Matemática elementar/Trigonometria/Funções trigonométricas

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Índice

1 Definição
2 Periodicidade
3 Paridade
4 Ângulos notáveis
5 Gráficos
6 Propriedades
- 6.1 Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado
- 6.2 Propriedades do quadrado da secante e da cossecante
7 Exercícios

[editar] Definição

Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenómenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo rectângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou, de forma ainda mais geral, como séries infinitas ou, de forma igualmente geral, como soluções para certas equações diferenciais.

Existem seis funções trigonométricas básicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão.

seno ( $\mathrm{sen}\, \,\!$ — ou $\operatorname{sen},$ em português)
coseno ( $\cos \,\!$ )

As últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equações em baixo são definições e não identidades demonstradas.

tangente $\left(\tan x= {\mathrm{sen}\, x \over \cos x}\right)$
secante $\left(\sec x = {1 \over \cos x}\right)$
cosecante $\left(\csc x= {1 \over \mathrm{sen}\, x}\right)$
cotangente $\left(\cot x = {\cos x \over \mathrm{sen}\, x}\right)$

O seno, o coseno e a tangente são, de longe, as mais importantes.

As inversas destas funções são geralmente designadas de arco-função, i.e., arcsin, arccos, etc., ou adicionando o expoente -1 ao nome, como em sen^-1, cos^-1, etc. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo, arcsen(1) = 90°.

[editar] Periodicidade

Tanto a função Seno como a função Co-seno têm período 2 pi. A função tangente admite o período pi

[editar] Paridade

A função Seno é uma função ímpar, pois sen (-x)= -sen x, qualquer que seja x pertencente R. A função Co-seno é uma função par, pois cos (-x)= cos x, qualquer que seja x pertencente a R. A função Tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par: tg (-x)= -tg x, qualquer que seja x pertencente ao domínio. A função Co-tangente é uma função de período pi.

[editar] Ângulos notáveis

Veja abaixo uma tabela com os valores mais importantes das funções trigonométricas.

$\theta\,$	$rad\,$	$\mathrm{sen}\, \theta\,$	$\cos \theta\,$	$\tan \theta\,$
$0^\circ$	0	0	1	0
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{ \sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1\,$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	1	0	Não definido

Existe um macete para memorizar estes valores. Lembrando que o gráfico da função seno é crescente no primeiro quadrante (ângulos de 0 graus a 90 graus), escreva:

0, 30, 45, 60, 90

0, 1, 2, 3, 4

Em seguida, na segunda linha, tire a raiz quadrada e divida por 2:

0, 30, 45, 60, 90

0, 1/2, $\sqrt{2}/2\,,$ $\sqrt{3}/2\,,$ 1

E temos os valores da função seno. Os valores do cosseno são obtidos invertendo-se a primeira linha:

90, 60, 45, 30, 0

0, 1/2, $\sqrt{2}/2\,,$ $\sqrt{3}/2\,,$ 1

E os valores da tangente dividindo-se seno por cosseno.

[editar] Gráficos

[editar] Propriedades

[editar] Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado

Definição de seno e cosseno

Diretamente da figura que define seno e cosseno (ao lado), temos, pelo triângulo retângulo no primeiro quadrante, que:

$(\cos x)^2 + (\mathrm{sen}\, x)^2 = 1^2\,$

É convencional escrever o quadrado de uma função trigonométrica colocando-se o sinal imediatamente ao lado do nome da função. Assim, esta relação é escrita:

$\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,.$

A geometria do triângulo retângulo prova esta relação no caso de $0 < x < \pi/2\,,$ ou seja, para ângulos no primeiro quadrante. Nos casos $x = \pi/2, \pi \mbox{ ou } 3 \pi / 2\,,$ temos que um deles (seno ou cosseno) vale 1, e o outro vale 0, logo a soma dos seus quadrados é 1.

Nos demais casos, temos:

Se x está no segundo quadrante, então $y = \pi/2 - x\,$ está no primeiro quadrante, e:

$\cos x = - \cos(\pi/2 - x)\,:$ : $\mathrm{sen}\, x = \mathrm{sen}\,(\pi/2 - x)\,:$ portanto:

$\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (\pi/2 - x) + \mathrm{sen}\,^2 (\pi/2 - x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,$

Analogamente:

Se x está no terceiro quadrante, então $y = x - \pi\,$ está no primeiro quadrante, e:

$\cos x = - \cos(x - \pi)\,:$ : $\mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(x - \pi)\,:$ portanto:

$\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (x - \pi) + \mathrm{sen}\,^2 (x - \pi) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,$

Finalmente:

Se x está no quarto quadrante, então $y = -x\,$ está no primeiro quadrante, e:

$\cos x = \cos(-x)\,:$ : $\mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(-x)\,:$ portanto:

$\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (-x) + \mathrm{sen}\,^2 (-x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,$

Ou seja, a relação

$cos^2 x + sin^2 x = 1\,$

é válida para qualquer ângulo real x.

[editar] Propriedades do quadrado da secante e da cossecante

Lembrando que:

$\mbox{sec} x = \frac{1}{\cos x}\,:$ $\mbox{cosec} x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x}\,:$ $\mbox{tan} x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}\,:$ $\mbox{cotan} x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x}\,$