Matemática elementar/Progressões

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.


Seqüências ou progressões são funções do tipo f:A \rightarrow B , onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo:

(2,4,6,8,10) é uma seqüência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função y = 2x\ (x \in A, y \in B). Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (an) com o posterior (an+1)da seguinte maneira: an + 1 = an + r, sendo r uma razão fixa, a razão de progressão.

Os dois tipos de seqüências matemáticas mais comuns são a progressão aritmética, que contém números tais que o anterior somado a uma razão fixa resulta no posterior, e progressões geométricas, que contém números tais que o anterior multiplicado pela razão fixa resulta no posterior.

Exemplos:

(1,5,9,13,...) é uma progressão aritmética infinita (o que se indica pelo sinal ...) de razão igual a 4.
(1,3,9,27,81) é uma progressão geométrica finita de razão igual a 3.


Tabela de conteúdo

[editar] Progressão Aritmética

Uma progressão aritmética (1,3,5,7).

Progressão aritmética (PA) é uma seqüência que tem entre um elemento e seus adjacentes uma diferença igual. Ou seja, uma seqüência para a qual se determinam os números somando ou subtraindo a razão de progressão.

Exemplo:

P = (2,4,6)
(6 - 4 = 2;4 - 2 = 2)

No exemplo, 2 é a razão de progressão da PA.

[editar] Fórmula do Termo Geral

Denomina-se fórmula do termo geral a uma equação que expressa a regra para obterem-se os elementos da progressão. É praticamente o mesmo que a função que define a seqüência. No caso das progressões aritméticas, a fórmula do termo geral é:

an = a1 + r(n - 1)

Onde:

  • an é o termo que se procura encontrar (n é o índice, por exemplo, a3 é o terceiro termo da progressão).
  • a1 é o primeiro termo da progressão. Conquanto a fórmula do termo geral seja expressa em função do primeiro termo, nada impede que se utilizem outras posições na seqüência, desde que se adapte a fórmula.
  • r é a razão de progressão
  • n é, como já explicado, o índice do elemento procurado

[editar] Soma dos Termos

Diz a lenda que o matemático Gauss descobriu a fórmula da soma de termos de uma PA quando tinha cinco anos. Gauss teria sido submetido a um exercício que consistia em somar os números naturais de 1 a 100, e o teria resolvido em alguns minutos, ao contrário do que esperava seu mestre.

Progresión aritmética-suma de términos-.png

Lendas matemáticas à parte, a soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser obtida por uma fórmula simples:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})n}{2}

Onde:

  • Sn é a soma dos termos até n.
  • a1 e an são, respectivamente, o primeiro e o último termo da progressão (ou pelo menos, do subconjunto da progressão sobre o qual será feita a soma)
  • n é o total de elementos somados; reparar que a fórmula só permite somar elementos contíguos da progressão

[editar] Progressão Geométrica

Progressão geométrica (1,2,4,8).

Progressões geométricas são seqüências numéricas em que os elementos crescem por multiplicações, a uma razão fixa.

Exemplo:

P = (1,3,9,27,81) (razão de progressão q = 3)



[editar] Produto

[editar] Soma Limitada

[editar] Soma Limitada e Constante

[editar] Soma de Infinitos

    A soma dos termos de uma P.G. infinita se dá pela seguinte equação:
    
                          Sn=\frac{a_1}{1-q}

[editar] Seqüências numéricas

  1. Seqüências numéricas, Progressões aritméticas e progressões geométricas, Soma de um número finito de termos de uma PA e de uma PG, noção de limite de uma seqüência, soma dos infinitos termos de uma PG de razão com módulo menor do que 1, Representação decimal de um número real -


Nuvola apps edu mathematics.png

Esta página é um esboço de matemática. Ampliando-a você ajudará a melhorar o Wikilivros.


[editar] Exercícios resolvidos

1) Ache tres numeros em P.A crescente,sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.

O problema pode ser resolvido assim: Chame de x o primeiro dos 3 números na PA e de r a razão da mesma. Então os termos são os seguintes: x, x+r, x+2r Como a soma deve ser igual a 15, os números x e r precisam satisfazer a equação: x + x+r + x+2r = 15 ou seja, 3x + 3r = 15 que se reescreve como x + r = 5

Logo, r = 5-x.


Por outro lado, se o produto de tais números é 105, deve ocorrer: x*(x+r)*(x+2r)=105 ou seja, x*(x+5-x)*(x+2(5-x))=105 que pode ser reescrito como 50x-5x^2=105

As raízes dessa equação do segundo grau são 3 e 7 e se obtem rapidamente pela fórmula de Bhaskara.

temos que considerar cada um dos casos: x=3 nessa situação, como r=5-x=5-3=2, os termos da PA são 3, 5 e 7

x=7 deduz-se que r=5-7=-2, donde os termos são 7, 5 e 3

Apenas o primeiro caso representa uma PA crescente, logo a resposta é 3, 5 e 7

2) O perimetro de um triangulo retangulo mede 24 cm.Calcule as medidas dos lados sabendo que eles estao em P.A.

Sabendo que os lados estão em PA, podemos chamá-los de x, x+r e x+2r, e supor que esta é uma PA crescente, como no problema anterior. Mas se o perímetro é 24, ou seja a soma dos lados tem esse valor, então: 3x+3r=24

ou seja x+r=8

donde r=8-x

Mas em todo triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras, e a hipotenusa é sempre o maior lado, então: (x+2r)^2=(x+r)^2+(x)^2

ou seja, (16-x)^2=8^2+x^2

ou ainda, 256 - 32x + x^2= 64 + x^2

que é equivalente a 32x=256-64=192

Portanto, x=6 e consequentemente r=8-6=2. Assim a resposta deve ser 6, 8 e 10.

Obtido em "http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Progress%C3%B5es"