Medida e integração/A reta real estendida

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No estudo da teoria da medida, é comum lidar com sequências e séries de funções. Como se sabe da análise real, algumas vezes os termos de uma sequência assumem valores arbitrariamente grandes e este é um dos casos em que se diz que a sequência não converge. Entretanto, em certos contextos é extremamente útil considerar este tipo de sequência como sendo convergente, pois os seus termos "tendem a infinito" ou se "aproximam do infinito". O problema é que o "infinito" não faz parte do conjunto dos números reais, então para que esta noção possa ter um sentido mais preciso, costuma-se definir um novo conjunto a partir dos números reais e dos elementos $-\infty$ e $+\infty,$ de modo que este seja uma extensão da reta real:

Definição 2.23

A reta real estendida $\overline{\mathbb{R}}$ é o conjunto $\mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\}.$

Obs. 2.24: Por simplicidade, também poderá ser usada a notação $\infty$ para o elemento $+\infty$ de $\overline{\mathbb{R}}.$ A reta real estendida também costuma ser denotada por $\left[-\infty, \infty\right].$

Em capítulos posteriores será considerado frequentemente o subconjunto $\overline{\mathbb{R}}_+$ da reta real estendida definido por

$\overline{\mathbb{R}}_+ := \left[0,\infty\right] = \mathbb{R}_+ \cup \{\infty\}$ .

Há outros motivos importantes para se considerar o $\infty$ ao longo da teoria da medida, por exemplo:

É de interesse poder integrar funções sobre conjuntos que tenham "medida infinita": perceba que $\mathbb{R}$ tem, intuitivamente, comprimento infinito;
Mesmo quando se pretende fazer a integração de funções que tomam valores reais, pode ocorrer que ao considerar uma sequência de funções $f_n : X \mapsto \mathbb{R}_+,$ o valor de $\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$ ou de $\sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)$ seja infinito em alguns pontos $x \in X.$ Em tais situações, caso não se trabalhe com o $\infty$ , se perde uma parte da elegância e simplicidade dos principais resultados sobre convergência (por exemplo, o teorema da convergência monótona e a "integração termo a termo" de séries de funções). Torna-se então mais conveniente a introdução do símbolo $\infty$ e de algumas convenções para se fazer cálculos envolvendo este símbolo.

Na próxima seção serão definidas algumas estruturas que facilitam o uso de $\overline{\mathbb{R}}:$ uma relação de ordem, uma topologia e também uma aritmética.

Índice

1 Ordem, topologia e aritmética na reta real estendida
2 Conjuntos de Borel
3 Notas
4 Referências

[editar] Ordem, topologia e aritmética na reta real estendida

A retal real estendida se torna um conjunto totalmente ordenado definindo $-\infty \le a \le +\infty$ para todo número real $a$ . Analogamente, a ordem sobre $\overline{\mathbb{R}}_+$ é induzida ordem de $\overline{\mathbb{R}},$ ou seja, para cada $a \in \mathbb{R}_+$ se tem $0 \le a < \infty.$

Com esta ordem, se $\emptyset \not = X \subset \overline{\mathbb{R}}$ e $X$ não é limitado superiormente, isto é, se para todo $y \in \mathbb{R}$ existe algum $x \in X$ tal que $x > y,$ então $\sup X = \infty.$ Analogamente, se $X$ não é limitado inferiormente, então $\inf X = -\infty.$ Deste modo, todo subconjunto não vazio de $\overline{\mathbb{R}}$ (e, em particular, de $\mathbb{R}$ ) tem supremo e ínfimo^{[ver nota 1]} em $\overline{\mathbb{R}},$ o que faz da reta real estendida um reticulado completo. Este é um dos principais motivos para a introdução dos símbolos $-\infty$ e $+\infty.$

A partir desta relação de ordem, defini-se a topologia da ordem sobre $\overline{\mathbb{R}}.$ Os intervalos abertos são os subconjuntos de $\overline{\mathbb{R}}$ que podem ser escritos em uma das seguintes formas:

