak{M}$ tem-se:

$\int\limits_E \sigma \, d\mu \le \int\limits_E \tau \, d\mu.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Obs. 5.8: Se $f: X \mapsto \mathbb{R}_{+}$ é mensurável, então a função $f_1: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_{+}$ que em cada valor $x \in X$ é definida por $f 1 (x) = f (x)$ também é mensurável. Deste modo, a Definição 5.4, que se aplica a função $f 1,$ pode também ser aplicada à função $f .$

Proposição 5.9

Seja $f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ uma função mensurável. A integral definida anteriormente verifica as seguintes propriedades:

Se $g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ é mensurável e $f \le g,$ então $\int\limits_E f\, d\mu \le \int\limits_E g\, d\mu;$
Se $E, F \in \mathfrak{M}$ e $E \subset F,$ então $\int\limits_E f\, d\mu \le \int\limits_F f\, d\mu;$
Se $k \in \mathbb{R}_{+},$ então $\int\limits_E kf\, d\mu = k\int\limits_E f\, d\mu;$
Se para todo $x \in E$ vale $f (x) = 0,$ então $\int\limits_E f\, d\mu = 0;$ ^{[ver nota 5]}
Se $μ(E) = 0,$ então $\int\limits_E f\, d\mu = 0;$ ^{[ver nota 6]}
$\int\limits_E f\, d\mu = \int\limits_E X_E \cdot f\, d\mu.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Este livro tem a seguinte tarefa pendente: Explicitar no enunciado da proposição anterior as hipóteses que devem ser feitas sobre as funções envolvidas.

Obs. 5.10: O último item desta proposição indica que mesmo se a integral tivesse sido definida apenas sobre o conjunto $X,$ ainda seria possível definir o valor da integral sobre subconjuntos mensuráveis de $X$ usando como definição a fórmula $\int\limits_E f\, d\mu := \int\limits_E X_E \cdot f\, d\mu.$
Obs. 5.11: É interessante notar que se $E \in \mathfrak{M},$ então é possível definir um espaço com medida sobre $E$ de forma muito natural: A coleção de partes de $E$ definida por $\mathfrak{M}|_E := \{A \cap E | A \in \mathfrak{M}\}$ é uma $σ$ -álgebra sobre $E$ (isto fica como exercício para o leitor). Então a função $\mu_E := \mu|_\mathfrak{M}$ é uma medida positiva sobre $\mathfrak{M}|_E$ e, consequentemente, $\left(E, \mathfrak{M}, \mu_E \right)$ é um espaço com medida. Este fato serve para reforçar a ideia central da observação anterior: se é definida a integral sobre os espaços de medida, então é definida automaticamente a integral sobre cada parte mensurável de tais espaços.

Corolário 5.12

Se $E$ é um conjunto mensurável, então:

Para quaisquer funções mensuráveis $f,g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ tais que $f(x) \le g(x),$ tem-se $\int\limits_E f\, d\mu \le \int\limits_E g\, d\mu;$
$\mu(E) = \int\limits_E \, d\mu = \int\limits_X X_E\, d\mu.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Obs. 5.13: Note que, ao contrário do que acontecia no item correspondente da Proposição 5.9, o primeiro item deste corolário exige apenas que a desigualdade seja válida nos pontos que pertemcem a $E .$

A essência do segundo item deste corolário é que a integral também serve para "medir conjuntos". Na verdade, isto continua válido mesmo que a função que está sendo integrada não seja $X E :$ Conforme a próxima proposição, a integração de uma função simples sobre conjuntos que pertencem a uma $σ$ -álgebra define uma medida.

Proposição 5.14

Dada uma função simples $σ$ mensurável sobre $X$ , se $\varphi: \mathfrak{M} \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ é a função que em cada $E \in \mathfrak{M}$ vale

$\varphi (E) := \int\limits_E \sigma \, d\mu,$ ^{[ver nota 7]}

então $\varphi$ é uma medida sobre $\mathfrak{M}.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Outra propriedade que se poderia esperar da integração de funções simples é a somatividade:

Proposição 5.15

Se $σ 1$ e $σ 2$ são funções simples mensuráveis sobre $X,$ então:

$\int\limits_X \left(\sigma_1 + \sigma_2\right) = \int\limits_X \sigma_1\, d\mu + \int\limits_X \sigma_2\, d\mu.$

Demonstração
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Lema 5.16

Se a $f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ é uma função mensurável e $\sigma:X \mapsto \mathbb{R}_+$ é uma função simples mensurável, então a função $f-\sigma:X \mapsto \mathbb{R}_+$ é mensurável.

