Matemática para concursos/Imprimir

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Matemática para concursos
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Razão e proporção

A razão entre duas quantidades nada mais é do que o quociente entre elas. Por exemplo, dados os números 3 e 5, sua razão é 3/5, que em notação decimal é igual a 0.6. Se a e b são dois números quaisquer, podemos denotar sua razão por a/b, ou por a:b, e se referir a ela como "a razão de a para b".

Exemplo[editar | editar código-fonte]

"...o avião foi perdendo altura, a razão de 7 mil pés por minuto e se despedaçou."[1]

Nesta frase, as duas quantidades envolvidas são:

  • 7 mil pés
  • 1 minuto

mas esta mesma razão pode ser calculada usando outras duas quantidades, por exemplo:

  • 14 mil pés
  • 2 minutos

Observação: Este tipo de razão, que envolve uma distância e uma quantidade de tempo, é bastante utilizado e por ser de grande importância recebe um nome especial: velocidade. A ciência na qual se estuda a velocidade e outros conceitos relacionados é a Física.


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Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Trecho da matéria "Avião colombiano com 160 pessoas cai na Venezuela", publicada no Wikinotícias em 2005.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Razão

Regra de três simples e regra de três composta

Nessa página, exercícios que contenham problemas envolvendo a regra de três (simples e/ou composta).

Exercícios sobre Regra de três[editar | editar código-fonte]

1. (CFO-93) Se uma vela de 360 mm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir?

20 minutos
30 minutos
2h 36 min
3h 20 min
3h 18min

2. (SESD-94) 30 operários deveriam fazer um serviço em 40 dias. 13 dias após o início das obras, 15 operários deixaram o serviço. Em quantos dias ficará pronto o restante da obra?

53
54
56
58

3. (FESP-96) Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão:

90 dias
80 dias
12 dias
36 dias
64 dias

4. (Colégio Naval) Vinte operários constroem um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia?

10
20
15
30
6

5. (EPCAr) Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e meia. Nas mesmas condições e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?

2h30min18s
2h37min8s
2h37min30s
2h30min30s
2h29min28s

6. (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas mesmas condições, 15 homens montam 50 máquinas em:

18 dias
3 dias
20 dias
6 dias
16 dias

7. (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O número de horas por dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é:

8
9
10
12
15

8. (UFMG) Ao reformar-se o assoalho de uma sala, suas 49 tábuas corridas foram substituídas por tacos. As tábuas medem 3 m de comprimento por 15 cm de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. O número de tacos necessários para essa substituição foi:

1.029
1.050
1.470
1.500
1.874

9. (UFMG) Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará:

24 min
30 min
32 min
36 min
50 min

10. (UNFMG) Uma blusa custa R$ 30,00 e está na promoção com um desconto à vista de 20%. Qual será o preço dessa blusa ?

R$ 40,00
R$ 23,00
R$ 24,00
R$ 50,00
R$ 18,00

Sua pontuação é 0 / 0


Gabarito[editar | editar código-fonte]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 D  B  E  C  C  D  C  B  C

Resolução[editar | editar código-fonte]

1[editar | editar código-fonte]

Logo:

Altura Tempo
1,8mm 1min
360mm x

x = \frac{360}{1,8} = 200 min = 3 horas (180 min) e 20 minutos

2[editar | editar código-fonte]

A previsão era de 40 dias e, como já se passaram 13, os 30 operários deveriam concluir a obra em 40 - 13 = 27 dias. Mas ficaram apenas 15 daqueles 30 operários (pois saíram 15). Como o número de trabalhadores diminuiu pela metade, pode-se esperar que o restante da obra demore mais do que o previsto para ser concluído. Para saber exatamente quanto tempo ainda falta, basta aplicar a regra de três, levando em conta que o tempo é inversamente proporcional a quantidade de operários. Assim:

Operários Dias
30 27
15 x

Como os valores são inversamente proporcionais, então 30 \cdot 27 = 15 x. Logo 15 x = \frac{30 \cdot 27}{15} = 2 \cdot 27 = 54.

Portanto, a resposta correta é a segunda.

