Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos

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Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Tabela de conteúdo

[editar] Adição de arcos

[editar] Cosseno da soma

Circulocosseno.png

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos A \;\!, B \;\! e C \;\! pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são A \left ( \cos a , \mathrm{sen}\, a \right ) \;\!, B \left ( \cos \left ( a + b \right ) , \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) \right ) \;\! e C \left ( \cos b , -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!. Os arcos \widehat{P B} e \widehat{C A } têm medidas iguais, logo as cordas \overline{P B} e \overline{C A} também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

d_{PB}^2 = 2 - 2\cdot\cos \left ( a + b \right ) \;\!

d_{CA}^2 = 2 - 2\cdot\cos a\cdot\cos b + 2\cdot\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

      \cos \left ( a + b \right ) = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

[editar] Seno da soma

Sabemos que \mathrm{sen}\, x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} - x \right ) . A partir disto e sendo x = a + b \;\!, obtemos:

  • \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \cos \left [ \frac{\pi}{2} - \left ( a + b \right ) \right ] = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) - b \right ]

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

  • \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\mathrm{sen}\, b

Substituindo \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \mathrm{sen}\, a e \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \cos a nesta expressão, então:

        \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!

[editar] Tangente da soma

Sabendo que \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para \tan \left ( a + b \right ) \;\!:

  • \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )}{\cos \left ( a + b \right )} = \frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}

= \frac{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b}}{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\cos a\cdot\cos b}}

Então:

     \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\cdot\tan b}

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi e a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} , porque a relação \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} só é válida se e somente se x \ne \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}.

[editar] Cotangente da soma

Como \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} , podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para \cot \left ( a + b \right ) \;\!:

  • \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\ cos \left ( a + b \right )}{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )} = \frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}

= \frac{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}

Simplificando, temos:

        \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b - 1}{\cot a + \cot b}

Como \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} é válida se e somente se x \ne 0, \pi, 2\pi \;\!, a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\! e a + b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.

[editar] Exemplos

  • Calcule:
\left ( 1 \right ) \;\! \cos 75^\circ \;\!: \left ( 2 \right ) \;\! \mathrm{sen}\, 105^\circ \;\!: \left ( 3 \right ) \;\! \tan 105^\circ \;\!: \left ( 4 \right ) \;\! \cot 75^\circ \;\!


    • Resolução
\left ( 1 \right ) \;\! \cos 75^\circ = \cos \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 45^\circ

= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} : \left ( 2 \right ) \;\! \mathrm{sen}\, 105^\circ = \mathrm{sen}\, \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 60^\circ + \mathrm{sen}\, 60^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} : \left ( 3 \right ) \;\! \tan 105^\circ = \tan \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 60^\circ} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}: \left ( 4 \right ) \;\! \cot 75^\circ = \cot \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \frac{\cot 30^\circ \cdot \cot 45^\circ - 1}{\cot 30^\circ + \cot 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

[editar] Subtração de arcos

[editar] Cosseno da diferença

Para calcular \cos \left ( a - b \right ) \;\!, fazemos uso da igualdade a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

  • \cos \left ( a - b \right ) = \cos \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] \;\!

= \cos a\cdot\cos \left ( -b \right ) - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, \left ( -b \right ) \;\! = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\left ( -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!

Então:

     \cos \left ( a - b \right ) = \cos a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

[editar] Seno da diferença

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

  • \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos \left ( -b \right ) + \mathrm{sen}\, \left ( -b \right )\cdot\cos a \;\!

Logo,

     \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!

[editar] Tangente da diferença

Usando novamente a igualdade a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

  • \tan \left ( a - b \right ) = \tan \left [ a + \left ( - b \right ) \right ] = \frac{\tan a + \tan \left ( -b \right )}{1 - \tan a\cdot\tan \left ( -b \right )}

Simplificando, temos:

    \tan \left ( a - b \right ) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\cdot\tan b}

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi e a - b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} .

[editar] Cotangente da diferença

Mais uma vez, usaremos a igualdade a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

  • \cot \left ( a - b \right ) = \cot \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \frac{\cot a\cdot\cot \left ( -b \right ) - 1}{\cot a + \cot \left ( -b \right )}

Logo, obtemos a identidade:

     \cot \left ( a - b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b + 1}{\cot b - \cot a}

Está fórmula só pode ser aplicada se a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\! e a - b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.

[editar] Exemplos

  • Calcule:
\left ( 1 \right ) \;\! \cos 15^\circ \;\!: \left ( 2 \right ) \;\! \mathrm{sen}\, 15^\circ \;\!: \left ( 3 \right ) \;\! \cot 15^\circ \;\!


