Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos

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Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Adição de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno da soma[editar | editar código-fonte]

Circulocosseno.png

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos  A \;\!,  B \;\! e  C \;\! pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são  A \left ( \cos a , \mathrm{sen}\, a \right ) \;\!,  B \left ( \cos \left ( a + b \right ) , \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) \right ) \;\! e  C \left ( \cos b , -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!. Os arcos  \widehat{P B} e  \widehat{C A } têm medidas iguais, logo as cordas  \overline{P B} e  \overline{C A} também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

 d_{PB}^2 = 2 - 2\cdot\cos \left ( a + b \right ) \;\!

 d_{CA}^2 = 2 - 2\cdot\cos a\cdot\cos b + 2\cdot\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b  \;\!

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

      \cos \left ( a + b \right ) = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

Seno da soma[editar | editar código-fonte]

Sabemos que  \mathrm{sen}\, x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} - x \right ) . A partir disto e sendo  x = a + b \;\!, obtemos:

  •  \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \cos \left [ \frac{\pi}{2} - \left ( a + b \right ) \right ] = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) - b \right ]

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

  •  \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\mathrm{sen}\, b

Substituindo  \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \mathrm{sen}\, a e  \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \cos a nesta expressão, então:

        \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!

Tangente da soma[editar | editar código-fonte]

Sabendo que  \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para  \tan \left ( a + b \right ) \;\!:

  •  \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )}{\cos \left ( a + b \right )} = \frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}

 = \frac{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b}}{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\cos a\cdot\cos b}}

Então:

     \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\cdot\tan b} 

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se  a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi e  a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} , porque a relação  \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} só é válida se e somente se  x \ne \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}.

Cotangente da soma[editar | editar código-fonte]

Como  \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} , podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para  \cot \left ( a + b \right ) \;\!:

  •  \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\ cos \left ( a + b \right )}{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )} = \frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}

 = \frac{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}

Simplificando, temos:

        \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b - 1}{\cot a + \cot b}

Como  \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} é válida se e somente se  x \ne 0, \pi, 2\pi \;\!, a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se  a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\! e  a + b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Calcule:
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 75^\circ \;\!:  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 105^\circ \;\!:  \left ( 3 \right ) \;\!  \tan 105^\circ \;\!:  \left ( 4 \right ) \;\!  \cot 75^\circ \;\!


    • Resolução
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 75^\circ = \cos \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 45^\circ

 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} :  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 105^\circ = \mathrm{sen}\, \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 60^\circ + \mathrm{sen}\, 60^\circ \cdot \cos 45^\circ  = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} :  \left ( 3 \right ) \;\!  \tan 105^\circ = \tan \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 60^\circ}  = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}:  \left ( 4 \right ) \;\!  \cot 75^\circ = \cot \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \frac{\cot 30^\circ \cdot \cot 45^\circ - 1}{\cot 30^\circ + \cot 45^\circ}  = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

Subtração de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno da diferença[editar | editar código-fonte]

Para calcular  \cos \left ( a - b \right ) \;\!, fazemos uso da igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

  •  \cos \left ( a - b \right ) = \cos \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] \;\!

 = \cos a\cdot\cos \left ( -b \right ) - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, \left ( -b \right ) \;\!  = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\left ( -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!

Então:

     \cos \left ( a - b \right ) = \cos a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

Seno da diferença[editar | editar código-fonte]

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

  •  \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos \left ( -b \right ) + \mathrm{sen}\, \left ( -b \right )\cdot\cos a \;\!

Logo,

     \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!

Tangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Usando novamente a igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

  •  \tan \left ( a - b \right ) = \tan \left [ a + \left ( - b \right ) \right ] = \frac{\tan a + \tan \left ( -b \right )}{1 - \tan a\cdot\tan \left ( -b \right )}

Simplificando, temos:

    \tan \left ( a - b \right ) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\cdot\tan b} 

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se  a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi e  a - b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} .

Cotangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Mais uma vez, usaremos a igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

  •  \cot \left ( a - b \right ) = \cot \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \frac{\cot a\cdot\cot \left ( -b \right ) - 1}{\cot a + \cot \left ( -b \right )}

Logo, obtemos a identidade:

     \cot \left ( a - b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b + 1}{\cot b - \cot a} 

Está fórmula só pode ser aplicada se  a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\! e  a - b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Calcule:
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 15^\circ \;\!:  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 15^\circ \;\!:  \left ( 3 \right ) \;\!  \cot 15^\circ \;\!


    • Resolução


 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 15^\circ = \cos 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 30^\circ  = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}


 \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 15^\circ = \mathrm{sen}\, 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \cos 45^\circ  = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}


 \left ( 3 \right ) \;\!  \cot 15^\circ = \cot 15^\circ \left ( 60^\circ - 45^\circ \right ) = \frac{\cot 60^\circ \cdot \cot 45^\circ + 1}{\cot 45^\circ - \cot 60^\circ}  = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}


  • Dados  \tan \alpha = 1 \;\! e  \tan \beta = \frac{1}{2} \;\!, calcule  \tan \left ( \alpha - \beta \right ) \;\!.
    • Resolução

 \tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}  = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Multiplicação de arcos[editar | editar código-fonte]

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de  2a, 3a,... \;\!, utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo  2a = a + a, 3a = 2a + a, ... \;\!, conforme será mostrado adiante.