$(a,b) := \{x \in \mathbb{R}: a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R} \text{ e } a < x < b\}$
$[-\infty,a) := \{x \in \overline{\mathbb{R}}: a \in \mathbb{R} \text{ e } -\infty \le x < a\}$
$(a,+\infty] := \{x \in \overline{\mathbb{R}}: a \in \mathbb{R} \text{ e } a < x \le +\infty\}$

Deste modo, um conjunto $U \subset \overline{\mathbb{R}}$ é aberto se for uma reunião de intervalos dos tipos acima (pois eles formam uma base de abertos para $\overline{\mathbb{R}}$ ).

Com esta topologia, as noções de limite envolvendo o infinito podem ser definidas de forma unificada a partir da definição topológica de limite.

Observe que ao fazer a interseção de $\mathbb{R}$ com intervalos abertos de $\overline{\mathbb{R}}$ se obtém um intervalo aberto de $\mathbb{R},$ ou seja, um conjunto da forma $(a, b),$ $(-\infty,a)$ ou $(a,+\infty).$ Levando em conta que estes intervalos formam uma base de abertos para a topologia usual de $\mathbb{R},$ segue que tal topologia é induzida pela que se definiu sobre $\overline{\mathbb{R}}$ anteriormente e que a inclusão $x \in \mathbb{R} \mapsto x \in \overline{\mathbb{R}}$ é contínua. Do mesmo modo, a topologia usual sobre $\overline{\mathbb{R}}_+$ é a induzida pela topologia usual de $\overline{\mathbb{R}}.$

As operações aritméticas de $\mathbb{R}$ podem ser parcialmente estendidas para $\overline{\mathbb{R}}$ da seguinte maneira^[1]:

$\begin{align} a + \infty = +\infty + a & = +\infty, & a & \neq -\infty \\ a - \infty = -\infty + a & = -\infty, & a & \neq +\infty \\ a \cdot \pm\infty = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\ a \cdot \pm\infty = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\ a \cdot +\infty = +\infty \cdot a & = 0, & a & = 0 \end{align}$

Aqui, $a + \infty$ significa tanto $a + (+\infty)$ quanto $a - (-\infty)$ e $a -\infty$ significa tanto $a - (+\infty)$ quanto $a + (-\infty).$

Também será convencionado que $|\pm \infty| = + \infty.$ ^[2]

Quando se restringe as operações apenas ao conjunto $\overline{\mathbb{R}}_+,$ vale:

$a + \infty = \infty + a = \infty, a \in \overline{\mathbb{R}}_+$

$a \cdot \infty = \infty \cdot a = \begin{cases} \infty, & \mbox{se } a \in (0, +\infty] \\ 0, & \mbox{se } a = 0 \end{cases}$

Por mais estranho que possa parecer a definição de $0 \cdot \infty$ (ou $\infty \cdot 0$ ) como sendo $0,$ verifica-se facilmente que, com esta escolha, em $\overline{\mathbb{R}}_+$ continuam valendo as propriedades comutativa, associativa e distributiva, sem qualquer restrição. Vale ressaltar, no entanto, que as "leis de cancelamento" devem ser usadas com cuidado, pois:

$a + b = a + c \Rightarrow b = c,$ apenas no caso em que $a < \infty$
$ab = ac \Rightarrow b = c,$ somente quando se tem $0 < a < \infty$

As expressões $1 / 0,$ $\infty - \infty$ e $\pm \infty/ \pm \infty$ (chamadas de "formas indeterminadas") serão deixadas indefinidas, como é de costume em outros textos da área. As regras acima podem ser intuídas a partir das propriedades usuais de limites que tomam valores infinitos, presentes nos textos de cálculo.

