Matemática elementar/Imprimir

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Conjuntos[editar | editar código-fonte]

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.

Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Representação[editar | editar código-fonte]

O conjunto A e seus 4 elementos

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

A = \{ v,x,y,z \}

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

S = \{A, B, C, D \}

Especificando conjuntos[editar | editar código-fonte]

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

P = \{ 6,28,496 \}

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

Z_{100} = \{ 0, 1, 2, ..., 99 \}
N = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... \}

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

T = \{ \{1,6\}, \{5,8\} \}

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

A = \{x|P(x)\}

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

A = \{ x \in \mathbb{R} | x^2 - 6x = -8 \}

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, A = \{ 2,4 \}.

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia[editar | editar código-fonte]

Conjunto unitário[editar | editar código-fonte]

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por \{\}, \empty, \varnothing ou \phi.[1] Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Subconjuntos[editar | editar código-fonte]

A é um subconjunto de B

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }
B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se A \subset B. Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, \mathcal{P}(A), como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar \mathcal{P}(A) é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então \mathcal{P}(A) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto \mathcal{P}(A) terá 2n elementos. Ou seja:
\#\mathcal{P}(A) = 2^{\#A}.

Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.

Se A = \varnothing → P(A) = {\varnothing} → n(P(A)) = 2^0 = 1

Se A = {a} → P(A) = {\varnothing,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2

Se A = {a,b} → P(A) = {\varnothing,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4

Se A = {a,b,c} → P(A) = {\varnothing,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8

...

P(A) é formado por \varnothing somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).

Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por \varnothing).

n(P(A)) = {n\choose 1}+{n\choose 2}+{n\choose 3}+...+{n\choose n} + 1 = \sum_{k=1}^{n} {n! \over (n-k)!k!} +1

Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:

C^0_n\,\! + C^1_n\,\! + C^2_n\,\! + C^3_n\,\! + ... + C^n_n\,\! = \sum_{k=0}^{n} {n! \over (n-k)!k!} = 2^n

→ n(P(A)) = 2^n - C^0_n\,\! + 1

Mas, C^0_n\,\! = {n!\over (n-0)!0!} = {n!\over n!} = 1

→ n(P(A)) = 2^n - C^0_n\,\! + 1 = 2^n -1+1 = 2^n

Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.

Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que |A| < |P(A)|.

Conjunto Universo[editar | editar código-fonte]

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

Relações entre conjuntos[editar | editar código-fonte]

Relação de inclusão[editar | editar código-fonte]

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.

Exemplo: Se considerarmos o conjunto A formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto V formado pelas vogais, podemos dizer que A \supset V (A contém V) ou V \subset A (V está contido em A)

Relação de pertinência[editar | editar código-fonte]

Se \,\! a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A e podemos escrever a \in A. Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento a não pertence ao conjunto A e podemos escrever a \not\in A.

Exemplos:

  • -16 \in \mathbb{Z}
  • c \in \{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}
  • c\ \not\in \ \{a,e,i,o,u\}
  • \frac{4}{9}\ \not\in \ \mathbb{Z}

Subconjuntos próprios e impróprios[editar | editar código-fonte]

Se A e B são conjuntos e todo o elemento x pertencente a A também pertence a B, então o conjunto A é dito um subconjunto do conjunto B, denotado por A \subseteq B. Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A=B). Se A \subseteq B e ao menos um elemento pertencente a B não pertence a A, então A é chamado de subconjunto próprio de B, denotado por A \subset B. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Igualdade de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é A = B. Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo \ne.

Simetria de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

Operações com conjuntos[editar | editar código-fonte]

A \cup B = \{ x \in U | x \in A \or x \in B \}

Por exemplo:

A = \{a,e,i\}
B = \{o,u\}
A \cup B = \{a,e,i,o,u\}
A = \{2,3,4,5\}
B = \{1,3,5\}
A \cup B = \{1,2,3,4,5\}

Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.

  • A união de um conjunto A, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, A \cup \{\} = A.
  • Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = (A \cup C) \cup B.

Intersecção[editar | editar código-fonte]

Intersecção de A e B (em azul mais escuro)

A intersecção de dois conjuntos A e B, é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos A e B, pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a A quanto a B. Matematicamente:

A \cap B = \{ x \in U | x \in A \and x \in B \}

Por exemplo:

A = \{1,2,3\}
B = \{3,4,5\}
A \cap B = \{3\}
C = \{a,e,i,o,u,y\}
D = \{b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z\}
C \cap D = \{\}

Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

Diferença[editar | editar código-fonte]

Diferença A menos B (em azul mais escuro)

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

A - B = \{x \in U | x \in A \and x \not\in B\}
B - A = \{x \in U | x \in B \and x \not\in A\}

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
N = {1,2,3,4,5,...}
\mathbb{Z} - \mathbb{N} = \mathbb{Z}_{-} = \{...,-2,-1,0\}
  • A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, A - \{ \} = A.

Complementar[editar | editar código-fonte]

Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro)

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo \complement. Matematicamente:

\complement B_A = \{ x \in A | x \not\in B \}

Exemplo:

A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }
D = { {10,12} }
\complement D_A = \{ 3,4,9,\{25,27\} \}

Cardinalidade[editar | editar código-fonte]

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é

Exemplos:

Se A = { 7, 8, 9 }, então A = 3
Se A = { }, então A = 0.

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser \aleph_0 (aleph zero), \aleph_1, \aleph_2 ....

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por |A| ou por \#A. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então  |A|=|B| .

Problemas matemáticos sobre cardinalidade[editar | editar código-fonte]

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:

  • É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
  • É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

Um problema típico simples do primeiro caso é:

  • Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?

Um problema típico simples do segundo caso é:

  • Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Produto cartesiano[editar | editar código-fonte]

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é \times. Matematicamente:

A \times B = \{(x,y) | x \in A \and y \in B \}

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}.
  • O produto cartesiano é não-comutativo: A \times B \ne B \times A.
  • Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

Par ordenado[editar | editar código-fonte]

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,

(a,b) \ne (b,a)

Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:

(a,b) = \{ \{a\}, \{a,b\} \}
(b,a) = \{ \{b\}, \{b,a\} \}

Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

Relações[editar | editar código-fonte]

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

  1. Teoria dos conjuntos - texto mais avançado

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

  1. Conjunto
  2. Complementar
  3. Diagrama de Venn
  4. Diagrama de Euler
  5. Teoria dos conjuntos

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Números naturais[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.

Os matemáticos usam \mathbb{N} para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.

\mathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Se retirarmos o 0 desses conjunto, obtemos o subconjunto:

\mathbb{N}^* = {1,2,3,4,5,6,7,...}

Operações em \mathbb{N}[editar | editar código-fonte]

São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.

Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, 10-11=-1, e -1 não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto \mathbb{Z}

Critérios de divisibilidade[editar | editar código-fonte]

Divisibilidade por 2[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.

Divisibilidade por 3[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

  • 360 (3+6+0=9) → é divisível.

Divisibilidade por 4[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.

Exemplo:

  • 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.

Divisibilidade por 5[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplo:

  • 2.654.820 → é divisível.

Divisibilidade por 6[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplo:

  • 414 → divisível por 6, pois
    • par → divisível por 2
    • 4+1+4=9 → divisível por 3.

Divisibilidade por 7[editar | editar código-fonte]

A divisibilidade por 7 também pode ser verificada da seguinte maneira:

Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, 45 - 6 = 39. Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.

Outro exemplo: 784 → Separando 78 e 4, teremos 78 - 8 = 70. Como 70 é divisível por 7 o número 784 também é.

Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).

Divisibilidade por 8[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.

Exemplo:

  • 24512 → é divisível.

Divisibilidade por 9[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

  • 927 (9+2+7=18) → é divisível.

Divisibilidade por 10[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplo:

  • 154.870 → é divisível

A divisibilidade por 11[editar | editar código-fonte]

Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.

  • Separe o último algarismo
    15 e 4
  • Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
    15 - 4 = 11.

Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.

Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.

O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.

Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.
Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.

Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F

Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.

Dois exemplos com números grandes:

  • 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160168 \equiv 146 \pmod{11}, portanto é divisível.
  • 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161171 \not\equiv 148 \pmod{11}, portanto não é divisível.

Divisibilidade por 2^n[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 2^n quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por 2^n.

Divisibilidade por 3^n[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 3^n quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3^n.

Números primos[editar | editar código-fonte]

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

Decomposição em fatores primos (fatoração)[editar | editar código-fonte]

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).

Exemplos:

  • 6 = 2 \times 3
  • 16 = 2^4\,\!
  • 20 = 2^2 \times 5

Máximo Divisor Comum (MDC)[editar | editar código-fonte]

O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números a\,\! e b\,\! (vulgarmente abreviada como mdc(a,b)\,\!) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo,  mdc(16,8) = 8\,\!. A definição abrange qualquer número de termos.

Exemplo:

  • mdc(a,b,c,d)\,\!.

Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:

Seja m\,\! o máximo divisor comum entre a\,\! e b\,\! e também a'\,\! e b'\,\! o resultado da divisão de ambos por m\,\!, respectivamente.

Então, o seguinte se verifica:

a = b \Leftrightarrow ma = mb \Leftrightarrow a' = b'\,\!

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Pode-se calcular o MDC de duas formas:

  • Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
  • Fatoração disjunta

Fatoração disjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.

Exemplo

 mdc(24,40)\,\!

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3


40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5


Com efeito,

MDC = 2³ = 8

Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)[editar | editar código-fonte]

Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.

Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:

     Q_1    Q_2     Q_{...}   
  A  |  B  |  R1  |  R2  | R...
  R1 | R2  | R...  | 0

onde,

A = um dos números
B = o outro número
Q_1 = quociente da divisão \frac{A}{B}
R_1 = resto da divisão \frac{A}{B} (em seguida, ele torna-se o divisor de B)
E assim em diante.


O último resto (antes do 0) será o MDC.

Exemplo
      3      3        
  80  |  24  |  8     MDC (8)
  8   |   0

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)[editar | editar código-fonte]

O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números a\,\! e b\,\! (vulgarmente abreviada como mmc(a,b)\,\!) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo,  mmc(6,8) = 24\,\!.

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Pode-se calcular o MMC de duas formas:

  • Fatoração conjunta
  • Fatoração disjunta

Fatoração conjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:

Exemplo

 mmc(24,40)\,\!


24, 40  | 2
12, 20  | 2   
6, 10   | 2   x  
3,  5   | 3
1,  5   | 5  
1,  1   | 120

Fatoração disjunta[editar | editar código-fonte]

Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.

Exemplo

 mmc(24,40)\,\!

24  | 2
12  | 2
6   | 2   x
3   | 3   
1   | 2³ • 3


40  | 2
20  | 2   x
10  | 2   
5   | 5   
1   | 2³ • 5


Com efeito,

23 • 3 • 5
8 • 3 • 5
120,

Propriedade do MDC e do MMC[editar | editar código-fonte]

MDC(a,b) \times MMC(a,b) = a \times b

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Exercícios:

Uma abordagem mais avançada:

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Números inteiros[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Os inteiros, ou números inteiros, consistem dos números naturais (0, 1, 2, ...) e dos números inteiros negativos (-1, -2, -3, ...). O conjunto de todos os inteiros é normalmente chamado de Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, \mathbb{Z}), que vem de Zahlen (do alemão, "número").

Inteiros podem ser adicionados ou subtraídos, multiplicados e comparados. A principal razão para a existência dos números negativos é que tornou possível resolver todas as equações da forma:a + x = b para a incógnita x; nos números naturais apenas algumas destas equações eram solúveis.

Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.


\mathbb{Z} = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}


Se retirarmos o 0 desses conjuntos, obtemos o subconjunto:

\mathbb{Z}^* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...}


Outros subconjuntos de \mathbb{Z}:


  • Conjunto dos inteiros não-negativos:

\mathbb{Z}+ = {0,1,2,3,...}


  • Conjunto dos inteiros não-positivos:

\mathbb{Z}- = {...,-3,-2,-1,0}


  • Conjunto dos inteiros positivos:

\mathbb{Z}^*+ = {1,2,3,...}


  • Conjunto dos inteiros negativos:

\mathbb{Z}^*- = {...,-3,-2,-1}


Notas:


  • \mathbb{Z}+ = \mathbb{N}


  • \mathbb{Z}^*+ = \mathbb{N}^*

Veja também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Wikipedia[editar | editar código-fonte]

Números racionais[editar | editar código-fonte]

Números racionais e frações[editar | editar código-fonte]

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma a/b\,\!, onde b \,\! é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

\frac{29}{8}: 3 (= \frac{3}{1} ): -\frac{29}{8}: 3 \frac{5}{8}: 0 (= \frac{0}{x} )

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

\begin{matrix}{a \over b} & + & {c \over d} & = & {ad+bc \over bd} \\ {a \over b} & \cdot & {c \over d} & = & {ac \over bd} \end{matrix}

Exemplo:

Frações.png

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

\mathbb{Q}

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições[editar | editar código-fonte]

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como \frac{a}{b}, designa este número {a} \,\! dividido em {b} \,\! partes iguais. Neste caso, {a} \,\! corresponde ao numerador, enquanto {b} \,\! corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração \frac{56}{8} designa o quociente de 56 \,\! por 8 \,\!. Ela é igual a 7 \,\!, pois 7 \,\! x 8 \,\! = 56 \,\!.

