Medida e integração/Integração de funções mais gerais

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Assim como no capítulo anterior, ao longo deste capítulo será suposto fixado um espaço com medida (X, \mathfrak{M}, \mu).

Definição 6.1

Dado um espaço com medida (X, \mathfrak{M}, \mu), uma função mensurável f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}} = \left[-\infty, +\infty\right] e um conjunto mensurável E, a integral de \boldsymbol{f} sobre E é definida como sendo o elemento de \overline{\mathbb{R}} dado por

\int\limits_E f \, \mathrm{d}\mu := \int\limits_E f^+ \, \mathrm{d}\mu - \int\limits_E f^- \, \mathrm{d}\mu,

desde que pelo menos uma das integrais que aparecem no segundo membro seja finita.
  • Obs. 6.2: Toda função que toma valores reais e é mensurável continua mensurável se for vista como uma função que toma valores na reta extendia, isto é, se f: X \mapsto \mathbb{R} é uma função mensurável, então a função f_1: X \mapsto \overline{\mathbb{R}} definida por f1(x) = f(x) em cada x \in \mathbb{R} também é mensurável. Consequentemente, a Definição 6.1 também é aplicável às funções f: X \mapsto \mathbb{R} mensuráveis.

Reciprovamente, dada qualquer função mensurável g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}} para a qual \operatorname{Im}(g) \subset \mathbb{R}, a sua restrição g_0: X \mapsto \mathbb{R} definida por g0(x) = g(x) em cada x \in \mathbb{R} também é uma função mensurável.

Definição 6.3

Dado um espaço com medida (X, \mathfrak{M}, \mu), define-se o espaço das funções integráveis sobre \mathbf{E} em relação à medida \boldsymbol{\mu}[1] como sendo

\textstyle \mathcal{L}_1(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K}) : = \left\{f: X \mapsto \mathbb{K}| f \mbox{ é mensurável e } \int_{X} |f| \mathrm{d}\mu< \infty\right\}

O conjunto \mathcal{L}_1(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K}) costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo, \mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{K}), \mathcal{L}_1(X, \mu), \mathcal{L}_1(X) ou mesmo \mathcal{L}_1. Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto. Alguns autores preferem usar \mathcal{L}^1, colocando o índice como sobrescrito[2].

Definição 6.4

Para cada par de funções mensuráveis u: X \mapsto \mathbb{R} e v: X \mapsto \mathbb{R}, define-se a integral da função complexa f := u + vi \in \mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{C}) em cada E \in \mathfrak{M} como sendo:

\int\limits_E f \, \mathrm{d}\mu := \left(\int\limits_E u^+ \, \mathrm{d}\mu - \int\limits_E u^- \, \mathrm{d}\mu \right) + i\left(\int\limits_E v^+ \, \mathrm{d}\mu - \int\limits_E v^- \, \mathrm{d}\mu\right).

O leitor deve observar que as funções u + , u − , v + e v − que aparecem na Definição 6.4 são mensuráveis, reais e não-negativas. Deste modo, existem as integrais correspondentes sobre o conjunto E \in \mathfrak{M} (ver Definição 5.4). Note também que u^+, u^- \le |u| \le |f| e também v^+, v^- \le |v| \le |f|, de modo que, pelos itens 1 e 2 da Proposição 5.9, as integrais destas funções são finitas e, consequentemente, conforme a Definição 6.1, \textstyle\int\limits_E f \, \mathrm{d}\mu \in \mathbb{C}, \forall E \in \mathfrak{M}.

  • Obs. 6.5: Se f \in \mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{R}), então qualquer que seja E \in \mathfrak{M}, o valor da integral de f em E é real, isto é:

\int\limits_E f \, \mathrm{d}\mu = \int\limits_E f^+ \, \mathrm{d}\mu - \int\limits_E f^- \, \mathrm{d}\mu \in \mathbb{R}

O teorema a seguir mostra que \mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{K}) é um espaço vetorial seminormado (ver exercício).

Teorema 6.6

Se f \in \mathcal{L}_1 = \mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{R}) e g \in \mathcal{L}_1 e \alpha \in \mathbb{K} e \beta \in \mathbb{K}, então

  1. \alpha f + \beta g \in \mathcal{L}_1
  2. \textstyle\int_X (\alpha f + \beta g) \, \mathrm{d}\mu = \alpha \int_X f \, \mathrm{d}\mu + \beta \int_X g \, \mathrm{d}\mu
  3. \mathcal{L}_1 é um espaço vetorial e a função \|\cdot\| : \mathcal{L}_1 \mapsto \mathbb{R}^+, que associa f com \textstyle\int_X f \, \mathrm{d}\mu, é uma seminorma sobre \mathcal{L}_1.

[editar] Notas


[editar] Referências

  1. ↑ O espaço \mathcal{L}_1(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K}) é um exemplo particular dos espaços \mathcal{L}_p(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K}) (formados pelas funções cuja p-ésima potência é integrável) que serão definidos mais adiante. Veja por exemplo, Rana (2002), Definição 8.4.1, p. 261.
  2. ↑ Ver, por exemplo, de Barra (2008), p. 109, seção 6.1.
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