Matemática elementar/Trigonometria/Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas

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Conceito[editar | editar código-fonte]

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.

Assim, enquanto equações do tipo:

3 x + 4 = 0\,
x^2 - 4 x - 7 = 0\,

possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:

\tan x = 1\,

admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período \pi\,, para cada solução x = a, temos que x = a + \pi\, e x = a - \pi\, também serão soluções, assim como qualquer valor x = a + k \pi\,, sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n[editar | editar código-fonte]

sen(x) = n[editar | editar código-fonte]

n\,\! \mathrm{sen} \ x=n\,\!
\left|n\right|<1 \begin{matrix}x=\alpha + 2 k \pi \\
x=\pi - \alpha + 2 k \pi \\
\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\end{matrix}
n=-1\,\! x=-\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\end{matrix}+2k\pi
n=0\,\! x=k\pi\,\!
n=1\,\! x=\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\end{matrix}+2k\pi
\left|n\right|>1 x\in\varnothing

A equação \mathrm{sen}\, x=n só tem soluções quando n está no intervalo [-1; 1]. Se n está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo \alpha tal que:

\alpha=\mathrm{sen}\,^{-1} n\,\!

Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

x=\alpha + 2 k \pi\,\!
x=\pi - \alpha + 2 k \pi\,\!

Em que k é qualquer inteiro.

Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolva:

\mathrm{sen}\, \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Primeiro, deve-se determinar um valor para \alpha:

\alpha=\mathrm{sen}\,^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\pi}{3}

Substituindo nas fórmulas, temos:

\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3} + 2 k \pi
ou
\frac{x}{2}=\pi - \frac{\pi}{3} + 2 k \pi

Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:

x=\frac{2\pi}{3}\left(1+6k\right)
ou
x=\frac{4\pi}{3}\left(1+3k\right)

Em que k é um número inteiro.

Outro exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolva:

\mathrm{sen}\, (x + \pi) =\frac{1}{2}\,

Substituindo y = x + \pi\,:

\mathrm{sen}\, y = \frac{1}{2}\,

Sabemos que \frac{\pi}{6}\, é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

y =\frac{\pi}{6} + 2 k \pi
ou
y =\pi - \frac{\pi}{6} + 2 k \pi

Substituindo o valor de x = y - \pi\,

x =\frac{\pi}{6} - \pi + 2 k \pi
ou
x =\pi - \frac{\pi}{6} - \pi + 2 k \pi

Ou seja:

x =-\frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi
ou
x =- \frac{\pi}{6} + 2 k \pi

Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma x = \alpha + 2 k \pi\,, em que 0 \le \alpha < 2 \pi,

Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.

No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:

x =-\frac{5 \pi}{6} + 2 (k + 1) \pi
ou
x =- \frac{\pi}{6} + 2 (k + 1) \pi

Finalmente:

x =\frac{7 \pi}{6} + 2 k \pi
ou
x =\frac{11 \pi}{6} + 2 k \pi

Equações com restrição no domínio[editar | editar código-fonte]

Determinação do domínio[editar | editar código-fonte]

Equações com mais de uma função trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]