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por \mathbb Q.

\mathbb Q = {x \,\! / x \,\! = \frac{a}{b}, com a \in \mathbb{Z} e b \in \mathbb{Z} \ne  0}

Decimais[editar | editar código-fonte]

Decimais exatos[editar | editar código-fonte]

\frac{1}{2} = 0,5 \,\!

\frac{1}{5} = 0,2 \,\!

Decimais periódicos[editar | editar código-fonte]

\frac{5}{3} = 1,66... \,\! (a)

\frac{7}{6} = 1,166... \,\! (b)

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica[editar | editar código-fonte]

Dízima simples[editar | editar código-fonte]

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

0,6666.. \,\! \Rightarrow \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

1,6666... \,\! = 1\,\! + 0,6\,\! \Rightarrow 1\,\! + \frac{6}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}

Dízima composta[editar | editar código-fonte]

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

1,166... \,\! => 1 \,\! + 0,166... \,\! = 1 \,\! + \frac{15}{9} = \frac{105}{90} = \frac{7}{6}

Conversão entre dízima e fração[editar | editar código-fonte]

Seja o número x = 2,333... (dízima). O período da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x = \,\!\begin{matrix}\frac{21}{9}\end{matrix}

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula:

100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior:

100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

100.000*x - 100*x = 3807821,821821821... - 3807,821821821..., assim, temos que

99900*x = 3804014 , portanto

x = \,\!\begin{matrix}\frac{3804014}{99900}\end{matrix}, que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número 38,07821821821...

Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, \,\!\begin{matrix}\frac{3807821 - 3807}{99900}\end{matrix}.

Tipos de frações[editar | editar código-fonte]

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: \frac{1}{2}
  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: \frac{7}{3}
  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: 2 \frac{1}{3}
  • aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: \frac{12}{4}
  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
  • irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: \frac{9}{22}
  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: \frac{1}{3}
  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: {\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}
  • decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: \frac{437}{100}
  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações: \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}
  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais  (a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...) da seguinte maneira a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}. Quando esta fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações[editar | editar código-fonte]

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

{3 \over 5} \times {2 \over 7} = \frac{{3} \times {2}}{{5} \times {7}} = {6 \over 35}

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

3 \times {1 \over 4} = {3 \over 1} \times {1 \over 4} = {3 \over 4}

É importante notar que, muitas vezes, a multiplicação dos numeradores e denominadores resulta em frações redutíveis. Esta fração deve ser reduzida a uma fração irredutível:

{1 \over 3} \times {9 \over 2} = {9 \over 6} = {\not{9}^3 \over \not{6}^2} = {3 \over 2}\,

Costuma ser mais prático simplificar antes de efetuar a multiplicação:

{1 \over 3} \times {9 \over 2} = {1 \over \not{3}^1} \times {\not{9}^3 \over 2} = {3 \over 2}\,

Divisão[editar | editar código-fonte]

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

\frac{3}{5} ÷ \frac{7}{2}

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

{\frac{3}{5}}\times{\frac{2}{7}} = {6 \over 35}

Que se resolve como mostrado acima.

Adição[editar | editar código-fonte]

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

{\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

{15 \over {3}} = {5}     5 \times {2} = {10}: {15 \over {5}} = {3}     3 \times {3} = {9}

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

{\frac{10+9}{15}}

O denominador comum é mantido:

{\frac{19}{15}}

Subtração[editar | editar código-fonte]

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação[editar | editar código-fonte]

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25

Radiciação[editar | editar código-fonte]

A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

Expoente fracionário[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8}^2 = \sqrt[3]{64} = {4}

Simplificação de frações[editar | editar código-fonte]

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

\frac{8}{4}

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

{{\frac{8:4}{4:4}}} = {{2} \over {1}}

Comparação entre frações[editar | editar código-fonte]

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

\frac{2}{5}   ?   \frac{3}{7}

O MMC entre 5 e 7 é 35.

{35 \over {5}} = {7}     7 \times {2} = {14}: {35 \over {7}} = {5}     5 \times {3} = {15}

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

{\frac{14}{35}} < {\frac{15}{35}} {\frac{2}{5}} < {\frac{3}{7}}

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

\frac{14}{35} = \frac{2}{5}   e   \frac{15}{35} = \frac{3}{7}

Conversão entre frações impróprias e mistas[editar | editar código-fonte]

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

\frac{7}{3}

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

2 \frac{1}{3}

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Números irracionais[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números racionais ( \mathbb{I} ) é um subconjunto dos números reais. Distingue-se dos números racionais, pois não pode ser representado por  \tfrac {a} {b} , sendo a e b números racionais. Todos os números reais são infinitos e não são periódicos. Portanto, é usual os números irracionais serem representados por símbolos. Veja, abaixo, algumas constantes que são números irracionais utilizadas na matemática:

  • π (Pi Radiano) = 3,141592...
  • e (Número de Euler) = 2,718281...
  • φ (Número de Ouro) = 1,618033...

Raízes irracionais[editar | editar código-fonte]

Também são considerados números irracionais as raízes de números primos:

  • 2 = 1,414213...
  • 3 = 1,732050...
  • 5 = 2,236067...
  • 32 = 1,259921...

Os múltiplos destas raízes também o são:

  • 6 = 2.3 = 2,449489...
  • 10 = 2.5 = 3,162277...
  • 30 = 2.3.5 = 5,477225...

Os múltiplos de raízes de números primos resultarão em números racionais ( \mathbb{Q} ), se, e somente se em

 \sqrt [n] {x^{a} y^{b} z^{c} ...}

o quociente entre todos os expoentes (a, b, c, ...) dos números primos (x, y, z, ...) e o índice n forem números inteiros. Exemplo:

 \sqrt {5,76} = \sqrt {2^4.3^2.5^{-2}}

O quociente entre os expoentes dos números primos e o índice é: 4÷2 = 2; 2÷2 = 1; -2÷2 = -1. Já que todos são inteiros, a raiz de 5,76 é racional, e equivale a 2,4.

Operações em  \mathbb{I} [editar | editar código-fonte]

  • Adição - Uma adição x + y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, resultará em um número irracional (exceto se x = -y). Exemplo:
π + 1 = 4,141592...
π + 2 = 4,555806...
2 + 3 = 3,146264...
  • Subtração - Em uma subtração x - y, em que ao menos uma das variáveis é irracional, o resultado será um número irracional (exceto se x = y). Exemplo:
π - 1 = 2,141592...
10 - π = 0,020685...
7 - 10 = -0,516526...
  • Multiplicação - Se em uma multiplicação um dos fatores for irracional, o produto será também irracional (exceto se um dos fatores for zero, ou se ocorrer a repetição de uma mesma raiz n vezes, em que n também é o índice). Exemplo:
2 x 3 = 6
32.32.32 = 2 (observe que o índice das raízes coincidiu com o número de vezes em que ela repetiu na multiplicação, originando, portanto, um número racional).
  • Divisão - Uma divisão que envolva um número irracional, resultará em outro número irracional (exceto se o mesmo número irracional multiplique n vezes tanto no denominador quanto no numerador, ou se o número zero estiver presente). Exemplo:
6 ÷ 3 = 2
2√2 ÷ 2 = 2 (veja que o mesmo número irracional repetiu a mesma quantidade de vezes no divisor e no dividendo).
  • Potenciação - Uma potenciação que envolva um número irracional sempre resultará num número irracional (exceto se o expoente for zero, ou o quociente entre o expoente do radicando e o índice for um número inteiro). Exemplo:
π2 = 9,869604...
(3)4 = 9 (pelo fato de a razão entre o expoente do radicando e o índice ser um número inteiro, 4 ÷ 2 = 2, a potenciação não originou um número irracional).

Números reais[editar | editar código-fonte]

Potenciação[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma x^{n}, onde n é o expoente e x é a base.

A potência 4^{3}, por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (7^1 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 (16^0 = 1).

Propriedades da potenciação[editar | editar código-fonte]

Primeira propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

x^a \cdot x^b = x^{a + b}

Segunda propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

\frac{x^a}{x^b} = x^{a - b}

Terceira propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(x^a)^b = x^{ab}

Quarta propriedade[editar | editar código-fonte]

Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente.

(xy)^a = x^a \cdot y^a
\left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{x^a}{y^a}

Equivalência entre bases[editar | editar código-fonte]

É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo:

2^{-3} \times 4^3

Podemos substituir 4 por 22:

2^{-3} \times (2^2)^3 = 2^{-3} \times 2^6 = 2^{-3 + 6} = 2^3

Expoentes negativos[editar | editar código-fonte]

Quando temos um número elevado a n em que n < 0, podemos dizer que:

 \left( \frac {x} {y} \right)^n = \frac {y^{-n}} {x^{-n}}

Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo:

 \left( \frac {2} {3} \right)^{-2} = \frac {3^{2}} {2^{2}} = \frac 9 4

Tópicos

  1. Definição de Potência
  2. Operações com potências
    1. Multiplicação
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
    2. Divisão
      1. Com a mesma base
      2. Com o mesmo expoente
      3. Com a mesma base e o mesmo expoente
  3. Equações envolvendo potências
  4. Inequações envolvendo potências
  5. Gráficos de funções exponenciais

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios

Radiciação[editar | editar código-fonte]

Propriedades da radiciação[editar | editar código-fonte]

Racionalização de denominadores[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Números reais/Exercícios

Intervalos reais[editar | editar código-fonte]

Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.

Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.

Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.

Costuma-se representar o limite inferior por:

  • ] -\infty\, - ilimitado
  • ] a \, - limitado e aberto
  • [ a \, - limitado e fechado

Sendo o limite superior representado por:

  • \infty [ \, - ilimitado
  • b [ \, - limitado e aberto
  • b ] \, - limitado e fechado

Por exemplo:

  • ] -\infty , 0 ]\, - é o conjunto dos números reais não-positivos
  • [1, 2[\, - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver: Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios

Veja também[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Sobre Radiciação[editar | editar código-fonte]

  1. Coloque em ordem crescente: \sqrt[3] {11} , \sqrt{5}, 2 \sqrt{2}\,
  2. Expresse sob a forma de raiz as expressões abaixo:
    1. \sqrt[3] {\frac {x} {y} \sqrt[4] { \frac {x^2} {y}}}\,
    2. \sqrt[4] {\frac {36} {125}} \sqrt[3] {\frac {5} {4}}\,
    3. \sqrt[6] { x^2 y } \sqrt[4] { x^3 y^2 }\,
  3. Os lados de um triângulo valem \sqrt{7}\, cm, \sqrt{18}\, cm e \sqrt{27}\, cm. Calcule seu perímetro.
  4. Simplifique os radicais
    1. \sqrt{\frac {x^5} {y^7}}\,
    2. \sqrt[3] {\frac {4^2} {9^4}}\,
    3. \sqrt[4] {\frac {x^6 . y^9} {z^7}}\,
  5. Racionalize as expressões abaixo:
    1. \frac{2}{\sqrt{5} + 1} =\,
    2. \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} =\,
    3. \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} =\,
    4. \frac{\sqrt[5]{8}}{\sqrt[5]{4}} =\,
    5. \frac{100}{\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{5}} =\,
    6. \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{3}} =\,
    7. \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}} =\,
  6. Transforme as expressões em um único radical:
    1. \sqrt{x \sqrt{y \sqrt{z}}} =\,
    2. \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x}}} =\,
    3. \sqrt[4]{x^3 \sqrt[3]{x^2 \sqrt{x}}} =\,
    4. \sqrt[10]{x^3} \sqrt[6]{x^5} = \,
    5. \frac{\sqrt[5]{8}}{\sqrt[3]{4}} = \,
    6. \frac{125}{\sqrt{5} \sqrt[3]{25}} = \,
  7. Coloque a expressão na forma mais simples, conforme o exemplo do exercício 1:
    1. \sqrt[3]{\frac{x^4 \ y^2}{2 \ z}}\, = \sqrt[3]{\frac{x^3 \ x \ y^2 \ 2^2 \ z^2}{2^3 \ z^3}} = \sqrt[3]{\frac{x^3}{2^3 \ z^3}} \sqrt[3]{x \ 2^2 \ y^2 \ z^2} = \frac{x}{2 \ z} \sqrt[3]{2^2 \ x \ y^2 \ z^2}\,
    2. \sqrt{\frac{24}{125}} = \,
    3. \sqrt[5]{\frac{64}{81}} = \,
    4. \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} = \,
    5. \sqrt[15]{x^{32} \ y^{83} \ z^{41}} = \,
  8. Escreva as expressões abaixo como uma soma de radicais:
    1. \sqrt{12 + \sqrt{140}} = \,
    2. \sqrt{13 - \sqrt{160}} = \,
    3. \sqrt{9 - \sqrt{72}} = \,
    4. \sqrt{7 + \sqrt{48}} = \,
  9. Seja x um número real positivo tal que x + 2 \sqrt{2}\, é o inverso de x - 2 \sqrt{2}\,. Determine x^2 + x^{\frac {1}{2}}\,.
  10. Seja a = \frac{3 + \sqrt{10}}{4 - \sqrt{5}}\, e b = \frac{4 + \sqrt{5}}{\sqrt{10} - 2}\,. Determine a:b.
  11. Simplifique as expressões abaixo:
    1. \frac {1}{\sqrt[3]{2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} - \frac{1}{\sqrt[3]{16}} = \,
    2. \frac {2 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{3}} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{3}} = \,
    3. (5 - \sqrt{10})^2 = \,
    4. (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})^2 = \,

Veja também[editar | editar código-fonte]

Números complexos[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números complexos \mathbb{C} é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária i. Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.