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Obs. 5.17: Note que $Im(f-g) \subset \mathbb{R} \smallsetminus \{-\infty\} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}.$
Obs. 5.18: O Corolário 1.14 e a observação 1.15 somente garantiam a validade deste resultado quando as imagens das funções envolvidas estavam contidas em $\mathbb{K}.$ É graças a este Lema 5.16 que será possível usar o mesmo resultado também quando a função $f$ assume o valor infinito. No entanto a demonstração é apenas uma adapatação daquela apresentada para a Proposição 1.11.

O próximo resultado é conhecido como Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue e, além de ser um resultado importante sobre convergência, é um dos teoremas centrais de toda a teoria de Lebesgue.

Teorema 5.19

Seja $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ um espaço com medida e, para cada $n \in \mathbb{N},$ seja $f_n:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ uma função mensurável. Se a sequência $\left(f_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ é não decrescente^{[ver nota 8]} e, para cada $x \in X,$ existe o limite $\textstyle\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x),$ então:

A função $f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ definida por $f(x) = \textstyle\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x)$ é mensurável;
$\int\limits_X f\, d\mu = \lim_{n\rightarrow\infty} \int\limits_X f_n\, d\mu.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Obs. 5.20: Note que no segundo item deste teorema, ambos os membros podem ser iguais a infinito.

Um resultado análogo sobre a integração de séries é apresentado no teorema seguir.

Teorema 5.21

Seja $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ um espaço com medida e, para cada $n \in \mathbb{N},$ seja $f_n:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ uma função mensurável. Então:

A função $f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$ definida por $f(x) = \textstyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ é mensurável;
$\int\limits_X f\, d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int\limits_X f_n\, d\mu.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

O resultado técnico apresentado a seguir, conhecido como Lema de Fatou, se mostrará extremamente importante e útil.

Teorema 5.22

Seja $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ um espaço com medida e, para cada $n \in \mathbb{N},$ seja $f_n:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ uma função mensurável. Então:

5.22.1

$\int\limits_X \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n\right)\, d\mu \le \limsup_{n\rightarrow\infty} \left(\int\limits_X f_n\, d\mu\right).$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

O próximo resultado é uma generalização da Proposição 5.14.

Teorema 5.23

Seja $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ um espaço com medida e $f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ uma função mensurável sobre $X .$ Se $\varphi: \mathfrak{M} \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ é a função que em cada $E \in \mathfrak{M}$ vale

5.23.1

$\varphi (E) := \int\limits_E f \, d\mu,$

então:

$\varphi$ é uma medida sobre $\mathfrak{M}$ ;
Para cada função mensurável $g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}_+$ vale

5.23.2

$\int\limits_X g \, d\varphi = \int\limits_X gf \, d\mu.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Obs. 5.24: Alguns autores indicam o segundo item deste teorema com a notação $d\varphi = f \, d\mu,$ embora isto não queira dizer que os símbolos $d\varphi$ e $d μ$ façam sentido individualmente. A igualdade significa apenas que vale a fórmula 5.23.2 do Teorema 5.23.

[editar] Notas

↑ Isto é, $\alpha_i \not = \alpha_j$ quando $i \not = j.$
↑ Lembre-se que $\sigma \le f$ significa $\sigma(x) \le f(x),$ para todo $x \in X.$
↑ A mensurabilidade desta função segue do Lema 3.2, considerando que cada $G i$ é mensurável.
↑ Ou seja, $\sigma(x) \le \tau(x),$ para todo $x \in X.$
↑ Mesmo quando $\mu(E) = \infty,$ uma vez que se convencionou que $0 \cdot \infty = 0.$
↑ Mesmo quando em cada $x \in X$ vale $f(x) = \infty.$
↑ Lembre-se que $\left(X, \mathfrak{M}, \mu\right)$ é um espaço com medida.
↑ Isto é, se $f_n(x) \le f_{n+1} (x)$ para todo $n \in \mathbb{N}$ e para todo $x \in X.$