Matemática elementar/Logaritmos

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Tabela de conteúdo

1 Definição de Logaritmo
2 Operações com logaritmos
3 Equações envolvendo logaritmos
- 3.1 Logaritmos e raízes

[editar] Definição de Logaritmo

Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de $a$ na base $b$ é o expoente a que $b$ deve ser elevado para que o resultado seja $a$ . Em símbolos:

$\log_{b}a = x \iff b^x = a$

Dizemos que b é a base e a é o logaritmando.

Por exemplo, se $52 = 25$ , podemos dizer que 2 é o logaritmo de 25 na base 5. Isto mostra a proximidade que logaritmos têm com potências.

É importante definir algumas restrições à base e ao logaritmando:

A base deve ser positiva. Determinar, por exemplo, o logaritmo de 2 na base -10 é impossível no universo dos números reais, já que apenas as potências de expoentes inteiros estão definidas para bases negativas.
A base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1.
O logaritmando deve ser positivo. Nenhum número real positivo tem potências negativas.

[editar] Operações com logaritmos

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos.

[editar] Soma e subtração

$\log_{c}a + \log_{c}b = \log_{c}(a \cdot b)$

$log c a - log c b = log c (a / b)$

[editar] Multiplicação por constante

$k \cdot \log_{c}a = \log_{c}a^k$

[editar] Mudança de base

$\log_{b}a = \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}$ , para qualquer que seja a base $c$ (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima).

[editar] Demonstrações

Sejam:

$x = \log_c a\,$

$y = \log_c b\,$

Então:

$c^x = a\,$

$c^y = b\,$

Aplicando propriedades da exponenciação:

$c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,$

$c^x / c^y = c^{(x - y)}\,$

${(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,$

$(c^y)^{(x/y)} = c^x\,$

Log do produto

Da expressão

$c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,$

concluímos que:

$\log_c (c^x \cdot c^y) = x + y\,$

portanto:

$\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b\,$

Log da fração

Analogamente, de:

$c^x / c^y = c^{(x - y)}\,$

concluímos que:

$\log_c (c^x / c^y) = x - y\,$

portanto:

$\log_c (a / b) = \log_c a - \log_c b\,$

Log da potência

A partir de:

${(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,$

chegamos a:

$\log_c {(c^x)}^k = k \cdot x\,$

ou seja:

$\log_c a^k = k \cdot \log_c a\,$

Mudança de base

Da última expressão:

$(c^y)^{(x/y)} = c^x\,$

chega-se a:

$b^{(x/y)} = a\,$

$a = b^{(x/y)}\,$

ou seja:

$\log_b a = x / y\,$

e, finalmente:

$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}\,$

E temos demonstrações para as quatro propriedades básicas dos logaritmos.

[editar] Equações envolvendo logaritmos

[editar] Logaritmos e raízes

Quando temos uma equação do tipo $log b a = x$ , devemos buscar um número $x$ ao qual devemos elevar $b$ de modo a obter o resultado $a$ . Exemplo:

log 2 16 = x

Como $24 = 16$ , da definição de logaritmo resulta que $x = 4$ .

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