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

  •  \cos 2a = \cos \left ( a + a \right ) = \cos a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, a \cdot \mathrm{sen}\, a = \cos^2 a - \mathrm{sen}\,^2 a \;\!

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

     \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!
     ou                  
     \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!
  •  \cos 3a = \cos \left ( 2a + a \right ) = \cos 2a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!

 = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a \right ) \cdot \mathrm{sen}\, a  \;\!  = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - 2\mathrm{sen}\,^2 a \cdot \cos a \;\!

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

     \cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a \;\!

Expressões para  \cos 4a, \cos 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

Seno[editar | editar código-fonte]

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

  •  \mathrm{sen}\, 2a = \mathrm{sen}\, \left ( a + a \right ) = \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \;\!

Então, temos:

   \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a  \;\!
  •  \mathrm{sen}\, 3a = \mathrm{sen}\, \left ( 2a + a \right ) = \mathrm{sen}\, 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!

 = \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \right ) \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \left ( 1 - 2 \cdot \ sen^2 a \right ) \;\!

Utilizando a Identidade relacional básica:

  •   = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - \mathrm{sen}\,^2 a \right ) + \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 a \right ) \;\!

Logo:

   \mathrm{sen}\, 3a = 3 \cdot \mathrm{sen}\, a - 4 \mathrm{sen}\,^3 a \;\!

Expressões para  \mathrm{sen}\, 4a, \mathrm{sen}\, 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

Tangente[editar | editar código-fonte]

A partir da fórmula da tangente da soma:

  •  \tan 2a = \tan \left ( a + a \right ) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \;\!

Logo:

    \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a} 
  •  \tan 3a = \tan \left ( 2a + a \right ) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 - \tan 2a \cdot \tan a} \;\!

Ao subtituimos a fórmula anterior para  \tan 2a \;\! e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

   \tan 3a = \frac{3 \cdot \tan a - \tan^3 a}{1 - 3 \cdot \tan^2 a} \;\! 

Expressões para  \tan 4a, \tan 5a,... \;\! são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Se  \cot x = \frac{5}{3} \;\! e  0 < x < \frac{\pi}{2}  \;\!, calcule  \cos 2x \;\!.
    • Resolução

Precisamos encontrar  \mathrm{sen}\, x \;\! para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade  \csc^2 x = 1 + \cot^2 x \;\!, que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que  \csc x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x} \;\!. Como  0 < x < \frac{\pi}{2}  \;\!, o valor da cossecante é positivo.

 \csc x = \sqrt{1 +  \cot^2 x} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}

De onde vem  \mathrm{sen}\, x = \frac{3}{\sqrt{34}} .

Podemos finalmente calcular:

 \cos 2x = 1 - 2 \cdot \ sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{34} = 1 - \frac{18}{34} = \frac{8}{17} .

Bissecção de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para  \cos 2a \;\! a fim de que, dado o cosseno de uma arco  x \;\! qualquer, possamos obter  \cos \frac{x}{2}, \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} \;\! ou  \tan \frac{x}{2} \;\! . Para isto, consideraremos  2a = x \;\! .

A partir de  \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!:

  •  \cos x = 2 \cdot \cos^2 \frac{x}{2} - 1
    \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

A partir de  \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!, temos:

  •  \cos x = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 \frac{x}{2}\;\!
    \Rightarrow \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

Finalmente, sabendo que  \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} , temos:

  •  \tan \frac{x}{2} = \frac{\mathrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}
   \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

Seno[editar | editar código-fonte]

Caso nos seja dado o  \mathrm{sen}\, x \;\!, sabendo que  \cos x = \pm \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} , calculamos  \cos x \;\! e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente[editar | editar código-fonte]

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular  \mathrm{sen}\, x \;\!,  \cos x \;\! e  \tan x \;\!, conhecida a  \tan \frac{x}{2}. Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

 \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\mathrm{sen}\, a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2 \cdot \tan a}{1 + \tan^2 a} \;\!

 \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}

e consideraremos  2a = x \;\! , de modo que:

       \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}
       \tan x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}
       \cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Se  \mathrm{sen}\, x = \frac{4}{5} , com  0 < x <\frac{\pi}{2} , calcule as funções circulares de  \frac{x}{2} .


    • Resolução

 \cos x = \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Logo, temos:

 \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} :  \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} :  \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}


  • Se  \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4} , determine  \mathrm{sen}\, x \;\!.


    • Resolução


Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

 \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{8}{17}

Exercícios[editar | editar código-fonte]

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