Mecânica Newtoniana/Trajetórias e Geometria Diferencial

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[editar] Elementos de geometria diferencial de curvas.

Trajetórias são curvas no espaço tridimensional. Para melhorar nosso arsenal de terminologia e objetos matemáticos à disposição para tratar trajetórias, vamos fazer uma incursão brevíssima sobre os capítulos introdutórios da geometria diferencial. Imagine que, a partir de certa posição inicial $\vec{x}_0$ deixemos transcorrer um intervalo de tempo infinitesimal dt. Neste intervalo de tempo, a variação no vetor posição será dada por:

$d\vec{x} = \frac{d\vec{x}}{dt} dt = \vec{v}dt$

A distância percorrida neste pequeno intervalo de tempo será então dada por:

$ds^2 = d\vec{x}\cdot d\vec{x} = |\vec{v}|^2 dt^2$

Logo, a distância entre dois pontos separados por uma distância finita na trajetória de um corpo puntual é dada por:

$s(\vec{x}_1, \vec{x}_2) =\int_{t_1}^{t_2} ds = \int_{t_1}^{t_2} \left| \frac{d\vec{x}}{dt} \right| dt = \int_{t_!}^{t_2} |\vec{v}| dt$

Podemos usar para para parametrizar a trajetória a função $s(t) = s(\vec{x}(t),\vec{x}_0)$ com $\vec{x}_0$ um certo ponto inicial sobre a trajetória. Dessa forma podemos escrever a trajetória da forma:

$\vec{x} = \vec{x}(s)$

Vamos definir então o vetor $\vec{\tau}$ como:

$\vec{\tau} = \frac{d\vec{x}}{ds}$

Este vetor aponta sempre na direção tangente à trajetória, e será denominado simplesmente vetor tangente. O vetor tangente tem módulo unitário:

$\vec{\tau}\cdot\vec{\tau} = \frac{d\vec{x} \cdot d\vec{x}}{ds^2} = \frac{ds^2}{ds^2} = 1$

Repare que o vetor $\vec{\tau}$ varia ao longo da trajetória e é, portanto, um função do tempo. Note que a velocidade é dada por:

$\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt} = \frac{d\vec{v}}{ds}\frac{ds}{dt} = v(t)\vec{\tau}$

e portante é sempre paralela ao vetor tangente. A quantidade:

$v(t) = \frac{ds}{dt}$

é a distância percorrida por unidade de tempo sobre a trajetória, comumente denominada nos livros de Física do Ensino Médio de velocidade escalar instantânea. A partir desse resultado podemos escrever então:

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} =\frac{d}{dt}\left(v(t)\vec{\tau}\right) = \frac{dv}{dt}\vec{\tau}+ v^2\frac{d\vec{\tau}}{ds}.$

Vamos definir neste ponto o que denominaremos vetor de curvatura:

$\vec{k} = \frac{d\vec{\tau}}{ds}.$

O vetor de curvatura é perpendicular ao vetor tangente, como podemos facilmente deduzir da expressão para o módulo de $\vec{\tau}$ :

$\frac{d(\vec{\tau}\cdot\vec{\tau})}{ds} = 0 \implies \vec{\tau}\cdot\frac{d\vec{\tau}}{ds} = 0.$

Definimos a função curvatura $k (s)$ de uma curva espacial como o módulo do vetor de curvatura $\vec{k}$ . A razão dessa definição é que o inverso da curvatura é exatamente igual ao inverso do raio do círculo osculante à curva no ponto $\vec{x}(s)$ , ou seja, do círculo que melhor aproxima o trecho infinitesimal da curva em torno deste ponto. Escrevendo de forma explícita:

$k(s) = \frac{1}{R(s)}.$

$R (s)$ também é denominado raio de curvatura no ponto $\vec{x}(s)$ . O vetor unitário associado a $\vec{k}$ é perpendicular à tangente da trajetória e é denominado vetor normal:

$\vec{n} = \frac{1}{k} \vec{k}.$

Este vetor é unitário, perpendicular à tangente da curva e aponta sempre na direção do centro do círculo osculante.

[editar] Acelerações centrípeta e tangencial.

A expressão para a aceleração pode ser escrita na forma:

$\vec{a} = \frac{dv}{dt}\vec{\tau}+ v^2\frac{d\vec{\tau}}{ds} = \frac{dv}{dt}\vec{\tau}+ v^2 \frac{1}{R} \vec{n}$

A aceleração pode ser, portanto, separada em duas contribuições, a aceleração tangencial:

$\vec{a}_t = \frac{dv}{dt}\vec{\tau},$

e a aceleração centrípeta:

$\vec{a}_c = \frac{v^2}{R} \vec{n}$

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