O número imaginário[editar | editar código-fonte]

A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de -1. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:

\sqrt {-4} = \sqrt {4} \sqrt {-1} = \pm 2i

Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x2 + 9 são dadas por

f(0) = \frac {\pm \sqrt {-4 \times 1 \times 9}} 2 = \frac {\pm \sqrt {-36}} 2 = \frac {\pm \sqrt {36} \sqrt {-1}} 2 = \frac {\pm 6i} 2 = \pm 3i
A oposição entre o afixo e o conjugado.

Soma por um número real[editar | editar código-fonte]

A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:

  • b igual a zero para um número real qualquer;
  • a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.

Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é

\overline{z} = 2 - (-i)

Que resulta em z = 2 + i.

Operações com os complexos[editar | editar código-fonte]

Soma e subtração[editar | editar código-fonte]

O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos:

A parte real a1 soma-se à parte real a2, enquanto a parte imaginária b1 soma-se à parte imaginária b2.

Por exemplo, considere os números complexos z1 e z2, para z1 = -2 + 4i e z2 = -3 - i, então z1 + z2 =


\begin{cases}
\operatorname{Re} = -2 {\color{Red}+} (-3) = -5 \\
\operatorname{Im} = 4i {\color{Red}+} (-i) = 3i
\end{cases}

Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.

A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z1 e z2:


\begin{cases}
\operatorname{Re} = -2 {\color{Red}-} (-3) = 1 \\
\operatorname{Im} = 4i {\color{Red}-} (-i) = 5i
\end{cases}

Que é igual a 1 + 5i.

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:

A parte real a1 é multiplicada pela parte real a2 e pela parte imaginária b2, somando-se, então, o produto entre a parte imaginária b1 e a parte real a2, bem como o produto entre b1 e b2.

Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:

z_1z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2

Exemplo: z1z2, para z1 = 2 + i e z2 = -1 + 2i:

z_1z_2 = -2 + 4i - i + 2i^2 = -2 + 3i + 2i^2 = -2 + (3 + 2i)i

Potenciação[editar | editar código-fonte]

Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:

i^0 = 1
i^1 = \sqrt {-1}
i^2 = (\sqrt {-1})^2 = -1
i^3 = i^2i^1 = -1 \sqrt {-1} = -i

Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:

i^x = i^{x - 4k - 1} = i^y

Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i20:

i^{20} = i^{20 - 4k -1} = i^{19 - 4k} = i^{19 - 16} = i^3 = -i

Divisão[editar | editar código-fonte]

A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:

\frac {z_1} {z_2} = \frac {2 + 3i} {-1 + 2i}

O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:

\frac {z_1} {z_2} = \frac {z_1} {z_2} \times \frac {\bar{z_2}} {\bar {z_2}} = \frac {2 + 3i} {-1 + 2i} \times \frac {-1 - 2i} {-1 - 2i} = \frac {-2 -4i - 3i - 6i^2} {(-1)^2 - (2i)^2} = \frac {4 - 7i} 5

Representação geométrica[editar | editar código-fonte]

Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.

Relações[editar | editar código-fonte]

Relações são, conforme visto no capítulo anterior, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.

Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por R : A \rightarrow B \,\!. O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.

Especificando relações[editar | editar código-fonte]

Relação de A em B, definida como a associação de elementos de A ao seu dobro em B.

A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.

As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:

R = \{(x,y) \in A \times B | C \}\,\!,

Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }
B = { 1,2,3,4,5,6 }
R = \{(x,y) \in A \times B | y=2x \}\,\!

A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.

C = { 1,2,4,8 }
D = { 0,1,2 }
R = \{(x,y) \in C \times D | x < y \}\,\!
R = { (1,2) }

Representação gráfica[editar | editar código-fonte]

Gráfico de uma relação y = 2x, para x e y reais. Alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis.

Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.

Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.

Gráfico de uma relação y ≤ x + 1, para x e y reais.

No caso da relação ser definida por inequações, o gráfico correspondente vai representar áreas, e não curvas. (Por razões práticas, no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte, logo abaixo ou acima de uma linha que define a inequação.)

Um gráfico pode estar "em branco" para relações definidas pelo conjunto vazio ({}).

No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o domínio da relação, e o eixo das ordenadas representa o contra-domínio da relação.

Função[editar | editar código-fonte]

Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).

Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).

As funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo.

Relações de equivalência[editar | editar código-fonte]

Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir. Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades: ∀a \in A aRa (propriedade reflexiva) ∀a,b \in A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica) ∀a,b,c \in A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva) Ela é dita Relação de Equivalência.

Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência. Seja ā = {x \in A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são:

Teorema: Se a \in ē ⇒ ā=ē Demonstração: Tome x \in ā. Por definição xRa. Como a \in ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x \in ē. Tome x \in ē. Por definição xRe. Como a \in ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x \in ā. Deste modo, ā=ē.

Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a \in ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅.

Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Se ā≠ē, então existe u \in ā tal que u∉ē ou u \in ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u \in ā tal que u∉ē. Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅. Logo ā∩ē=∅.

Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x \in P ⇒ x⊆X, além de x,y \in P ⇒ x∩y=∅ e x \in X ⇒ ∃a \in P tal que x \in a.

Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a \in A} é uma partição de A. Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição. Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior. E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P. Deste modo P é uma partição de A.

Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a \in ē é de equivalência. Demonstração: a \in ā por definição, de modo que aRa para todo a em A. Se aRe, então a \in ē, logo ā=ē. Daí, como e \in ē por definição, então e \in ā. Logo eRa Se aRe e eRu, então a \in ē e e \in ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a \in ū e, portanto, aRu. Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência.

Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição. Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria.

Funções[editar | editar código-fonte]

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:

f : A \rightarrow B : x \mapsto f(x), ou mais simplificadamente, f : A \rightarrow B

Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.

Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; podem haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:

f(x,y) = x + y

No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:

  • correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
  • a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:

Naofuncao1.png Naofuncao2.png
Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d). Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Já o diagrama a seguir representa uma função:

Funcao venn.png

Duas funções f(x) e g(x) são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

\forall x \in D, f(x) = g(x) \to g = f

Introdução[editar | editar código-fonte]

Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.

Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:

Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:

Gráfico salário X vendas
Vendas Comissão por venda Valor Fixo Salário
0 55 300 300
1 55 300 355
2 55 300 410
... ... ... ...

Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:

S=55\cdot V+300\,\!

E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:

  • O salário depende das vendas.
  • O salário é uma função das vendas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Ao aplicar uma função f\,\! em um dado conjunto D\,\!, cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto C\,\!.

Ao conjunto D\,\! denomina-se domínio da função, sendo seus elementos denominados abscissas, e ao conjunto C\,\! denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se correlacionarem a um elemento de D\,\!.


Ou seja:

Dados dois conjuntos D\,\! e C\,\! não vazios, dizemos que a relação f de D\,\! em C\,\! será função se, e somente se,

\forall x \in D \; \exists \; y \in C \; | \; \left( x,y \right) \in f.

(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)

Obs: Para cada x\,\!, deve haver apenas um y\,\!

Representações[editar | editar código-fonte]

Existem várias maneiras de se representar funções.

Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.

As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e contra-domínio.

f:A \rightarrow B \,\!

x \rightarrow y  = f(x) \,\!

\begin{matrix} & f& \\A&\rightarrow&B \end{matrix}\,\!

Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:

f(x) = ax + b ,\!

g(x) = ax^2 + bx + c \,\!

Condições de existência[editar | editar código-fonte]

As condições básicas de existência são:

  1. Todo e qualquer elemento do domínio deve possuir uma única imagem no contra-Domínio.
  2. Caso a equação algébrica da função contenha uma fração, seu denominador deve ser diferente a 0 (zero).
  3. Caso a equação algébrica da função possua uma raíz de índice par, para que seu resultado pertença aos Reais, o radicando deve ser maior ou igual a 0 (zero).
    1. Caso essa mesma raíz esteja no denominador de uma fração, o radicando deve ser estritamente maior que 0 (zero).
    2. Caso o índice dessa raíz seja um número ímpar, a única restrição é que o radicando seja diferente de 0 (zero).

Com isso, cada função deverá ter suas restrições particulares, mas sempre obedecendo as gerais acima. Algumas regras não são aplicáveis a funções com contradomínio Complexo.

Nomenclaturas[editar | editar código-fonte]

Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:

Domínio, contradomínio e imagem[editar | editar código-fonte]

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra-domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.

O domínio, já especificado, é D = \{ 1,2,3,4,5 \}
O contradomínio é CD = \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z \}
A imagem é Im = \{ a,e,i,o,u \}

Gráfico Cartesiano[editar | editar código-fonte]

Abscissa 
Todo e qualquer elemento do domínio.
Ordenada 
Todo e qualquer elemento do conjunto imagem.
Gráfico em Plano Cartesiano da função 
Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.

Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras[editar | editar código-fonte]

Funções Pares e Ímpares[editar | editar código-fonte]

  • Uma função f é denominada par quando f(x) = f(-x), para todo x \in \operatorname{Dom}(f) (domínio de f).
  • Uma função f é denominada ímpar quando f(x) = -f(-x), para todo x \in \operatorname{Dom}(f).

Propriedades das funções[editar | editar código-fonte]

Continuidade[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, [a,b], se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:

y = \sqrt{x}, definida para o contradomínio y \in \mathbb{R}, não é contínua no intervalo ]-\infty,+\infty[, uma vez que não está definida para x < 0.

Crescimento e decrescimento[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), f(x) < f(x + \epsilon).

Paridade[editar | editar código-fonte]

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo x\!\, um elemento pertencente a um conjunto simétrico A\!\,, uma função é dita:

  • par, se para todo x\!\,, f(x) = f(-x)\!\,; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
  • ímpar, se para todo x\!\,, f(x) = -f(-x)\!\,;
  • sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.
Função 5x2 + 120 Função x3
Exemplo de função par: -5x2 + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo:
f(2) = -5*(22) + 120 = -5*4 + 120 = 100,
f(-2) = -5*(-22) + 120 = -5*4 + 120 = 100
f(2) = f(-2)
Exemplo de função ímpar: x3. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo:
f(2) = 23 = 8
f(-2) = -23 = -8
f(2) = -f(-2)

Funções de primeiro e segundo grau[editar | editar código-fonte]

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita do primeiro grau quando pode ser expressa na forma:

y = ax + b,\, a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}
Função de primeiro grau, definida por y = 6x + 5.

A função do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.

O valor da constante a, na função y = ax + b e que tem domínio igual a R, é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Para o caso específico da constante b ser igual a zero, a função y = ax é chamada função linear.

Função do segundo grau:
y = x^2.

Já a função do segundo grau toma a forma:

y = ax^2 + bx + c
a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}

Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

Operações sobre funções[editar | editar código-fonte]

Soma, produto e quociente[editar | editar código-fonte]

Composição de funções[editar | editar código-fonte]

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, x e y = f (x). O objeto x é chamado o argumento da função f, e o objeto y, que depende de x, é chamado imagem de x pela f.

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência...

Alguns tipos de funções[editar | editar código-fonte]

Propriedades fundamentais, gráficos, máximos, mínimos, equações e inequações envolvendo estas funções.

  1. Função polinomial
    1. Função linear
    2. Função quadrática
  2. Função exponencial e Função logaritmica
  3. Função trigonométrica
  4. Função modular
  5. Função afim
Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Função

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras[editar | editar código-fonte]

Tomemos dois conjuntos X\!\, e Y\!\,. Digamos que o primeiro seja um conjunto de crianças e o segundo é de mulheres adultas. Seja f a função que leva cada criança x do conjunto X na sua mãe y = f(x) do conjunto Y.

  • Se houver ao menos uma criança no conjunto X\!\, que não seja filha de uma mulher do conjunto Y\!\,, então esta relação não consiste em uma função.
  • Se houver ao menos uma criança no conjunto X\!\, que seja filha de mais de uma mulher do conjunto Y\!\,, então esta relação também não consiste em uma função.
  • Se no conjunto X não houver nenhum par de irmãos, ou seja, as mulheres do conjunto Y tem apenas um filho ou nenhum filho, então temos que para a e b crianças diferentes do conjunto X, as suas mães f(a) e f(b) são diferentes. Neste caso, a função é injetora.
  • Se o conjunto Y for formado apenas de mães, ou seja, não há mulheres sem filho em Y, então qualquer que seja a mãe m do conjunto Y existe alguma criança c tal que f(c) = m (ou seja, m é a mãe de c). Neste caso, a função é sobrejetora.
  • Se não houver irmãos em X, e o conjunto Y for formado de mães, então existe uma correspondência perfeita entre crianças e suas mães, ou seja, toda criança tem só uma mãe e toda mulher tem só um filho. A função f é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.
  • Resumindo:
    • Função Injetora (ou função injetiva, ou uma injeção) é aquela na qual dois elementos diferentes no domínio correspondem sempre a elementos diferentes no contra-domínio.
    • Função sobrejetora (ou função sobrejetiva ou uma sobrejeção) é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
    • Função bijetora (ou função bijetiva ou uma bijeção) é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.

