Matemática elementar/Polinômios

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[editar] Definição

Polinômios são séries de monômios (ou termos), que por sua vez são expressões matemáticas na forma $a x n .$ Cada monômio é caracterizado por

um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
uma variável, que na equação é representada por x; e
um expoente, que na equação é representado por n.

Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:

P (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a 0

A função constante, $P (x) = c,$ é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear $P (x) = a x + b .$

[editar] Grau

Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio $2 + 4 x 3 + 2 x 2 - x$ o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ( $x 3$ ).

[editar] Valor numérico

É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis.

Exemplo

2x + 1                VN = ?   Para x=5
VN = 2.5 + 1 = 11,

[editar] Raízes

No gráfico acima, as raízes r₁ e r₂ são mostradas. Reparar que as raízes são correspondentes a pontos do gráfico que cortam o eixo das abcissas.

Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então $P (a) = 0.$

Exemplos de raízes:

$P (x) = 3 * x - 12$ tem raiz r = 4 (pois $P (4) = 3 * 4 - 12 = 0$ )
$P (x) = x 100 + x 99 + x 98 + ... + x 2 + x 1$ tem raiz r igual a -1, pois $P ( - 1) = 0.$

Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:

$P (x) = x 2 - 4 x + 4$ tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em $P (x) = (x - 2)(x - 2).$

Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.

[editar] Obtenção de raízes

[editar] Identidade de polinômios

Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:

$A(x) = 3 x^{2} + 3\,\!:$ $B(x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 6}{2} \Rightarrow B(x) = 3 x^{2} + 3$

Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: $A(x) \equiv B(x).$

[editar] Polinômio nulo

Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0.

[editar] Igualdade de polinômios

[editar] Operações

[editar] Adição

Consideremos que tenhamos os fatores:

${a_A,b_A,c_A,d_A,e_A} \,\!$ e

${a_B,b_B,c_B,d_B,e_B} \,\!$

Todos constantes e com valores diferentes de zero.

Ainda temos:

${x,y} \,\!$

que são variáveis.

Os polinômios:

$A(x)=a_A x^4+b_A x^3+c_A x^2+d_A x+e_A \,\!$

e

$B(x)=a_B x^4+b_B x^3+c_B x^2+d_B x+e_B \,\!$

A sua adição é efetuada como segue:

$S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^4 + (b_A+b_B) x^3 + (c_A+c_B) x^2 + (d_A+d_B) x + (e_A+e_B) \,\!$

Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:

$A(xy)=a_A x^2y+b_A xy+c_A y^2+d_A xy^3+e_A \,\!$

e

$B(xy)=a_B x^2y+b_B xy+c_B y^2+d_B xy^3+e_B \,\!$

A sua adição é efetuada como segue:

$S_{AB}(xy)=(a_A+a_B) x^2y + (b_A+b_B) xy + (c_A+c_B) y^2 + (d_A+d_B) xy^3 + (e_A+e_B) \,\!$

Processo:

Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do momômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

[editar] Subtração

O sinal de negativo (-)antes dos parêntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele.

(3x²-2x+5)-(5x-3)=

=3x²-2x+5-5x+3=
 =3x²-7x+8

[editar] Multiplicação

(15x² - 10x + 2) • (3x - 2)

Nesse caso, multiplica-se todos os termos.

ou

Considere:

(15x² - 10x + 2) = A

(3x - 2) = B

donde,

A • B (ou B • A)

 A
•B
---
 x

donde,

     (15x² - 10x + 2)
    •        (3x - 2)
    -----------------
     - 30x² + 20x - 4
45x³ - 30x² +  6x      +
---------------------
45x³ - 60x² + 26x -4

Portanto, o produto da multiplicação indicada será 45x³ - 60x² + 26x -4.