Com as definições dadas, $\overline{\mathbb{R}}$ não é um corpo nem mesmo um anel. Apesar disto, ele ainda possui diversas propriedades bastante convenientes:

$a + (b + c)$ e $(a + b) + c$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
$a + b$ e $b + a$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
$a \times (b \times c)$ e $(a \times b) \times c$ ou são iguais ou são ambos indefinidos.
$a \times b$ e $b \times a$ ou são iguais ou são ambos indefinidos
$a \times (b + c)$ e $(a \times b) + (a \times c)$ são iguais se ambos estiverem definidos.
Se $a = b$ e se tanto $a + c$ quanto $b + c$ estiverem definidos, então $a + c = b + c$ .
Se $a = b$ e $c > 0$ e tanto $a \times c$ quanto $b \times c$ estiverem definidos, então $a \times c = b \times c$ .

Em geral, todas as regras usuais de aritmética continuam válidas em $\overline{\mathbb{R}},$ desde que todas as expressões envolvidas estejam definidas.

Na próxima seção será considerado uma $σ$ -álgebra que pode ser definida de modo muito natural a partir da topologia de um conjunto: Se $(X, \mathcal{C})$ é um espaço topológico, tem-se em particular que $\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(X).$ Neste caso, conforme se demonstrou na Proposição 1.21 existe a menor $σ$ -álgebra sobre $X$ que contém $\mathcal{C},$ que é $\langle \mathcal{C} \rangle.$ Isto motiva a próxima definição.

[editar] Conjuntos de Borel

Definição 2.25

Seja $(X,\mathcal{C})$ um espaço topológico. A $σ$ -álgebra $\mathcal{B}_X: = \langle \mathcal{C} \rangle$ gerada pela topologia $\mathcal{C}$ é denominada $\boldsymbol{\sigma}$ -álgebra de Borel. Qualquer elemento desta $σ$ -álgebra é chamado de conjunto de Borel de $\boldsymbol{(X,\mathcal{C})}$ ou boreliano de $\boldsymbol{(X,\mathcal{C})}.$ ^[3]

Obs. 2.26: Quando a topologia estiver subentendida, será dito simplesmente "conjunto de Borel de $X$ " ou "boreliano de $X$ ". Se não houver risco de confusão, pode-se denotar a $σ$ -álgebra $\mathcal{B}_X$ simplesmente por $\mathcal{B}.$
Obs. 2.27: Considerando que os abertos da topologia são mensuráveis, os seus complementares são também mensuráveis pela propriedade 2 da definição de $σ$ -álgebra. Consequentemente, as reuniões eumeráveis de conjuntos fechados também são mensuráveis, conforme a propriedade 3 da mesma definição. Além disso, da observação 1.4 segue que as interseções enumeraveis de abertos também são elementos da $\boldsymbol{\sigma}$ -álgebra de Borel.

Conforme se aprende em topologia, se $(X,\mathcal{C})$ e $(Y,\mathcal{C}')$ são espaços topológicos, e $f:X \mapsto Y$ é uma função contínua, então a pré-imagem $f - 1 (A)$ de qualquer aberto $A \in \mathcal{C}'$ é um aberto da topologia $\mathcal{C}.$ Neste caso, levando em conta que $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}_X,$ se conclui que $f^{-1}(A) \in \mathcal{B}_X,$ para qualquer $A \in \mathcal{C}'.$ Isto significa que $f$ é mensurável em relação a $\mathcal{B}_X$ e $\mathcal{C}'.$ Estas funções mensuráveis recebem os nomes específicos, conforme a próxima definição.

Definição 2.28

Sejam $(X,\mathcal{C})$ e $(Y,\mathcal{C}')$ espaços topológicos. Uma função Borel mensurável é qualquer função contínua $f:X \mapsto Y.$ Se $Y=\mathbb{K},$ tais funções são denominadas funções de Borel ou ainda aplicações de Borel.