No restante do texto, serão estudadas funções numéricas, ou seja, funções entre conjuntos de números reais.

Domínio finito[editar | editar código-fonte]

Quando o domínio da função é finito, a forma mais prática de verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora é calcular diretamente f(x) para cada ponto do domínio, e verificar:

  • se existem x e y diferentes com f(x) = f(y), então a função não é injetora
  • se existe algum y no contra-domínio que ficou de fora, ou seja, para o qual não existe x com f(x) = y, então a função não é sobrejetora

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja A = { -2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, C = {0, 1, 4}, D = {0, 1, 2} e as funções:

  • e: B \to C\, dada por k(x) = 1
  • f: D \to B\, dada por g(x) = x2
  • g: A \to C\, dada por h(x) = x2
  • h: A \to B\, dada por f(x) = x + 2

Então:

  • e não é injetora, porque e(0) = e(1). e também não é sobrejetora, porque não existe x tal que e(x) = 0.
  • f não é sobrejetora, porque não existe x tal que f(x) = 2. Mas f é injetora: a única forma de f(x) ser igual a f(y) é quando x = y, como pode ser visto listando os pares ordenados de f: {(0, 0), (1, 1), (2, 4)}.
  • g não é injetora, porque g(-1) = g(1). Mas g é sobrejetora, porque para todo elemento y de C existe um elemento (pode haver mais de um) x de A com g(x) = y. Isto pode ser visto também listando os pares de g: {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. Outra forma de ver que ela é sobrejetora é observar que a imagem de g é o conjunto {0, 1, 4}, igual ao contra-domínio C.
  • h é injetora, porque se h(x) = h(y), então x + 2 = y + 2 logo x = y. h também é sobrejetora, porque para todo elemento y de B existe um x de A com h(x) = y. De fato, isto pode ser visto enumerando-se os pares de h, ou observando-se que a imagem de h é o conjunto B.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Alguns casos particulares para funções f: A \to B\,, em que A e B são conjuntos finitos de números

  • Se f é injetora, então A não tem mais elementos que B
  • Se f é sobrejetora, então A não tem menos elementos que B
  • Se f é bijetora, então A tem tantos elementos quanto B
  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0, então f é injetora.

Deve-se notar que estas regras não são suficientes para resolver todos os casos, por exemplo a função f: A \to B\, dada por f(x) = x2, em que A = {-1, 1} e B = {0, 1} não é nem injetora nem sobrejetora.

Domínio e contra-domínio real[editar | editar código-fonte]

Neste caso temos uma função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\,.

Alguns casos particulares:

  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é bijetora.
  • Se f é uma função do segundo grau, f(x) = a x2 + b x + c, com a ≠ 0, então f não é injetora nem sobrejetora.

Em outros casos, deve-se procurar desenhar o gráfico da função.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Gráfico da função y = (x - 1)(x - 2)(x - 3) Considere a função f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\, dada por f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).

Obviamente, pelo gráfico é fácil ver que esta função não é injetiva. Pela equação também é fácil, já que f(1) = f(2) = f(3) = 0.

Esta função é sobrejetiva. Este fato e sugerido pelo gráfico, apesar deste mostrar apenas parte do conjunto imagem.

Domínio e contra-domínio intervalos de números reais[editar | editar código-fonte]

Neste caso temos uma função f: \mathbb{A} \to \mathbb{B}\,, em que A e B podem ser toda a reta real, intervalos finitos ou intervalos infinitos.

A única regra especial é:

  • Se f é uma função do primeiro grau, f(x) = a x + b, com a ≠ 0 então f é injetora.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Artigos na wikipedia:

Função inversa[editar | editar código-fonte]

Dada uma função f: U \to V\,, uma pergunta natural é, dado um valor v do contradomínio, em que condições a equação f(x) = v tem uma solução única x = u  ?

Por exemplo, para funções do primeiro grau, de domínio e contra-domínios reais, f(x) = a x + b (em que a ≠ 0), a equação f(x) = v admite a única solução x = \frac{v - b}{a}\,.

Por outro lado, para funções reais do segundo grau f(x) = a x2 + b x + c (novamente, a ≠ 0), a equação f(x) = v pode possuir duas, uma ou nenhuma raiz (dependendo do valor de \Delta = b^2 \ -  \ 4 \ a \ (c - v)\, ser, respectivamente, positivo, zero ou negativo).

Como outro exemplo, a função f(x) = x2 + 1, quando o domínio é o conjunto dos números reais positivos e o contra-domínio é o conjunto dos números reais maiores que um é tal que f(x) = v sempre admite uma única solução. Isto porque, sendo v > 1, temos que x2 + 1 = v é equivalente a x2 = v - 1, ou seja, a solução é a (única) raiz quadrada positiva do número positivo v - 1 dada por x = \sqrt{v - 1}\,.

Conceito[editar | editar código-fonte]

Dada uma função f: U \to V\,, dizemos que g: V \to U\, é a função inversa de f quando:

  • Para todo valor y \in V\,, a equação f(x) = y tem uma solução
  • Esta solução é única, e dada por x = g(y).

Teoremas[editar | editar código-fonte]

  • Se a função f tem uma inversa, então f é uma função bijetora.
  • Se f é uma função bijetora, então f tem uma inversa, e a função inversa é bijetora
  • A função inversa de uma função é única
  • Se g é a função inversa de f, então f é a função inversa de g

Definições relacionadas[editar | editar código-fonte]

A função inversa g de uma função real de variável real f obtém-se de f por uma simetria em relação à recta y=x.

Uma função que tenha inversa diz-se invertível.

A função inversa de uma função f é representada por f-1 - note-se que esta notação deve ser usada com cuidado, pois, em alguns contextos, f^{-1} = \frac{1}{f}\,.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Artigo na wikipedia:

Exponenciais[editar | editar código-fonte]

Definição de Potência[editar | editar código-fonte]

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma x^{n}, onde n é o expoente e x é a base.

A potência 4^{3}, por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja 4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64. Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (7^1 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 (16^0 = 1).

A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0.

Operações com Potências[editar | editar código-fonte]

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de potências. É possível multiplicar e dividir qualquer par de potências que possuam a mesma base, o mesmo expoente, ou os dois iguais.

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Com a mesma base[editar | editar código-fonte]

a^{b} \times a^{c} = a^{b + c} Para multiplicar duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e somam-se os expoentes.

Com o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

b^{a} \times c^{a} = (b \times c)^{a} Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

a^{b} \times a^{b} = a^{b + b}
a^{b} \times a^{b} = (a \times a)^{b}

Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

Divisão[editar | editar código-fonte]

Com a mesma base[editar | editar código-fonte]

{a^{b} \over a^{c}} = a^{b - c} Para dividir duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes.

Com o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

{b^{a} \over c^{a}} = \left ({b \over c} \right)^{a} Para dividir duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e dividem-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente[editar | editar código-fonte]

{a^{b} \over a^{b}} = a^{b - b} (1)
{b^{a} \over b^{a}} = \left ({b \over b} \right)^{a}
Para dividir duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

(1) - Este caso nos dá mais um motivo para tomarmos qualquer potência com expoente 0 como sendo igual a 1. Como {a^{b} \over a^{b}} = 1 e {a^{b} \over a^{b}} = a^{b - b} = a^0 então a^0 = 1.

Observe que isto não é a prova que a^0 = 1 pois foi utilizada uma propriedade para subtrair os expoentes, propriedade esta que, para ser provada, necessita que seja considerado a^0 = 1 , logo, não pode ser provada utilizando a equação acima.

Equações envolvendo potências[editar | editar código-fonte]

Equações do tipo af(x) = bg(x)[editar | editar código-fonte]

Equações do tipo

a^{f(x)} = a^{g(x)}\,

onde a é uma constante são resolvidas simplesmente igualando-se f(x) a g(x).

No caso mais geral:

a^{f(x)} = b^{g(x)}\,

é preciso, primeiro, converter uma (ou ambas) bases para que as duas bases fiquem iguais.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Resolva:
4^{(x + 1)} = 8^x\,

O primeiro passo é transformar as bases. No caso, pode-se transformar 4 = 8^{(2/3)}\, ou 8 = 4^{(3/2)}\, (exercício), mas é bem mais simples transformar 4 = 2^2\, e 8 = 2^3\,:

(2^2)^{(x + 1)} = (2^3)^x\,

Aplicando a propriedade (a^b)^c = a^{(bc)}\,:

2^{(2 x + 2)} = 2^{3 x}\,

Agora temos uma equação da forma a^{f(x)} = a^{g(x)}\,:

2 x + 2 = 3 x\,
-x + 2 = 0\,
x = 2\,

Verificando:

4^3 = 8^2\, (ok)

Equações do tipo f(ax) = 0[editar | editar código-fonte]

As equações do tipo

f({a^x}) = 0\,

são resolvidas de forma análoga à biquadrada. Lembrando: uma biquadrada a x^4 + b x^2 + c = 0\, é resolvida pela substituição y = x^2\,. Resolve-se a equação em y, e, com o(s) valor(es) de y, resolve-se a equação em x.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Resolva a equação
9^x + 2^3 \ 3^{(x - 1)} - 1 = 0\,

De novo, como temos bases diferentes, é conveniente reescrever tudo para a mesma base. Como 9 = 3^2\,, temos:

{(3^2)}^x + 8 \ 3^{(x - 1)} - 1 = 0\,

Usando agora a propriedade {(a^b)}^c = {(a^c)}^b\,:

{(3^x)}^2 + 8 \ 3^{(x - 1)} - 1 = 0\,


Ainda temos um problema! É preciso transformar 3^{(x - 1)}\, em uma expressão onde 3^x\, esteja isolado. Para isto, vamos usar a propriedade a^{(b - c)} = a^b / a^c\,:

3^{(x - 1)} = 3^x / 3^1 = 3^x / 3\,

Então a expressão fica:

{(3^x)}^2 + \frac{8}{3} 3^x - 1 = 0\,

Resolvendo:

y = 3^x\,
y^2 + \frac{8}{3} y - 1 = 0\,
3 y^2 + 8 y - 3 = 0\,

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

y = \frac{-8 +/- \sqrt{8^2 - 4 (3) (-3)}}{2 (3)}\,
y = \frac{-8 +/- \sqrt{64 + 36}}{6}\,
y =\frac{-8 +/- \sqrt{100}}{6}\,

Ou seja, as duas raízes são:

y = -3\,
y = \frac{1}{3}\,

A primeira solução, y = -3, gera uma equação sem solução em x, porque 3^x\, é sempre um valor positivo e não pode ser igual a -3.

A segunda solução fornece:

3^x = \frac{1}{3}\,

Ou seja:

x = -1

Verificando, temos que:

9^{-1} + 8 \ 3^{-2} - 1 = \frac{1}{9} + \frac{8}{9} - 1 = 0\, (ok)

Inequações envolvendo potências[editar | editar código-fonte]

Gráficos de funções exponenciais[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

81²+81²+81²=

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Exponenciação
Wikisource
O Wikisource tem material relacionado a este artigo: Potências e raízes dos números
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Exercícios[editar | editar código-fonte]

A seguir são sugeridos alguns exercícios sobre exponenciais.

Crystal Clear app xmag.pngVer módulo principal: Matemática elementar/Exponenciais
  1. Simplifique as expressões abaixo, conforme o exercício 1:
    1. 5^5 \times 5^2 = 5^{(5 + 2)} = 5^7.\,
    2. 2^3 \times 2^4 = \,
    3. 3^5 \times 3^8 \times 3^2 = \,
    4. 2^{10} \times 6^5 = \,
    5. {10}^2 \times {20}^3 = \,
    6. x^3 \times y^2 \times x^2 \times z^4 = \,
  2. Simplifique as expressões abaixo:
    1. \frac{2^3 \times 3^2}{2^4 \times 3} = \,
    2. \frac{x^4 \times y^2}{x^3 \times y^5} = \,
    3. \frac{2 \times x^3 \times y}{6 \times x \times y^5} = \,
    4. \frac{6^5}{5^6} \times \frac{81}{25} = \,
  3. Simplifique as expressões abaixo:
    1. {(-2)}^4 \times {(-3)}^3 \times {(-6)}^2 = \,
    2. \frac{{(-3)}^2 \times 2^{(-2)}} {3^3 \times {(-2)}^{-3)}} = \,
    3. {(2^3)}^4 \times {({(-4)}^{-2})}^{-3} = \,
    4. \frac{(x^3)^2}{(x^2)^5} = \,
  4. Sendo a = 43, b = (-8)5, c = (-2)6 e d = (1/2)-3, determine o valor de:
    1. \frac {a^2 \times b^{-1}} {(-c)^{-2} \times (-d)^{-3}} = \,
  5. Escreva Verdadeiro (V) ou Falso (F), corrigindo a resposta no segundo caso:
    1. a^2 \times a^3 = a^{2 \times 3}\, ( )
    2. b^3 \times b^4 = b^{3 + 4}\, ( )
    3. x^4 \times y^4 = (x \times y)^4 \, ( )
    4. \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b}\, ( )
    5. Se n é um número par, (-x)^n = x^n\, ( )
    6. Se n é um número ímpar, (-x)^n = -x^n\, ( )
    7. (-x)^n \times x^{-n} = 1\, ( )
    8. {(x^a)}^b = x^{(a^b)}\, ( )
    9. {(a^x)}^y = a^{x \times y}\, ( )
    10. Se a é diferente de zero, a^1 = a\, ( )
    11. a^0 = 1\, ( )
    12. 0^1 = 0\, ( )
    13. 0^{65536} = 0\, ( )
    14. 0^{-5} = 0\, ( )
    15. 2^{10} = {10}^2\, ( )
    16. 1^{47} = 1\, ( )
    17. 1^{-65} = 1\, ( )
    18. 1^0 = 0\, ( )
    19. 0^0 = \pi, ( )
  6. Simplifique as expressões:
    1. \frac { {(-2)}^3 . {(-4)}^2 . 8^{-1} } { 16^{-1} . {(-4)}^{-3} . {(-2)}^4 }\,
    2. \frac { 6^4 . {(-3)}^{-2} . {(-2)}^3 } { 36^3 . 4^{-2} . 81 }\,
    3. Sendo x > 0 e y > 0, \frac { x^{-2} . y^2 . {(-x)}^4 } { - y^2 . x^{-2} . {(-x)}^2 }\,

Logaritmos[editar | editar código-fonte]

Considere o seguinte exemplo:

Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na primeira geração, havia um. Na segunda, dois. Na terceira, quatro, e assim sucessivamente.

Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:

2^x = 128

No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log2:

 \log_{2} 128 = 7

Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima.

A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.

Definição de logaritmo[editar | editar código-fonte]

Um logaritmo pode ser descrito como:

\log_{a}b = c \iff a^c = b \iff \sqrt [c] {b} = a

Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é importante para a equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.

Vejamos um exemplo numérico abaixo:

2^3 = 8
\sqrt [3] 8 = 2
\log_{2}8 = 3

Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.

Função logaritmica[editar | editar código-fonte]

Vejamos os resultados obtidos em f (x) = log2 x:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
0,0625
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
Exp e2.png

Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, que quanto menor for x, mais próximo de zero será y, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Diz-se, então, que zero é o limite da função f (x) = log2 x.

Ao ser representada por

f (x) = a\log x + b

define-se que b é o limite da função, e a o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas. Definiremos, agora, o contradomínio de y = (-2)x:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
-0,125
0,25
-0,5
1
-2
4
-8

Veja que os valores de y possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo loga b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!

Operações com logaritmos[editar | editar código-fonte]

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos.

Soma e subtração[editar | editar código-fonte]

\log_{c}a + \log_{c}b = \log_{c}(a \cdot b)

\log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c}(a / b)

Multiplicação por constante[editar | editar código-fonte]

k \cdot \log_{c}a = \log_{c}a^k

Mudança de base[editar | editar código-fonte]

\log_{b}a = \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}, para qualquer que seja a base c (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima).

Demonstrações[editar | editar código-fonte]

Sejam:

x = \log_c a\,
y = \log_c b\,

Então:

c^x = a\,
c^y = b\,

Aplicando propriedades da exponenciação:

c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,
c^x / c^y = c^{(x - y)}\,
{(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,
(c^y)^{(x/y)} = c^x\,
  • Log do produto

Da expressão

c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,

concluímos que:

\log_c (c^x \cdot c^y) = x + y\,

portanto:

\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b\,
  • Log da fração

Analogamente, de:

c^x / c^y = c^{(x - y)}\,

concluímos que:

\log_c (c^x / c^y) = x - y\,

portanto:

\log_c (a / b) = \log_c a - \log_c b\,
  • Log da potência

A partir de:

{(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,

chegamos a:

\log_c {(c^x)}^k = k \cdot x\,

ou seja:

\log_c a^k = k \cdot \log_c a\,
  • Mudança de base

Da última expressão:

(c^y)^{(x/y)} = c^x\,

chega-se a:

b^{(x/y)} = a\,
a = b^{(x/y)}\,

ou seja:

\log_b a = x / y\,

e, finalmente:

\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}\,

E temos demonstrações para as quatro propriedades básicas dos logaritmos.

Equações envolvendo logaritmos[editar | editar código-fonte]

Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom é a equação:

625^x= 0,008

Que pode ser entendida como:

log_{625}0,008 = x

Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.

Logaritmos e raízes[editar | editar código-fonte]

Quando temos uma equação do tipo \log_{b}a = x, devemos buscar um número x ao qual devemos elevar b de modo a obter o resultado a. Exemplo:

\log_{2}16 = x

Como 2^4 = 16, da definição de logaritmo resulta que x = 4.


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Trigonometria[editar | editar código-fonte]

Trigonometria[editar | editar código-fonte]

Tabela de Trigonometria, 1728 Cyclopaedia

Trigonometria (do grego trigonon = três ângulos e metro = medida) é uma parte da Matemática que estuda as relações entre triângulos, ângulos e funções circulares como o seno e cosseno.

  1. Trigonometria do triângulo retângulo
  2. 100 percents.svg Arcos e ângulos - medida de um arco (radianos), relação entre arcos e ângulos.
  3. 00%.svg Razões trigonométricas na circunferência
  4. 25%.svg Funções trigonométricas
  5. 100 percents.svg Fórmulas de Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos
  6. 00%.svg Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos
  7. 25%.svg Identidades trigonométricas básicas
  8. 25%.svg Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas
  9. 100 percents.svg Lei dos senos e dos cossenos
  10. 00%.svg Resolução de triângulos

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Trigonometria

Exercícios de trigonometria

Arcos e ângulos[editar | editar código-fonte]

Circunferência[editar | editar código-fonte]

Seja  O \,\! um ponto qualquer do plano e  r>0 \,\! um número real. A circunferência de centro  O \,\! e raio  r \,\! é o lugar geométrico dos pontos  P \,\! desse plano tais que  PO = r \,\!.

Circ1.png

Veja no Wikicionário círculo.

Arco de circunferência[editar | editar código-fonte]

Consideremos uma circunferência \lambda\,\! de centro  O \,\!. Sejam  A \,\! e  B \,\! dois pontos distintos de \lambda\,\!.

Circ6.png

Um arco de circunferência de extremos  A \,\! e  B \,\! (\widehat{A B}) é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.

Quando  A \equiv B teremos dois arcos: o arco nulo (um ponto) e o arco de uma volta (uma circunferência).

Circ7.png

Arco de circunferência e ângulo central correspondente[editar | editar código-fonte]

med(A \widehat{O} B) = \alpha

A medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. Medir significa comparar com uma unidade padrão previamente adotada. Contudo, para evitar possíveis divergências na escolha da unidade para medir um mesmo arco, as unidades de medida restringem-se a três principais: o grau (\ ^\circ \,\!), o radiano ( rad \,\!) e o grado, sendo este último não muito comum.

O grau[editar | editar código-fonte]

Hypotenusa.png

Um grau é um arco de circunferência cujo comprimento equivale a \frac{1}{360} da circunferência que contém o arco a ser medido. Portanto, a medida, em graus, de um arco de uma volta completa (uma circunferência) é  360^\circ .

Submúltiplos do grau
  • O minuto  ( ^\prime ) :  1^\prime = \frac{1}{60}\cdot 1^\circ , ou seja,  1^\circ = 60^\prime .
  • O segundo  ( ^{\prime\prime} ) :  1^{\prime\prime} = \frac{1}{60}\cdot 1^\prime , ou seja,  1^\prime = 60^{\prime\prime} e  1^\circ = 3600^{\prime\prime} .

O radiano[editar | editar código-fonte]

Um radiano é um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. É a unidade do Sistema Internacional (SI).

Conseqüentemente, para medir um ângulo  a \widehat{O} b em radianos, convém calcular a razão entre o comprimento  l \,\! do arco pelo raio  r \,\!, ou seja, calcular quantos radianos mede o arco \widehat{AB}. Portanto, como consequência da definição de radiano, podemos estabelecer a seguinte relação:

\alpha = \frac{l}{r} , onde  l \,\! e  r \,\! devem estar na mesma unidade de comprimento.

O comprimento de uma circunferência de raio  r \,\! é  2 \pi r \,\!. Logo, a medida do arco de uma volta completa, em radianos, é \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi rad \approx 6,283184 . Para converter unidades, podemos usar as correspondências  180^\circ = \pi rad ou  360^\circ = 2 \pi rad e uma regra de três simples.

O grado[editar | editar código-fonte]

Ver artigo na wikipedia Grado O grado foi introduzido junto com o Sistema métrico, durante a Revolução francesa mas, ao contrário do sucesso das outras medidas, não pegou. Atualmente, ele é apenas utilizado nos trabalhos topográficos e geodésicos feitos na França.

É a medida de um arco cujo comprimento equivale a \frac{1}{400} da circunferência que contém o arco a ser medido. É evidente que, para conversão de unidades, pode-se utilizar as relações  180^\circ = \pi rad = 200 gr ou  360^\circ = 2\pi rad = 400 gr e uma regra de três simples.

O ciclo trigonométrico[editar | editar código-fonte]

Consideremos no plano um sistema de eixos perpendiculares  x O y \,\!, em que  O = 	\left (0,0 \right )\,\!. Seja uma circunferência \lambda\,\! de centro  O \left (0,0 \right )\,\!, raio  r = 1 \,\! e o ponto  A \left (1,0 \right )\,\!.

Figura3.png

A cada número real \alpha\,\! associaremos um único ponto  P \,\! de \lambda\,\!.

  • Se \alpha = 0 \,\!, então tomamos  P = A \,\!;
  • Se \alpha > 0 \,\!, realizamos, a partir de  A \,\!, um percurso de comprimento \alpha\,\!, no sentido anti-horário e marcamos o ponto  P \,\! como final desse percurso.
Yhvyvczsa5.png
  • Se \alpha < 0 \,\!, realizamos, a partir de  A \,\!, um percurso de comprimento  - \alpha\,\!, no sentido horário, e marcamos o ponto  P \,\! como final desse percurso.
Yhvyvczsa6.png

Assim, a circunferência sobre a qual foi fixado o ponto  A \left (1,0 \right )\,\! como orientação é chamada ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica.

Yhvyvczsa7.png

O ponto  P \,\! é chamado imagem de \alpha\,\! no ciclo trigonométrico.

O sistema de eixos perpendiculares  x O y \,\! divide o ciclo trigonométrico em quatro partes, cada uma das quais é chamada quadrante.

Yhvyvczsa4.png

Ângulos côngruos[editar | editar código-fonte]

Os ângulos \alpha \,\! e \beta \,\!, em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, \alpha - \beta = k\cdot360^\circ \,\!, para algum k \in \mathbb{Z}\,\!, ou seja, se \alpha \,\! e \beta \,\! têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico. Para indicar que \alpha \,\! e \beta \,\! são côngruos escrevemos \alpha \equiv \beta \,\!.

Por exemplo, os ângulos 90^\circ \,\! e 450^\circ \,\! são congruentes, pois 450^\circ - 90^\circ = 360^\circ \,\!.

Expressão geral dos arcos que têm imagem em um ponto do ciclo trigonométrico..[editar | editar código-fonte]

Consideremos um sistema de eixos perpendiculares  x O y \,\! e uma circunferência \lambda \,\! de centro  O \,\! e raio  r = 1 \,\!. Sendo um ponto qualquer pertencente à \lambda \,\! a imagem de um ângulo \alpha\,\! na circunferência, podemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.

Yhvyvczsa8.png

Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto  A \,\! dar-se-á por  0^\circ + n\cdot360^\circ = n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou  0^\circ + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!, sendo  n \,\! o número de voltas completas. Quando  n > 0 \,\!, deve-se andar no sentido anti-horário; se  n < 0 \,\!, deve-se andar no sentido horário.

Analogamente, temos:

  • Para  B \,\!:  90^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{\pi}{2} + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  C \,\!:  180^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \pi + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  D \,\!:  270^\circ + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{3\pi}{2} + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  A \,\! ou  C \,\!:  0^\circ + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou  0^\circ + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  B \,\! ou  D \,\!:  90^\circ + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou \frac{\pi}{2}  + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
  • Para  A \,\! ou  B \,\! ou  C \,\! ou  D \,\!:  0^\circ + n\cdot90^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\! ou  0^\circ + n\cdot\frac{\pi}{2},\ n \in \mathbb{Z} \,\!.
Arco5.png

Considerando a figura acima, a expressão geral dos arcos que têm imagem em  A \,\! ou  B \,\! é:

  •  \alpha \,\! em graus:  \alpha + n\cdot180^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  •  \alpha \,\! em radianos:  \alpha + n\cdot\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!

Expressão geral dos arcos que têm imagem em  A \,\!:

  •  \alpha \,\! em graus:  \alpha + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  •  \alpha \,\! em radianos:  \alpha + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!

No caso da figura seguinte, a expressão geral dos arcos fica:

Arco6.png
  •  \alpha \,\! em graus:  \pm \alpha + n\cdot360^\circ ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!
  •  \alpha \,\! em radianos:  \pm \alpha + n\cdot2\pi ,\ n \in \mathbb{Z} \,\!

Primeira determinação positiva[editar | editar código-fonte]

A primeira determinação positiva de um ângulo é o menor ângulo côngruo que seja positivo.