Poderíamos também resolver esta questão sem o uso da regra de três, o que para alguns pode ser mais difícil e para outros mais fácil:

Sabendo que 30 operários fazem o serviço em 40 dias, podemos concluir que 15 fazem em 80 dias. Já que no 13° dia o número de operários reduziu à metade (15), e que a razão entre 40 e 80 (os dias) é x2, então logo 80 - (13 . 2) é igual a quantidade de dias restantes para a conclusão da obra, ou seja, 54.

3[editar | editar código-fonte]

3) Se esse tecido possui 36m x 1 de largura, isso significa que a nova medição será de 12m x 2 de largura Logo:

Operários Dias Horas/dia Tecido
12 90 8 36
15 x 6 24

x é inversamente proporcional ao número de empregados e às horas trabalhadas. Então:

12 \cdot 90 \cdot 8 \cdot 24 = 15 \cdot x \cdot 6 \cdot 36
x = \frac{12 \cdot 90 \cdot 8 \cdot 24}{15 \cdot 6 \cdot 36}
x = \frac{207360}{3240} = 64 dias

4[editar | editar código-fonte]

Se:

Operários Dias Horas/dia Muro
20 45 6 1
x 15 8 1/3

x é inversamente proporcional ao número de dias e às horas trabalhadas. Então:

x = \frac{45 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot 20}{15 \cdot 8 \cdot 1}
x = \frac{1800}{120} = 15 operários

v t 45 3.5 60 x 60x=45*3.5 60x=157,5 157,5/60=2,625

Você pode detalhar o Tempo: 1 hora=60 min 1 minuto =60 s R=2,625 horas R=2 h +0,625 * 60=37,5 minutos R=2 h + 37,5 min R=0,5 * 60 =30 segundos R = 2 horas + 37 minutos + 30 segundos

6[editar | editar código-fonte]

8  16  12    15  16  12→  x= 8.50.12  x= 4800
15 50  x     8   50  x       15.16        240
x= 20

7[editar | editar código-fonte]

12 | 5 | 30 | 6
18 | 10 | 20 | x

6/x = 18/12 * 5/10 * 20/30 = 1/2

             LOGO

x = 12

8[editar | editar código-fonte]

49 tábuas | 300cm x 15cm = 4.500 cm
X tacos  | 20cm x  7,5 cm = 150 cm

1.Verificamos que são ao todo 49 tábuas para preencher 4.500 cm.

2. E que são precisos 30 tacos para preencher o espaço de uma tábua, pois 4.500/150 = 30/1
3. Logo, São necessários 49 x 30 tacos para preencher o espaço somente com tacos = 1.470 tacos.

9[editar | editar código-fonte]

1m15s | 1h
  x   | 24h
(1m15s)*24=x
(24m + 360 seg) = x
 x = 24m + 360s/60s
 x = 24m + 6m
 x = 30 minutos   
1m15s= 75s então 
75s --- 1h
x  --- 24h
x= 75s*24h
x= 1800s  (1800s/60s)= 30min.

Porcentagem

Fórmulas[editar | editar código-fonte]

(Valor secundário) / taxa = (Valor Inicial) / 100.

Por vezes, a questão fornece a soma do valor secundário com o valor inicial.

Questões[editar | editar código-fonte]

1. (Belotur - Fumarc) Na compra de dois produtos, um comerciante pagou R$ 2.550,00. Sendo um produto 30% mais barato que o outro, o preço pago pelo produto mais caro foi:

R$ 1.000,00
R$ 1.050,00
R$ 1.500,00
R$ 2.000,00

2. (TRF-PE/95) Dos 1.600 candidatos a um concurso, 32% são nascidos no interior do estado de Pernambuco, 7,5% em outros estados e os restantes são naturais do litoral de Pernambuco. O número de candidatos nascidos no litoral é?:

968
986
993
999
1204

3. (TRF-PE/95) Certo mês, uma prestação de casa própria tinha o valor de R$ 740,00. Sendo paga após a data de vencimento, seria cobrada uma multa e o valor total a ser pago passaria a ser R$ 777,00, a multa correspondente em relação ao valor inicial a uma porcentagem de:

3%
4%
5%
6%
7%

Sua pontuação é 0 / 0


Resolução[editar | editar código-fonte]

1ª Questão[editar | editar código-fonte]

a = valor do 1º produto

b = valor do 2º produto


Se "Na compra de dois produtos, um comerciante pagou R$ 2.550,00.", então a + b = R$ 2.550,00

"Sendo um produto 30% mais barato que o outro", logo a - 30%a = b


Desenvolvendo os dados da questão:

a - 30a/100 = b

a - 3a/10 = b


Acha-se o MMC, divide-se pelo denominador e se multiplica pelo numerador. Achando:

10a - 3a/10 = b

7a/10 = b

a/10 = b/7


Aplica-se a seguinte propriedade:

A soma dos numeradores é igual a soma dos denominadores nesse caso, obtendo assim:

a/10 = b/7 = a+b/17


Substituindo conforme os dados fornecidos e o pedido:

a/10 = b/7 = a+b/17


a/10=R$ 2.550,00/17, logo a = 1.500. A resposta é a letra C.