Proposição 2.29

Seja $(X, \mathfrak{M})$ um espaço mensurável. Se $(Y,\mathcal{C})$ é um espaço topológico e $f: X \mapsto Y$ é uma função entre estes espaços, então:

$M_f : = \{E \in \mathcal{P}(Y)| f^{-1}(E) \in \mathfrak{M}\}$ é uma $σ$ -álgebra sobre $Y;$
Se $f$ é mensurável (em relação a $\mathfrak{M}$ e $\mathcal{C}$ ) então $\mathcal{B}_Y \subset M_f$ e $f^{-1} \in \mathfrak{M},$ para qualquer que seja $E \in \mathcal{B}_Y;$
Se $Y = \overline{\mathbb{R}}$ e $f^{-1}((a,\infty]) \in \mathfrak{M}$ para todo $a \in \mathbb{R},$ então $f$ é mensurável.

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

A última propriedade da proposição anterior costuma ser usada para verificar se determinada função que toma valores reais é ou não mensurável^[4].

A próxima definição apresenta alguns conceitos relacionados a ideia de limite: os limites de oscilação. Sua importância será notada no decorrer do estudo de sequências, tanto numéricas quanto de funções.

Definição 2.30

Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência em $\overline{\mathbb{R}},$ o limite inferior de $\boldsymbol{(x_n)_{n \in \mathbb{N}}}$ é o elemento de $\overline{\mathbb{R}}$ dado por

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n \in \mathbb{N}}\,\inf_{m\geq n}x_m=\sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n \in \mathbb{N}\,\}$

Analogamente, o limite inferior de $\boldsymbol{(x_n)_{n \in \mathbb{N}}}$ é o elemento de $\overline{\mathbb{R}}$ dado por

$\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n \in \mathbb{N}}\,\sup_{m\geq n}x_m=\inf\{\,\sup\{\,x_m:m\geq n\,\}:n \in \mathbb{N}\,\}$

Proposição 2.31

Uma sequência $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\overline{\mathbb{R}}$ é convergente se, e somente se,

2.32

$\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n = \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n = \lim_{n\rightarrow\infty}x_n$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

A seguir serão definidas algumas operações que se costuma fazer com funções com imagem na reta real estendida. A essência de tais operações é "tomar um limite em cada ponto do domínio da função". A definição 2.31 formaliza esta ideia:

Definição 2.33

Seja $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de funções definidas em um subconjunto $X$ de $\overline{\mathbb{R}}.$ Definem-se as funções $\inf f_n,$ $\sup f_n,$ $\liminf f_n$ e $\limsup f_n,$ de $X$ em $\overline{\mathbb{R}}$ através das fórmulas:

2.34

$(\inf f_n)(x) := \inf_{n \in \mathbb{N}} \{f_n(x)\}$

2.35

$(\sup f_n)(x) := \sup_{n \in \mathbb{N}} \{f_n(x)\}$

2.36

$(\liminf f_n)(x) := \liminf_{n \in \mathbb{N}} \{f_n(x)\}$

2.37

$(\limsup f_n)(x) := \limsup_{n \in \mathbb{N}} \{f_n(x)\}$

Além disso, se em cada $x \in X$ existe $\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x),$ define-se $\lim f_n,$ o limite pontual da sequência $f n$ no ponto $x,$ como sendo:

2.38

$(\lim f_n)(x) := \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$

Proposição 2.39

Seja $(X, \mathfrak{M})$ um espaço mensurável e considere para cada $n \in \mathbb{N}$ uma função $f_n : X \mapsto \overline{\mathbb{R}}.$ Se $f n$ é mensurável, para todo $n \in \mathbb{N},$ então as funções $\inf f_n,$ $\sup f_n,$ $\liminf f_n$ e $\limsup f_n$ são mensuráveis.^[5]

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Corolário 2.40

Seja $(X, \mathfrak{M})$ um espaço mensurável e considere para cada $n \in \mathbb{N}$ uma função mensurável $f_n : X \mapsto \mathbb{C}.$ Se $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge pontualmente para $f,$ então $f$ é mensurável.^[6]

