Matemática elementar/Trigonometria/Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas

Conceito

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.

Assim, enquanto equações do tipo:

$3 x + 4 = 0\,$

$x^2 - 4 x - 7 = 0\,$

possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:

$\tan x = 1\,$

admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período $\pi\,,$ para cada solução x = a, temos que $x = a + \pi\,$ e $x = a - \pi\,$ também serão soluções, assim como qualquer valor $x = a + k \pi\,,$ sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n

sen(x) = n

$n\,\!$	$\mathrm{sen} \ x=n\,\!$
$\left|n\right|<1$	$\begin{matrix}x=\alpha + 2 k \pi \\ x=\pi - \alpha + 2 k \pi \\ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\end{matrix}$
$n=-1\,\!$	$x=-\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\end{matrix}+2k\pi$
$n=0\,\!$	$x=k\pi\,\!$
$n=1\,\!$	$x=\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\end{matrix}+2k\pi$
$\left|n\right|>1$	$x\in\varnothing$

A equação $\mathrm{sen}\, x=n$ só tem soluções quando $n$ está no intervalo [-1; 1]. Se $n$ está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo $\alpha$ tal que:

$\alpha=\mathrm{sen}\,^{-1} n\,\!$

Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

$x=\alpha + 2 k \pi\,\!$

$x=\pi - \alpha + 2 k \pi\,\!$

Em que $k$ é qualquer inteiro.

Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

Exemplo

Resolva:

$\mathrm{sen}\, \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Primeiro, deve-se determinar um valor para $\alpha:$

$\alpha=\mathrm{sen}\,^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\pi}{3}$

Substituindo nas fórmulas, temos:

$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3} + 2 k \pi$

ou

$\frac{x}{2}=\pi - \frac{\pi}{3} + 2 k \pi$

Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:

$x=\frac{2\pi}{3}\left(1+6k\right)$

ou

$x=\frac{4\pi}{3}\left(1+3k\right)$

Em que k é um número inteiro.

Outro exemplo

Resolva:

$\mathrm{sen}\, (x + \pi) =\frac{1}{2}\,$

Substituindo $y = x + \pi\,:$

$\mathrm{sen}\, y = \frac{1}{2}\,$

Sabemos que $\frac{\pi}{6}\,$ é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

$y =\frac{\pi}{6} + 2 k \pi$

ou

$y =\pi - \frac{\pi}{6} + 2 k \pi$

Substituindo o valor de $x = y - \pi\,$

$x =\frac{\pi}{6} - \pi + 2 k \pi$

ou

$x =\pi - \frac{\pi}{6} - \pi + 2 k \pi$

Ou seja:

$x =-\frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi$

ou

$x =- \frac{\pi}{6} + 2 k \pi$

Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma $x = \alpha + 2 k \pi\,,$ em que $0 \le \alpha < 2 \pi,$

Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.

No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:

$x =-\frac{5 \pi}{6} + 2 (k + 1) \pi$

ou

$x =- \frac{\pi}{6} + 2 (k + 1) \pi$

Finalmente:

$x =\frac{7 \pi}{6} + 2 k \pi$

ou

$x =\frac{11 \pi}{6} + 2 k \pi$

Exercícios

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