OU pode se resolver dessa forma:

O produto X é 30% mais barato que o produto Y

X = Y - 0,3Y = 0,7Y

Substituindo na equação:

X+Y= 2 550,00

0,7Y+Y=2 550,00

1,7Y = 2 550,00

Y= 2 550,00/1,7

Y= 1 500,00

2ª Questão[editar | editar código-fonte]

Dos 1.600 candidatos a um concurso, 32% são nascidos no interior do estado de Pernambuco, 7,5 em outros estados e os restantes são naturais do litoral de Pernambuco. O número de candidatos nascidos no litoral é?:

T = Total de Candidatos = 1600

a = Interior = 32%

b = outros estados = 7,5%

c = outros são do litoral = (a + b) - 100% = 60,5%


x / 60,5 = 1600 / 100, resolvendo isso encontramos 968.


3ª Questão[editar | editar código-fonte]

a = Valor inicial R$ 740,00

b = Valor final = inicial + multa = R$ 777,00

c = multa = b - a = R$ 37

Colocando os dados na fórmula obtemos 740/100 = 37/x, obtemos 5%. A resposta é a letra C.


Gabarito[editar | editar código-fonte]

1ª questão C R$ 1.500,00

2ª questão A 968

3ª questão C 5%

Juros simples

Juros = (Capital . i(taxa) . Tempo) / 100

Usa-se para esta fórmula sempre a taxa em porcentagem. Caso venha em decimal, deve-se desprezar a divisão por 100 na fórmula ao invés de multiplicar a taxa por 100 para depois dividir novamente por cem.

Montante = Juros + Capital

Para resolver questões que forneçam o montante e peça o capital ou o juros é em grande parte necessário necessário saber:

x/n1 = y/n2 = x+y/n1+n2

Geralmente nas provas depois de aplicar a fórmula J=CiT/100 encontrará Juros/número1 = Capital/número2 com a prova fornecendo o montante e pedindo o capital ou o juros. Nesse caso, bastará saber que J/n1 = C/n2 = M/n1+n2 e assim achar o que pedirem. Por exemplo, encontra-se a partir dos conhecimentos já fornecidos J/30 = C/60 = M/90. Nessa situação a prova informaria que o montante é 180. Bastaria calcular e responder 180 caso pedisse o capital.

Cuidado com uma outra pegadinha muito usado atualmente em provas de concursos. Eles informam que o juros está para o capital na proporção que 3 está para 4, fornecendo entre outros dados um capital ou juros de 986.453.453.545. Muitos podem pensar que a prova está com carta marcada, mas não. Se isso acontecer, esqueça o alto valor e apenas adapte um pouco a fórmula para J/C = i.T /100, substituindo J/C por 3/4 = i.T /100. Obviamente entre os outros dados estará ou a taxa ou o tempo.

Juros compostos

M = C + (1 + i)^t


M = Montante

C = Capital

i = Taxa

t = Tempo

Sistema Internacional de Unidades

A sigla é em minúsculo e não vai ao plural, logo não há "20 Mts" ou "30 ms", mas apenas existem 20 m e 30 km.


Sistemas de Medidas de Distâncias[editar | editar código-fonte]

A variação se dá através da multiplicação ou divisão por 10 ao passar de uma casa a outra, obviamente quando se reduz a unidade(como no caso de hm para dam) para manter a mesma distância precisa multiplicar por 10 o número. Já quando se eleva a unidade(de m para dam por exemplo), é necessário reduzir o número, divindo-o por 10.
Funciona da mesma forma que o dinheiro. Se há 100 reais, não é possível trocá-los por 100 euros, mas apenas por 40 euros. Devido a cotação do euro ser bem maior que a do real.
Quilômetro -> km = 1000m
Hectômetro -> hm = 100m
Decâmetro -> dam = 10m
Metro -> m
Decímetro -> dm = 1/10m
Centímetro -> cm = 1/100m
Milímetro -> mm = 1/1000m

Uma outra forma algumas vezes cobrada é a milha marítima, que equivale a 1852 m.