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Corolário 2.41

Seja $(X, \mathfrak{M})$ um espaço mensurável. Se $f: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$ e $g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$ são mensuráveis então as funções $min{f, g}$ e $max{f, g}$ são mensuráveis.^[7]

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

No desenvolvimento da teoria de integração, será importante considerar os seguintes tipos particulares de funções da forma $min{f, g}$ e $max{f, g}:$

Definição 2.42

Seja $X$ um conjunto, $f : X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$ uma função e $0 : X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$ a função nula. A parte positiva de $f$ é a função definida por

2.43

$f + : = max{f,0}$

Analogamente a parte negativa de $f$ é a função definida por

2.44

$f - : = - min{f,0} = max{ - f,0}$

Lema 2.45

Seja $X$ um conjunto, $f : X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$ uma função e $0 : X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$ a função nula. Então:

$f^{+} \ge 0$
$f^{-} \ge 0$
$| f | = f + + f -$
$f = f + - f -$
Se $X$ é um espaço mensurável e $f$ é mensurável, então $f +,$ $f -,$ e $| f |$ são mensuráveis;^[8]^{[ver nota 2]}
Se $X$ é um espaço mensurável e tanto $f +$ quanto $f -$ são mensuráveis, então $f$ e $| f |$ são mensuráveis;
Se $f = g - h,$ com $g \ge 0$ e $h \ge 0$ então $f^{+} \le g$ e $f^{-} \le h.$

Demonstração
Esta demonstração é deixada a cargo do leitor. Sinta-se livre para melhorar a qualidade deste texto, incluindo-a neste módulo.

Obs. 2.46: O último item do Lema 2.45 pode ser interpretado da seguinte maneira: $f +$ e $f -$ são as menores funções não-negativas cuja diferença é $f .$ Neste sentido, pode-se dizer que a representação $f = f + - f -$ é mínima.

[editar] Notas

↑ Lembre-se que em $\mathbb{R}$ só os conjuntos limitados possuem esta propriedade
↑ Note que aqui é usada a convenção $|\pm \infty| = + \infty.$

[editar] Referências

↑ Ver também: Isnard (2007), pág. 60.
↑ Conforme Isnard (2007), pág. 61, Corolário 5.7.
↑ Ver também Isnard (2007), pág. 116.
↑ Compare a Definição 1.9 com a definição de Isnard (2007), pág. 57.
↑ No livro de Isnard (2007), este teorema corresponde às proposições 5.6 (pág. 61) e 5.10 (i) (pág. 63).
↑ No livro de Isnard (2007), este corolário corresponde ao item (ii) da proposição 5.10 (pág. 63).
↑ No livro de Isnard (2007), este corolário aparece como caso particular do item (ii) na proposição 5.6 (pág. 61).
↑ No livro de Isnard (2007), este item corresponde ao corolário 5.7 (pág. 61).

[0] Lembre-se que em $\mathbb{R}$ só os conjuntos limitados possuem esta propriedade

[9] Note que aqui é usada a convenção $|\pm \infty| = + \infty.$

[1] Ver também: Isnard (2007), pág. 60.

[2] Conforme Isnard (2007), pág. 61, Corolário 5.7.

[3] Ver também Isnard (2007), pág. 116.

[4] Compare a Definição 1.9 com a definição de Isnard (2007), pág. 57.

[5] No livro de Isnard (2007), este teorema corresponde às proposições 5.6 (pág. 61) e 5.10 (i) (pág. 63).

[6] No livro de Isnard (2007), este corolário corresponde ao item (ii) da proposição 5.10 (pág. 63).

[7] No livro de Isnard (2007), este corolário aparece como caso particular do item (ii) na proposição 5.6 (pág. 61).

[8] No livro de Isnard (2007), este item corresponde ao corolário 5.7 (pág. 61).

[ver nota 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[ver nota 2]

Medida e integração/A reta real estendida

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.

Índice

[editar] Ordem, topologia e aritmética na reta real estendida

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[editar] Notas

[editar] Referências

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