Por exemplo, os ângulos (em graus) -15o, 315o, 2115o, -2505o são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo 315o.

Analogamente, os ângulos (em radianos) -\frac{18 \pi}{5}\,, \frac{12 \pi}{5}\, e \frac{72 \pi}{5}\, são congruentes, sendo sua primeira determinação positiva o ângulo \frac{2 \pi}{5}\,.

Para se resolver o problema de determinar a primeira determinação positiva é preciso:

  1. dividir o ângulo pelo valor do círculo trigonométrico (360o ou 2 \pi\,, conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)
  2. se este número não for inteiro, arredondar o valor para o valor inteiro imediatamente inferior
  3. tomar o número inteiro com sinal contrário (ou seja, se o passo anterior obteve n, obter agora -n)
  4. somar ao ângulo inicial este valor inteiro do passo acima multiplicado pelo círculo trigonométrico (360o ou 2 \pi\,, conforme o problema seja apresentado em graus ou radianos)

Exemplos:

  1. Se o ângulo inicial é -580o
    1. Dividir -580 por 360 -> -1,(alguma coisa) (note que não é preciso fazer a divisão até o fim, já que estamos apenas interessados na parte inteira da divisão)
    2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> -2
    3. Trocar o sinal -> 2
    4. Somar -580o com 2 x 360o -> 140o
  2. Se o ângulo inicial é 8 \pi\,
    1. Dividir 8 \pi\, por 2 \pi\, -> 4
    2. Sendo inteiro, manter -> 4
    3. Trocar o sinal -> -4
    4. Somar 8 \pi\, com (-4) (2 \pi)\, -> 0
  3. Se o ângulo inicial é \frac{97}{11} \pi\,
    1. Dividir \frac{97}{11}\pi\, por 2 \pi\, -> \frac{97}{22}\, ou, aproximadamente, 4,(alguma coisa)
    2. Não sendo inteiro, tomar a parte inteira -> 4
    3. Trocar o sinal -> -4
    4. Somar \frac{97}{11} \pi\, com (-4) (2 \pi)\, -> \frac{9}{11} \pi\,

Imagens de alguns arcos importantes[editar | editar código-fonte]

  • Primeira volta no sentido anti-horário:

Arco1.png Arco2.png

Ângulos correspondentes[editar | editar código-fonte]

  • Em graus:

Center

  • Em radianos:

Center

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Razões trigonométricas na circunferência[editar | editar código-fonte]


Translation arrow.svg Este módulo encontra-se em processo de tradução. A sua ajuda é bem vinda.

Definição geométrica de seno e cosseno[editar | editar código-fonte]

No círculo unitário mostrado abaixo, um raio unitário foi traçado da origem ao ponto (x,y) sobre o círculo.

Definição de seno e cosseno

A linha perpendicular ao eixo-x que passa pelo ponto (x,y) intercepta o eixo-x no ponto com abscissa x. Analogamente, a linha perpendicular ao eixo-y intercepta este eixo no ponto de ordenada y. O ângulo entre o eixo-x e o raio é α.

A funções trigonométricas de qualquer ângulo α são definidas por:


\begin{matrix}
\mathrm{Seno:} & \mathrm{sen}\,(\alpha) & = & y \\
\mathrm{Cosseno:} & \cos(\alpha) & = & x \\
\end{matrix}

\tan\theta pode ser definido a partir do seno e cosseno.

\tan\theta = \frac{\mathrm{sen}\,\theta}{\cos\theta} \qquad \cos\theta \ne 0

\tan\alpha = \frac{y}{x} \qquad x \ne 0

Estas três funções trigonométricas pode ser usadas para ângulos medidos em graus, radianos ou qualquer outra medida angular, desde que fique claro qual é a unidade usada.

Funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo retângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou, de forma ainda mais geral, como séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais.

Existem seis funções trigonométricas básicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão.

  • seno (\operatorname{sen}, em português; a maioria das linguagens de programação escrevem \sin\,)
  • coseno (\cos \,\!)
  • tangente (\tan \,\!)

As últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equações em baixo são definições e não identidades demonstradas.

  • tangente \left(\tan x= {\mathrm{sen}\, x \over \cos x}\right)
  • secante \left(\sec x = {1 \over \cos x}\right)
  • cosecante \left(\csc x= {1 \over \mathrm{sen}\, x}\right)
  • cotangente \left(\cot x = {\cos x \over \mathrm{sen}\, x}\right)

O seno, o cosseno e a tangente são as mais importantes.

As inversas destas funções são geralmente designadas de arco-função, isto é, arcsin, arccos, etc., ou adicionando o expoente -1 ao nome, como em sen-1, cos-1, etc. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo, arcsen(1) = 90°.

Trigonometria do triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

Direct trg.svg

As funções trigonométricas são oriundas das razões dos lados dos triângulos. Com base no triângulo retângulo ao lado, o segmento  \overline{OB} é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°), o segmento  \overline{OA} é o cateto adjacente (ao lado) do ângulo α e  \overline{AB} é o cateto oposto ao ângulo α:

 \sen \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}}
 \csc \alpha = \frac { \mbox{hipotenusa}} { \mbox{cateto oposto}}
 \cos \alpha = \frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{hipotenusa}}
 \sec \alpha = \frac { \mbox{hipotenusa}} { \mbox{cateto adjacente}}
 \tan \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{cateto adjacente}}
 \cot \alpha = \frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{cateto oposto}}

Tais funções são constantes para um mesmo ângulo α, pois dois triângulos formados pelos mesmos ângulos mantêm suas proporções.

As funções trigonométricas são utilizadas em geometria, portanto, para determinar um lado ou um ângulo de um triângulo.

Exemplo - A hipotenusa de um triângulo retângulo de ângulos 30° e 60° é igual a 5 centímetros. Qual à medida do cateto oposto ao ângulo de 30°?
 \sen \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}} \to \sen 30 = \frac { \mbox{cateto oposto}} {5} \to 0,5 = \frac { \mbox{cateto oposto}} {5} \to \mbox{cateto oposto} = 2,5

Seno, cosseno e tangente dos ângulos[editar | editar código-fonte]

Na tabela abaixo, temos o seno, cosseno e tangente dos principais ângulos em decimais:

10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 55° 60° 65° 70° 75° 80° 85° 90°
Seno 0 0,08 0,17 0,25 0,34 0,42 0,5 0,57 0,64 0,7 0,76 0,81 0,86 0,9 0,93 0,96 0,98 0,99 1
Cosseno 1 0,99 0,98 0,96 0,93 0,9 0,86 0,81 0,76 0,7 0,64 0,57 0,5 0,42 0,34 0,25 0,17 0,08 0
Tangente 0 0,08 0,17 0,26 0,36 0,46 0,57 0,7 0,83 1 1,19 1,42 1,73 2,14 2,74 3,73 5,67 11,43 -

Veja que os valores crescentes de sen x são os mesmos para cos x, entretanto são decrescentes. Além disso, a maioria dos senos, cossenos e tangentes dos ângulos são números irracionais. São, portanto, com infinitas casas decimais não periódicas. Todavia, pode-se obter o valor exato das funções trigonométricas em uma forma algébrica. Você pode conferir a forma algébrica de alguns ângulos clicando aqui (em inglês)

Ângulos notáveis[editar | editar código-fonte]

603090 triangle.png

Os ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60° e 90°) são ângulos que se pode facilmente obter a forma algébrica por meio de triângulos retângulos. Consideremos um triângulo retângulo que corresponde à metade de um triângulo equilátero de lado 1 uc. Tem, portanto, sua hipotenusa c igual a 1, seu lado a igual a 0,5 uc e seu lado b igual a altura do triângulo equilátero, 0,5 3 uc. Assim:

 \sin 30 = \cos 60 = \frac a c = \frac {0,5} 1 = \frac 1 2

Que é o seno de 30° e o cosseno de 60°. O seno de 60° e o cosseno de 30° são obtidos de forma similar:

 \sin 60 = \cos 30 = \frac b c = \frac { 0,5 \sqrt 3} 1 = \frac {\sqrt 3} 2

E assim é possível obter as demais funções trigonométricas para 30° e 60°. Para 45°, considera-se um triângulo retângulo igual à metade de um quadrado de lado 1 uc. Tem, então, hipotenusa de medida 2 uc - a diagonal do quadrado - e os catetos de medida 1 uc - os lados do quadrado:

 \sin 45 = \cos 45 = \frac 1 { \sqrt 2} = \frac {\sqrt 2} 2

De forma mais simples, os valores do seno dos cinco ângulos notáveis é o quociente entre x e 2, em que x é a raiz de cada um dos cinco termos a1, a2, a3, a4 e a5 de uma progressão aritmética em que a1 = 0 e a razão é igual a +1. O cosseno destes ângulos é a ordem decrescente da progressão:

30° 45° 60° 90°
PA  \frac { \sqrt 0} 2  \frac { \sqrt 1} 2  \frac { \sqrt 2} 2  \frac { \sqrt 3} 2  \frac { \sqrt 4} 2
Seno =
0
\frac 1 2
\frac { \sqrt 2} 2 \frac { \sqrt 3} 2
1
Cosseno =
1
\frac { \sqrt 3} 2 \frac { \sqrt 2} 2
\frac 1 2
0

A tangente é obtida pela dividindo-se o seno do respectivo ângulo pelo seu cosseno, pois:

 \frac {\sin} {\cos} = \frac {\frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}}} {\frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{hipotenusa}}} = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{cateto adjacente}} = \tan

Que resulta:

 \tan 0 = 0
 \tan 30 = \frac {\sqrt 3} 3
 \tan 45 = 1
 \tan 60 = \sqrt 3
 \tan 90 = -

A tangente de 90° não é definida, pois é impossível que o ângulo entre a hipotenusa e os catetos seja 90°.

Círculo trigonométrico[editar | editar código-fonte]

Considerando um círculo de 1 uc de raio, este tem sua circunferência igual a 2π uc. Portanto, um setor de um grau deste círculo corresponde a:

 \frac {2 \pi} {360} \mathrm {uc} = \frac {\pi} {180} \mathrm {uc}

Podemos transformar a unidade de medida uc (unidades de comprimento) em rad (radianos). Assim, podemos dizer que:

1^{\circ} = \frac {\pi} {180} \mathrm {rad}

Colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm-se os valores (x; y) em que x é o cosseno do ângulo e y o seno:

Unit circle angles.svg

Observa-se em tais valores que à medida em que os ângulos avançam de quadrante os valores de seno e cosseno tem seu sinal alternado. É perfeitamente notável que tais funções seguem, então, uma periodicidade infinita, e seus valores repetiram a cada volta do círculo. Deste mesmo círculo, pode-se obter as demais funções trigonométricas, que não são mais que relações do triângulo retângulo entre a origem, a coordenada e ponto (x; 0):

Circunferência trigonométrica.svg

Gráficos[editar | editar código-fonte]

Podemos colocar as funções trigonométricas em um plano cartesiano, em que o eixo das abcissas equivale ao ângulo em radianos e o eixo das ordenadas ao contradomínio da função.

Seno[editar | editar código-fonte]

Colocando-se os resultados obtidos para a função seno num plano, obteremos:

Sine.svg

Observe que a função seno é uma função ímpar, pois sen (-x) = -sen x, qualquer que seja x pertencente aos números reais. Note que esta função é composta por infinitos intervalos 2π. Dizemos, então, que o período da função sen (x) é 2π. Quanto ao contradomínio, ele pertence ao intervalo [-1; 1]. A distância entre o centro e o limite da função é a amplitude. Neste caso, a amplitude da função é igual a 1. O gráfico da função seno forma uma senoide. Pode-se determinar o seno de qualquer ângulo através das seguintes equações:

x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv y - 90 (4z + w)
x \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x \le \frac {\pi} 2 \right \} \equiv y - \frac {\pi} 2 (4z + w)

Para as quais:


\sin y
\begin{cases}
w = 0 \to \sin x \\
w = 1 \to \cos x \\
w = 2 \to - \sin x \\
w = 3 \to - \cos x
\end{cases}

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - Qual o seno de 500°?
x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv 500 - 90 (4z + w)

Os únicos números z e w que satisfaçam 500 - 90 (4z + w) = x onde x pertence ao intervalo ]0; 90] é z = 1 e w = 1. Veja:

500 - 90 (4 + 1) \equiv x \to x \equiv 50
Já que w = 1, então o seno de 500° é igual ao cosseno de 50°, que temos na primeira tabela desta página. Portanto, o seno de 500° é 0,64.

Cosseno[editar | editar código-fonte]

O gráfico da função cosseno é o seguinte:

Cosine.svg

Esta é uma função par, pois cos (-x) = cos x, qualquer que seja x pertencente ao conjunto dos números reais. Igual à função seno, a função cosseno tem período igual a 2π e amplitude igual a 1. O gráfico da função cosseno forma uma cossenoide. De forma similar à função seno, podemos transformar qualquer ângulo real para 0° < x ≤ 90° e assim obter seu cosseno:

x \lbrace x \in \mathbb{R} | 0 < x \le 90 \rbrace \equiv y - 90 (4z + w)
x \left \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x \le \frac {\pi} 2 \right \} \equiv y - \frac {\pi} 2 (4z + w)

Para as quais:


\cos y
\begin{cases}
w = 0 \to \cos x \\
w = 1 \to - \sin x \\
w = 2 \to - \cos x \\
w = 3 \to \sin x
\end{cases}

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - Qual o maior ângulo negativo no qual seu cosseno é igual ao seno de 30°?