Sistema de Medidas de Áreas Urbanas[editar | editar código-fonte]

Funciona da mesma forma que as unidades de distância, porém com o diferencial de como ser elevado ao quadrado a multiplicação e a divisão devem ser realizada por 100.
Quilômetro quadrado -> km² = 1.000.000m²
Hectômetro quadrado -> hm² = 10.000m²
Decâmetro quadrado -> dam² = 100m²
Metro quadrado -> m²
Decímetro quadrado -> dm² = 1/100m²
Centímetro quadrado -> cm² = 1/10.000m²
Milímetro quadrado -> mm² = 1/1.000.000m²


Sistema de Medidas de Áreas Rurais[editar | editar código-fonte]

Hectare -> ha 100a
Are -> a
Centiare -> ca 1/100a

Transformando área urbana em área rural ou o contrário.
1 ha = 1 hm²
1 a = 1 dam²
1 ca = 1 m²


Sistemas de Medidas Volumétricas[editar | editar código-fonte]

Similar aos anteriores, mas por 1000. Quilômetro Cúbico -> km³ 1/1.000.000.000 m³
Hectômetro Cúbico -> hm³ 1.000.000 m³
Decâmetro Cúbico -> dam³ - 1.000 m³
Metrocúbico Cúbico -> m³
Decímetro Cúbico -> dm³ = 1/1.000 m³
Centímetro Cúbico -> cm³ = 1/1.000.000 m³
Milímetro Cúbico -> mm³ 1/1.000.000.000 m³

Litro: similar aos anteriores, mas por 10.
Quilolitro -> kl = 1.000 l
Hectolitro -> hl = 100 l
Decalitro -> dal 10 l
Litro -> l
Decilitro -> dl = 1/10 l
Centilitro -> cl 1/100 l
Mililitro -> ml 1/1000 l


Decastério -> dast = 10 st
Estéreo (madeira) -> st
Decistério -> dst = 1/10 st

Transformação entre os sistemas.
1 litro = 1dm³
1 st = 1 m³

Sistemas de Medidas de Massa[editar | editar código-fonte]

Tonelada -> t = 1000 kg
-
-
Quilograma -> kg 1000 g
Hectograma -> hg = 100 g
Decagrama -> dag = 10 g
Grama -> g
Decigrama -> dg = 1/10 g
Centigrama -> cg = 1/100 g
Miligrama -> mg = 1/1000 g
Micrograma-> mcg = 1/1000000 g
Transformação de gramas em quilates e o contrário.
1 g = 5 quilates

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Relações e funções

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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Progressões

em um semestre escolar foram aplicadas 4 trabalhos e 2 provas . sabendo que cada trabalho tem 1 peso e cada prova tem 3 peso,qual a média obtida por um aluno que obteve 7,8,3 e6 nos trabalhos e 9e 10 nas provas?

Equações e inequações

Nessa página, exercícios que contenham problemas envolvendo equações.

Exercícios sobre equação[editar | editar código-fonte]

1. (EPCAr) O valor de x, na equação x = \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + \sqrt[]{2 + ...}}}} é:

2
3
1
12

2. Resolva: x^{x^{x^{...}}} = 2. Qual o valor de x?

x = \sqrt[]{2}
x = \sqrt[]{4}
2
Dados insuficientes

3. Hetemocles e seu pai Hipostenes venceram, juntos, onze competições de luta livre, mas Hipostenes teve uma vitória a mais que seu filho[1]. Quantas vitórias teve Hipostenes?

4
5
6
7
1000
\pi\,
Dados insuficientes

Sua pontuação é 0 / 0


Referências

Logaritmos

Logaritmos[editar | editar código-fonte]

Definição:

loga b = c se, e somente se, ac = b, onde a > 0, a ≠ 1 e b > 0


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Referências

Empresas Organizadoras de Concursos[editar | editar código-fonte]

Notícias sobre Concursos[editar | editar código-fonte]

Matemática[editar | editar código-fonte]