    • Resolução


\left ( 1 \right ) \;\! \cos 15^\circ = \cos 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}


\left ( 2 \right ) \;\! \mathrm{sen}\, 15^\circ = \mathrm{sen}\, 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}


\left ( 3 \right ) \;\! \cot 15^\circ = \cot 15^\circ \left ( 60^\circ - 45^\circ \right ) = \frac{\cot 60^\circ \cdot \cot 45^\circ + 1}{\cot 45^\circ - \cot 60^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}


  • Dados \tan \alpha = 1 \;\! e \tan \beta = \frac{1}{2} \;\!, calcule \tan \left ( \alpha - \beta \right ) \;\!.
    • Resolução

\tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

[editar] Multiplicação de arcos

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de 2a, 3a,... \;\!, utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo 2a = a + a, 3a = 2a + a, ... \;\!, conforme será mostrado adiante.

[editar] Cosseno

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

  • \cos 2a = \cos \left ( a + a \right ) = \cos a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, a \cdot \mathrm{sen}\, a = \cos^2 a - \mathrm{sen}\,^2 a \;\!

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

     \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!
     ou                  
     \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!
  • \cos 3a = \cos \left ( 2a + a \right ) = \cos 2a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!

= \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a \right ) \cdot \mathrm{sen}\, a \;\! = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - 2\mathrm{sen}\,^2 a \cdot \cos a \;\!

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

     \cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a \;\!

Expressões para \cos 4a, \cos 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

[editar] Seno

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

  • \mathrm{sen}\, 2a = \mathrm{sen}\, \left ( a + a \right ) = \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \;\!

Então, temos:

   \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a  \;\!
  • \mathrm{sen}\, 3a = \mathrm{sen}\, \left ( 2a + a \right ) = \mathrm{sen}\, 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!

= \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \right ) \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \left ( 1 - 2 \cdot \ sin^2 a \right ) \;\!

Utilizando a Identidade relacional básica:

  • = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - \mathrm{sen}\,^2 a \right ) + \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 a \right ) \;\!

Logo:

   \mathrm{sen}\, 3a = 3 \cdot \mathrm{sen}\, a - 4 \mathrm{sen}\,^3 a \;\!

Expressões para \mathrm{sen}\, 4a, \mathrm{sen}\, 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

[editar] Tangente

A partir da fórmula da tangente da soma:

  • \tan 2a = \tan \left ( a + a \right ) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \;\!

Logo:

    \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}
  • \tan 3a = \tan \left ( 2a + a \right ) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 - \tan 2a \cdot \tan a} \;\!

Ao subtituimos a fórmula anterior para \tan 2a \;\! e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

   \tan 3a = \frac{3 \cdot \tan a - \tan^3 a}{1 - 3 \cdot \tan^2 a} \;\!

Expressões para \tan 4a, \tan 5a,... \;\! são obtidas por processos semelhantes.

[editar] Exemplo

  • Se \cot x = \frac{5}{3} \;\! e 0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!, calcule \cos 2x \;\!.
    • Resolução

Precisamos encontrar \mathrm{sen}\, x \;\! para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade \csc^2 x = 1 + \cot^2 x \;\!, que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que \csc x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x} \;\!. Como 0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!, o valor da cossecante é positivo.

\csc x = \sqrt{1 + \cot^2 x} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}

De onde vem \mathrm{sen}\, x = \frac{3}{\sqrt{34}} .

Podemos finalmente calcular:

\cos 2x = 1 - 2 \cdot \ sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{34} = 1 - \frac{18}{34} = \frac{8}{17} .

[editar] Bissecção de arcos

[editar] Cosseno

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para \cos 2a \;\! a fim de que, dado o cosseno de uma arco x \;\! qualquer, possamos obter \cos \frac{x}{2}, \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} \;\! ou \tan \frac{x}{2} \;\! . Para isto, consideraremos 2a = x \;\! .

A partir de \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!:

  • \cos x = 2 \cdot \cos^2 \frac{x}{2} - 1 
    \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

A partir de \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!, temos:

  • \cos x = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 \frac{x}{2}\;\!
    \Rightarrow \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

Finalmente, sabendo que \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} , temos:

  • \tan \frac{x}{2} = \frac{\mathrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} 
   \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

[editar] Seno

Caso nos seja dado o \mathrm{sen}\, x \;\!, sabendo que \cos x = \pm \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} , calculamos \cos x \;\! e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

[editar] Tangente

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular \mathrm{sen}\, x \;\!, \cos x \;\! e \tan x \;\!, conhecida a \tan \frac{x}{2}. Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

\mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\mathrm{sen}\, a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2 \cdot \tan a}{1 + \tan^2 a} \;\!

\tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}

e consideraremos 2a = x \;\! , de modo que:

       \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}

       \tan x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}

       \cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}

[editar] Exemplos

  • Se \mathrm{sen}\, x = \frac{4}{5} , com 0 < x <\frac{\pi}{2} , calcule as funções circulares de \frac{x}{2} .


    • Resolução

\cos x = \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Logo, temos:

\mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} : \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} : \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}


  • Se \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4} , determine \mathrm{sen}\, x \;\!.


    • Resolução


Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

\mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{8}{17}

[editar] Exercícios


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