Para que o ângulo y tenha seu cosseno igual ao seno de 30°, w deve ser igual a 3:

30 \equiv y - 90 (4z + 3)

Já que a equivalência é verdadeira, há infinitos números z que a satisfazem. No entanto, a questão especifica que este deve ser o maior negativo, portanto, z = -1:

30 \equiv y + 90 \to y = -60

Tangente[editar | editar código-fonte]

Já para o gráfico da função tangente, temos:

Tangent-plot.svg

A função tangente é uma função ímpar pois é o quociente de uma função ímpar e uma função par. É, pois, tan (-x) = - tan x {x ∈ R}. O período desta função é igual a π, e sua amplitude estende-se ao infinito. O gráfico da função tangente forma uma tangentoide. Para determinar a tangente de um ângulo qualquer, temos, para 0° ≤ x < 90°:


\tan y
\begin{cases}
180z \le y < 180z + 90 \to \tan (y - 180z) = \tan y = \tan x \\
180z + 90 \le y < 180 (z + 1) \to |y - 180 (z + 1)| = x \to \tan y = -\tan x 
\end{cases}

Onde y é um ângulo qualquer e z um número inteiro.

Exemplo - A tangente do ângulo 20° é igual à tangente de -200°?

O primeiro passo é determinar a qual conjunto pertence -200°. Veja que este encaixa-se perfeitamente em 180z + 90 ≤ y < 180 (z + 1) quando z = -2:

-270 \le y < -180

Então,

x = |-200 - 180 (-2 + 1)| = 20

E assim:

 - \tan 20 = \tan -200
Logo, a tangente de -200° não é igual à tangente de 20°, mas sim à tangente de 20° negativa.

Características[editar | editar código-fonte]

Nesta imagem, a é a amplitude e b o período.

Dados a + b sen (cx - ) ou a + b cos (cx - ), que são as equações da senoide e da cossenoide, respectivamente, determina-se:

  • a + b e a - b - os limites (0; a+b) e (0; a-b) da função trigonométrica, equivalente ao conjunto imagem Im = [a+b; a-b];
  • 2π ÷ c - o período da função;
  • d - o deslocamento horizontal da função trigonométrica.

A partir destes valores tem-se a amplitude (A), dada pela média aritmética da distância entre as ordenadas dos limites:

A = \frac {|a + b| + |a - b|} {2}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Cosseno ao quadrado mais seno ao quadrado[editar | editar código-fonte]

Definição de seno e cosseno

Diretamente da figura que define seno e cosseno (ao lado), temos, pelo triângulo retângulo no primeiro quadrante, que:

  • (\cos x)^2 + (\mathrm{sen}\, x)^2 = 1^2\,

É convencional escrever o quadrado de uma função trigonométrica colocando-se o sinal imediatamente ao lado do nome da função. Assim, esta relação é escrita:

  • \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\,.

A geometria do triângulo retângulo prova esta relação no caso de 0 < x < \pi/2\,, ou seja, para ângulos no primeiro quadrante. Nos casos x = \pi/2, \pi \mbox{ ou } 3 \pi / 2\,, temos que um deles (seno ou cosseno) vale 1, e o outro vale 0, logo a soma dos seus quadrados é 1.

Nos demais casos, temos:

Se x está no segundo quadrante, então y = \pi/2 - x\, está no primeiro quadrante, e:
\cos x = - \cos(\pi/2 - x)\,: : \mathrm{sen}\, x = \mathrm{sen}\,(\pi/2 - x)\,: portanto:
\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (\pi/2 - x) + \mathrm{sen}\,^2 (\pi/2 - x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,

Analogamente:

Se x está no terceiro quadrante, então y = x - \pi\, está no primeiro quadrante, e:
\cos x = - \cos(x - \pi)\,: : \mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(x - \pi)\,: portanto:
\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (x - \pi) + \mathrm{sen}\,^2 (x - \pi) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,

Finalmente:

Se x está no quarto quadrante, então y = -x\, está no primeiro quadrante, e:
\cos x =  \cos(-x)\,: : \mathrm{sen}\, x = - \mathrm{sen}\,(-x)\,: portanto:
\cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = \cos^2 (-x) + \mathrm{sen}\,^2 (-x) = \cos^2 y + \mathrm{sen}\,^2 y = 1\,

Ou seja, a relação

cos^2 x + sen^2 x = 1\,

é válida para qualquer ângulo real x.

Propriedades do quadrado da secante e da cossecante[editar | editar código-fonte]

Lembrando que:

\mbox{sec} x = \frac{1}{\cos x}\,: \mbox{cosec} x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x}\,: \mbox{tan} x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}\,: \mbox{cotan} x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x}\,

temos que:

Dividindo \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\, por \cos^2 x\,:
\mbox{tan}^2 + 1 = \mbox{sec}^2 x\,:
Dividindo \cos^2 x + \mathrm{sen}\,^2 x = 1\, por \mathrm{sen}\,^2 x\,:
\mbox{cotan}^2 + 1 = \mbox{cosec}^2 x\,

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos[editar | editar código-fonte]

Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Adição de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno da soma[editar | editar código-fonte]

Circulocosseno.png

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos  A \;\!,  B \;\! e  C \;\! pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são  A \left ( \cos a , \mathrm{sen}\, a \right ) \;\!,  B \left ( \cos \left ( a + b \right ) , \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) \right ) \;\! e  C \left ( \cos b , -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!. Os arcos  \widehat{P B} e  \widehat{C A } têm medidas iguais, logo as cordas  \overline{P B} e  \overline{C A} também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

 d_{PB}^2 = 2 - 2\cdot\cos \left ( a + b \right ) \;\!

 d_{CA}^2 = 2 - 2\cdot\cos a\cdot\cos b + 2\cdot\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b  \;\!

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

      \cos \left ( a + b \right ) = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

Seno da soma[editar | editar código-fonte]

Sabemos que  \mathrm{sen}\, x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} - x \right ) . A partir disto e sendo  x = a + b \;\!, obtemos:

  •  \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \cos \left [ \frac{\pi}{2} - \left ( a + b \right ) \right ] = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) - b \right ]

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

  •  \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\mathrm{sen}\, b

Substituindo  \cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \mathrm{sen}\, a e  \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \cos a nesta expressão, então:

        \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!

Tangente da soma[editar | editar código-fonte]

Sabendo que  \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para  \tan \left ( a + b \right ) \;\!:

  •  \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )}{\cos \left ( a + b \right )} = \frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}

 = \frac{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b}}{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\cos a\cdot\cos b}}

Então:

     \tan \left ( a + b \right ) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\cdot\tan b} 

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se  a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi e  a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} , porque a relação  \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} só é válida se e somente se  x \ne \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}.

Cotangente da soma[editar | editar código-fonte]

Como  \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} , podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para  \cot \left ( a + b \right ) \;\!:

  •  \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\ cos \left ( a + b \right )}{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )} = \frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}

 = \frac{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}

Simplificando, temos:

        \cot \left ( a + b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b - 1}{\cot a + \cot b}

Como  \cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} é válida se e somente se  x \ne 0, \pi, 2\pi \;\!, a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se  a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\! e  a + b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Calcule:
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 75^\circ \;\!:  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 105^\circ \;\!:  \left ( 3 \right ) \;\!  \tan 105^\circ \;\!:  \left ( 4 \right ) \;\!  \cot 75^\circ \;\!


    • Resolução
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 75^\circ = \cos \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 45^\circ

 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} :  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 105^\circ = \mathrm{sen}\, \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 60^\circ + \mathrm{sen}\, 60^\circ \cdot \cos 45^\circ  = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} :  \left ( 3 \right ) \;\!  \tan 105^\circ = \tan \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 60^\circ}  = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}:  \left ( 4 \right ) \;\!  \cot 75^\circ = \cot \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \frac{\cot 30^\circ \cdot \cot 45^\circ - 1}{\cot 30^\circ + \cot 45^\circ}  = \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

Subtração de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno da diferença[editar | editar código-fonte]

Para calcular  \cos \left ( a - b \right ) \;\!, fazemos uso da igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

  •  \cos \left ( a - b \right ) = \cos \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] \;\!

 = \cos a\cdot\cos \left ( -b \right ) - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, \left ( -b \right ) \;\!  = \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\left ( -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!

Então:

     \cos \left ( a - b \right ) = \cos a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!

Seno da diferença[editar | editar código-fonte]

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

  •  \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos \left ( -b \right ) + \mathrm{sen}\, \left ( -b \right )\cdot\cos a \;\!

Logo,

     \mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a \;\!

Tangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Usando novamente a igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

  •  \tan \left ( a - b \right ) = \tan \left [ a + \left ( - b \right ) \right ] = \frac{\tan a + \tan \left ( -b \right )}{1 - \tan a\cdot\tan \left ( -b \right )}

Simplificando, temos:

    \tan \left ( a - b \right ) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\cdot\tan b} 

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se  a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi e  a - b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} .

Cotangente da diferença[editar | editar código-fonte]

Mais uma vez, usaremos a igualdade  a - b = a + \left ( -b \right ) \;\! e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

  •  \cot \left ( a - b \right ) = \cot \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \frac{\cot a\cdot\cot \left ( -b \right ) - 1}{\cot a + \cot \left ( -b \right )}

Logo, obtemos a identidade:

     \cot \left ( a - b \right ) = \frac{\cot a\cdot\cot b + 1}{\cot b - \cot a} 

Está fórmula só pode ser aplicada se  a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\! e  a - b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Calcule:
 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 15^\circ \;\!:  \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 15^\circ \;\!:  \left ( 3 \right ) \;\!  \cot 15^\circ \;\!


    • Resolução


 \left ( 1 \right ) \;\!  \cos 15^\circ = \cos 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 30^\circ  = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}


 \left ( 2 \right ) \;\!  \mathrm{sen}\, 15^\circ = \mathrm{sen}\, 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \cos 45^\circ  = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}


 \left ( 3 \right ) \;\!  \cot 15^\circ = \cot 15^\circ \left ( 60^\circ - 45^\circ \right ) = \frac{\cot 60^\circ \cdot \cot 45^\circ + 1}{\cot 45^\circ - \cot 60^\circ}  = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}


  • Dados  \tan \alpha = 1 \;\! e  \tan \beta = \frac{1}{2} \;\!, calcule  \tan \left ( \alpha - \beta \right ) \;\!.
    • Resolução

 \tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}  = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Multiplicação de arcos[editar | editar código-fonte]

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de  2a, 3a,... \;\!, utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo  2a = a + a, 3a = 2a + a, ... \;\!, conforme será mostrado adiante.

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

  •  \cos 2a = \cos \left ( a + a \right ) = \cos a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, a \cdot \mathrm{sen}\, a = \cos^2 a - \mathrm{sen}\,^2 a \;\!

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

     \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!
     ou                  
     \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!
  •  \cos 3a = \cos \left ( 2a + a \right ) = \cos 2a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!

 = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a \right ) \cdot \mathrm{sen}\, a  \;\!  = \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - 2\mathrm{sen}\,^2 a \cdot \cos a \;\!

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

     \cos 3a = 4 \cos^3 a - 3 \cos a \;\!

Expressões para  \cos 4a, \cos 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

Seno[editar | editar código-fonte]

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

  •  \mathrm{sen}\, 2a = \mathrm{sen}\, \left ( a + a \right ) = \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \;\!

Então, temos:

   \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a  \;\!
  •  \mathrm{sen}\, 3a = \mathrm{sen}\, \left ( 2a + a \right ) = \mathrm{sen}\, 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!

 = \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \right ) \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \left ( 1 - 2 \cdot \ sen^2 a \right ) \;\!

Utilizando a Identidade relacional básica:

  •   = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - \mathrm{sen}\,^2 a \right ) + \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 a \right ) \;\!

Logo:

   \mathrm{sen}\, 3a = 3 \cdot \mathrm{sen}\, a - 4 \mathrm{sen}\,^3 a \;\!

Expressões para  \mathrm{sen}\, 4a, \mathrm{sen}\, 5a,...\;\! são obtidas por processos semelhantes.

Tangente[editar | editar código-fonte]

A partir da fórmula da tangente da soma:

  •  \tan 2a = \tan \left ( a + a \right ) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \;\!

Logo:

    \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a} 
  •  \tan 3a = \tan \left ( 2a + a \right ) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 - \tan 2a \cdot \tan a} \;\!

Ao subtituimos a fórmula anterior para  \tan 2a \;\! e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

   \tan 3a = \frac{3 \cdot \tan a - \tan^3 a}{1 - 3 \cdot \tan^2 a} \;\! 

Expressões para  \tan 4a, \tan 5a,... \;\! são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Se  \cot x = \frac{5}{3} \;\! e  0 < x < \frac{\pi}{2}  \;\!, calcule  \cos 2x \;\!.
    • Resolução

Precisamos encontrar  \mathrm{sen}\, x \;\! para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade  \csc^2 x = 1 + \cot^2 x \;\!, que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que  \csc x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x} \;\!. Como  0 < x < \frac{\pi}{2}  \;\!, o valor da cossecante é positivo.