[editar] Divisão

Para realizar-se uma divisão de polinômios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:

Método de Descartes
Método do Resto
Método de D'Alembert
Método de Briot-Ruffini

[editar] Teoremas

[editar] Teorema do resto

O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a)

Exemplo de resolução 1

Têm-se a seguinte divisão:

$\frac{3x^4 - x^2 + 2x - 5}{x - 2}\,\!$

1º passo: Determina-se x

$x - 2 = 0\,\!:$ $x = 2\,\!$

2º passo: Substitui-se os valores

$3x^4 - x^2 + 2x - 5\,\!:$ $3.2^4 - 2^2 + 2.2 - 5\,\!:$ $3.16 - 4 + 4 - 5\,\!:$ $48 - 5\,\!:$

43

Portanto, o resto é 43.

Exemplo de resolução 2

O resto da divisão do polinômio $A(x) \,\!$ pelo polinômio de primeiro grau $B(x) = a x + b\,\!$ é $A (-b/a)\,\!.$

Observações: Note que $A (-b/a)\,\!$ é a raiz do divisor $B(x) = a x + b\,\!$

[editar] Teorema de D'Alembert

Um polinômio $A(x) \,\!$ é divisível pelo polinômio de primeiro grau $B(x) = a x + b\,\!$ se e somente se, $A (-b/a) = 0\,\!.$

[editar] Aplicações práticas

[editar] Equações polinomiais

[editar] Definição

[editar] Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio $P (x)$ de uma variável com coeficientes complexos e de grau $n \ge 1$ tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial $P (x) = 0$ tem $n$ soluções, não necessariamente distintas.

Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação.

[editar] Multiplicidade de uma raiz

[editar] Relações de Girard

[editar] Teorema das raízes complexas

[editar] Fatoração

Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão à um produto.

Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:

fatoração simples (ou por evidência)
fatoração por agrupamento
trinômios do quadrado perfeito
e outros

[editar] Fatoração simples (ou por evidência)

Destacam-se os termos em comum.

Exemplo: ax + ay + az = a (x + y + z)

[editar] Por agrupamento

Agrupam-se os termos em comum.

Exemplo: ax + by + bx + ay =; ax + ay + bx + by =; a (x + y) + b (x + y) =; (x + y) • (a + b)

[editar] Trinômio do quadrado perfeito

Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo.

Fatorar a expressão abaixo

$m^2 - 10m + 25\,\!$

Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:

Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,

$\sqrt[]{m^2} = m$ e $\sqrt[]{25} = 5$

Multiplicam-se os resultados

5 • m = 5m

Multiplica-se o produto obtido por dois

5m • 2 = 10m

Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito.

Sendo trinômio do quadrado perfeito

Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula $(a \pm b)^2$ substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,

(m - 5)²

Esse é o valor fatorado da expressão inicial.

[editar] Equação do segundo grau

Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .

A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima.

x² - 8x + 15

Observações: Fórmula da fatoração das Equações do segundo grau:
a (x - x₁) • (x - x₂)

Aplica-se a fórmula da fatoração das equações do segundo grau. Onde,

x₁ = 3

x₂ = 5

Por tanto, a fatoração de tal expressão resulta em:

1 (x - 3) • (x - 5)

(x - 3) • (x - 5)

[editar] Exercícios

Matemática elementar/Polinômios/Exercícios

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Tabela de conteúdo

[editar] Definição

[editar] Grau

[editar] Valor numérico

[editar] Raízes

[editar] Obtenção de raízes

[editar] Identidade de polinômios

[editar] Polinômio nulo

[editar] Igualdade de polinômios

[editar] Operações

[editar] Adição

[editar] Subtração

[editar] Multiplicação

[editar] Divisão

[editar] Teoremas

[editar] Teorema do resto

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[editar] Aplicações práticas

[editar] Equações polinomiais

[editar] Definição

[editar] Teorema Fundamental da Álgebra

[editar] Multiplicidade de uma raiz

[editar] Relações de Girard

[editar] Teorema das raízes complexas

[editar] Fatoração

[editar] Fatoração simples (ou por evidência)

[editar] Por agrupamento

[editar] Trinômio do quadrado perfeito

[editar] Equação do segundo grau

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