 \csc x = \sqrt{1 +  \cot^2 x} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}

De onde vem  \mathrm{sen}\, x = \frac{3}{\sqrt{34}} .

Podemos finalmente calcular:

 \cos 2x = 1 - 2 \cdot \ sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{34} = 1 - \frac{18}{34} = \frac{8}{17} .

Bissecção de arcos[editar | editar código-fonte]

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para  \cos 2a \;\! a fim de que, dado o cosseno de uma arco  x \;\! qualquer, possamos obter  \cos \frac{x}{2}, \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} \;\! ou  \tan \frac{x}{2} \;\! . Para isto, consideraremos  2a = x \;\! .

A partir de  \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!:

  •  \cos x = 2 \cdot \cos^2 \frac{x}{2} - 1
    \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

A partir de  \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!, temos:

  •  \cos x = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 \frac{x}{2}\;\!
    \Rightarrow \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

Finalmente, sabendo que  \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} , temos:

  •  \tan \frac{x}{2} = \frac{\mathrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}
   \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

Seno[editar | editar código-fonte]

Caso nos seja dado o  \mathrm{sen}\, x \;\!, sabendo que  \cos x = \pm \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} , calculamos  \cos x \;\! e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente[editar | editar código-fonte]

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular  \mathrm{sen}\, x \;\!,  \cos x \;\! e  \tan x \;\!, conhecida a  \tan \frac{x}{2}. Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

 \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\mathrm{sen}\, a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2 \cdot \tan a}{1 + \tan^2 a} \;\!

 \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}

e consideraremos  2a = x \;\! , de modo que:

       \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}
       \tan x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}
       \cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Se  \mathrm{sen}\, x = \frac{4}{5} , com  0 < x <\frac{\pi}{2} , calcule as funções circulares de  \frac{x}{2} .


    • Resolução

 \cos x = \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Logo, temos:

 \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} :  \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} :  \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}


  • Se  \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4} , determine  \mathrm{sen}\, x \;\!.


    • Resolução


Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

 \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{8}{17}

Exercícios[editar | editar código-fonte]



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Transformações de soma de funções trigonométricas em produtos[editar | editar código-fonte]

As fórmulas de transformação de soma e diferença em produto, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese[1], são:

\mathrm{sen}\,(x) + \mathrm{sen}\,(y)= 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)
\mathrm{sen}\,(x) - \mathrm{sen}\,(y)= 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)
\mathrm{cos}\,(x) + \mathrm{cos}\,(y)= 2\cdot\mathrm{cos}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)
\mathrm{cos}\,(x) - \mathrm{cos}\,(y)= -2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{sen}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)


Dedução - soma e diferença dos senos[editar | editar código-fonte]

Partindo das fórmulas do seno da soma de arcos:

\mathrm{sen}\,(a+b) = \mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)+ \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)
\mathrm{sen}\,(a-b) = \mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)- \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)

Somando-as membro a membro:

\mathrm{sen}\,(a+b) + \mathrm{sen}\,(a-b) = 2\cdot\mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b) (I)

Fazendo:

x = a+b: y = a-b

Temos:

a = \frac{x+y}{2}
b = \frac{x-y}{2}

Substituindo a e b, em (I):

\mathrm{sen}\,(x) + \mathrm{sen}\,(y)= 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)


Procedendo da mesma forma, novamente a partir de:

\mathrm{sen}\,(a+b) = \mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)+ \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)
\mathrm{sen}\,(a-b) = \mathrm{sen}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)- \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a)


Subtraindo-as membro a membro:

\mathrm{sen}\,(a+b) - \mathrm{sen}\,(a-b) = 2\cdot\mathrm{sen}\,(b)\mathrm{cos}\,(a) (II)

Substituindo a e b, em (II):

\mathrm{sen}\,(x) - \mathrm{sen}\,(y)= 2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)

Dedução - soma e diferença dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Agora para a função cosseno

\mathrm{cos}\,(a+b) = \mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b) - \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{sen}\,(a)
\mathrm{cos}\,(a-b) = \mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b) + \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{sen}\,(a)

Somando-as membro a membro:

\mathrm{cos}\,(a+b) + \mathrm{cos}\,(a-b) = 2\cdot\mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b) (III)

Substituindo a e b, em (III):

\mathrm{cos}\,(x) + \mathrm{cos}\,(y)= 2\cdot\mathrm{cos}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{cos}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)


E por fim:

\mathrm{cos}\,(a+b) = \mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)- \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{sen}\,(a)
\mathrm{cos}\,(a-b) = \mathrm{cos}\,(a)\mathrm{cos}\,(b)+ \mathrm{sen}\,(b)\mathrm{sen}\,(a)

Subtraindo-as membro a membro:

\mathrm{cos}\,(a+b) - \mathrm{cos}\,(a-b) = -2\cdot\mathrm{sen}\,(a)\mathrm{sen}\,(b) (IV)

Substituindo a e b, em (IV):

\mathrm{cos}\,(x) - \mathrm{cos}\,(y)= -2\cdot\mathrm{sen}\,\left(\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{sen}\,\left(\frac{x-y}{2}\right)

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Referências

Identidades trigonométricas básicas[editar | editar código-fonte]

Conceito[editar | editar código-fonte]

Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas tem que ser simplificadas. Geralmente é possível aproveitar as características cíclicas das funções para modificar o seu comportamento, transformando uma ou mais funções trigonométricas em outras operadas de forma que apresentem o mesmo resultado da função original.

Identidade relacional básica[editar | editar código-fonte]

Uma vez que no ciclo trigonométrico com ângulo \theta \,\! podemos encontrar as coordenadas (x,y) \,\! fazendo x = \cos(\theta) \,\! e y = \operatorname{sen}(\theta) \,\!, podemos verificar que estas coordenadas e a distância entre a origem (0,0) \,\! e o ponto (x,y) \,\! formam um triângulo retângulo. Sendo esta distância unitária, temos:

x^2 + y^2 = 1 \,\!

Portanto:

\cos^2(\theta) + \operatorname{sen}^2(\theta) = 1 \,\!

Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Conceito[editar | editar código-fonte]

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.

Assim, enquanto equações do tipo:

3 x + 4 = 0\,
x^2 - 4 x - 7 = 0\,

possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:

\tan x = 1\,

admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período \pi\,, para cada solução x = a, temos que x = a + \pi\, e x = a - \pi\, também serão soluções, assim como qualquer valor x = a + k \pi\,, sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n[editar | editar código-fonte]

sen(x) = n[editar | editar código-fonte]

n\,\! \mathrm{sen} \ x=n\,\!
\left|n\right|<1 \begin{matrix}x=\alpha + 2 k \pi \\
x=\pi - \alpha + 2 k \pi \\
\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\end{matrix}
n=-1\,\! x=-\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\end{matrix}+2k\pi
n=0\,\! x=k\pi\,\!
n=1\,\! x=\begin{matrix}\frac{\pi}{2}\end{matrix}+2k\pi
\left|n\right|>1 x\in\varnothing

A equação \mathrm{sen}\, x=n só tem soluções quando n está no intervalo [-1; 1]. Se n está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo \alpha tal que:

\alpha=\mathrm{sen}\,^{-1} n\,\!

Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

x=\alpha + 2 k \pi\,\!
x=\pi - \alpha + 2 k \pi\,\!

Em que k é qualquer inteiro.

Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolva:

\mathrm{sen}\, \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Primeiro, deve-se determinar um valor para \alpha:

\alpha=\mathrm{sen}\,^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\pi}{3}

Substituindo nas fórmulas, temos:

\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3} + 2 k \pi
ou
\frac{x}{2}=\pi - \frac{\pi}{3} + 2 k \pi

Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:

x=\frac{2\pi}{3}\left(1+6k\right)
ou
x=\frac{4\pi}{3}\left(1+3k\right)

Em que k é um número inteiro.

Outro exemplo[editar | editar código-fonte]

Resolva:

\mathrm{sen}\, (x + \pi) =\frac{1}{2}\,

Substituindo y = x + \pi\,:

\mathrm{sen}\, y = \frac{1}{2}\,

Sabemos que \frac{\pi}{6}\, é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

y =\frac{\pi}{6} + 2 k \pi
ou
y =\pi - \frac{\pi}{6} + 2 k \pi

Substituindo o valor de x = y - \pi\,

x =\frac{\pi}{6} - \pi + 2 k \pi
ou
x =\pi - \frac{\pi}{6} - \pi + 2 k \pi

Ou seja:

x =-\frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi
ou
x =- \frac{\pi}{6} + 2 k \pi

Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma x = \alpha + 2 k \pi\,, em que 0 \le \alpha < 2 \pi,

Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.

No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:

x =-\frac{5 \pi}{6} + 2 (k + 1) \pi
ou
x =- \frac{\pi}{6} + 2 (k + 1) \pi

Finalmente:

x =\frac{7 \pi}{6} + 2 k \pi
ou
x =\frac{11 \pi}{6} + 2 k \pi

Equações com restrição no domínio[editar | editar código-fonte]

Determinação do domínio[editar | editar código-fonte]

Equações com mais de uma função trigonométrica[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Lei dos senos e dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Lei dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A}:  b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B}:  c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos:  ABC, BCD, BAD.

Demons cossenos.png

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:  b = n + m e  m = c \cdot \cos \widehat{A}.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

  • Para  BCD:  a^2 = n^2 + h^2
  • Para  BAD:  c^2 = m^2 + h^2

Substituindo  n = b - m e  h^2 = c^2 - m^2 em  a^2 = n^2 + h^2:

 a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2

\Rightarrow a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2

\Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m

Entretanto, pode-se substituir a relação  m = c \cdot cos \widehat{A}, do triângulo  BAD, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A}

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

 b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B}

 c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C}

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Considere um triângulo de lados p, q e r, sendo que o comprimento de p é 2 metros e o comprimento de q é \sqrt{3} metros. Os lados p e q definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de r.
    • Resolução
Dada a Lei dos Cossenos,  r^2 = p^2 + q^2 - 2p \cdot q \cdot \cos \widehat{A} tem-se que p=2, q=\sqrt{3} e \widehat{A}=30^\circ portanto:
 r^2 = 2^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 - 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ :  r^2 = 4 + 3 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot {\sqrt{3}\over 2} :  r^2 = 7 - 2\cdot 3 :  r^2 = 7 - 6 :  r^2 = 1 :  r = 1 : O comprimento de r é 1 metro.
  • Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo eqüilátero também é eqüiângulo
    • Resolução
Dado um triângulo eqüilátero de lados l_1, l_2 e l_3, por definição tem-se que l_1 = l_2 = l_3 . Sejam x, y e z os ângulos deste triângulo. Aplicando a Lei dos Cossenos:
 l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos x:  l^2 = 2l^2 - 2l^2 \cdot \cos x:  l^2 - 2l^2 = \left(2l^2 - 2l^2 \cdot \cos x\right)-2l^2:  -l^2 = -2l^2 \cdot \cos x:  {-l^2\over -2l^2} = {-2l^2 \cdot \cos x\over -2l^2}:  {1\over 2} = \cos x:  x = 60^\circ  : O mesmo vale para y e z:
 l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos y:  l^2 = l^2 + l^2 - 2l \cdot l \cdot \cos z

Lei dos senos[editar | editar código-fonte]

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

 \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Law of sines.png

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo  ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D e, ligando  D a C formamos um novo triângulo  BCD retângulo em  C .

Da figura, podemos perceber também que  \widehat{A} = \widehat{D} porque determinam na circunferência uma mesma corda  \overline{BC} . Desta forma, podemos relacionar:

 \mathrm{sen}\, \widehat{D} = \frac{a}{2r}  \Rightarrow a = 2r \cdot \mathrm{sen}\, \widehat{A}  \Rightarrow \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = 2r

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos  \widehat{B} e  \widehat{C} teremos as relações:

 \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = 2r e  \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r , em que  b é a medida do lado  AC oposto a  \widehat{B}  c é a medida do lado  AB oposto a  \widehat{C} e  2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

  •  \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r

Lei das tangentes[editar | editar código-fonte]

Triangle55.png

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo  ABC cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]}, \frac{a+c}{a-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{C})]}, \frac{b+c}{b-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}-\widehat{C})]}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

 \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}  \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

 \frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}+\mathrm{sen}\, \widehat{B}}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}-\mathrm{sen}\, \widehat{B}}

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

 \frac{a+b}{a-b} = \frac{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}}{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}}

 \Rightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]}

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Resolução de triângulos[editar | editar código-fonte]

Uma das aplicações mais comuns da trigonometria é a resolução de triângulos.

A resolução de triângulos é a operação matemática que, a partir de três elementos de um triângulo, determina todos outros elementos. Estes elementos podem ser lados, ângulos, perímetro, área, etc.

Os casos mais comuns são representados por uma tríade de letras, usando-se L (para lado) e A para ângulo. Assim, LLL significa resolver um triângulo no qual são dados três lados, LAA significa resolver um triângulo no qual é dado um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto. Nem todos casos são solúveis: AAA pode ter nenhuma (se a soma dos ângulos não for de 180o) ou infinitas soluções; LLA pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.

LLL[editar | editar código-fonte]

Usa-se a lei dos cossenos para se determinar dois ângulos; o terceiro ângulo sai naturalmente da soma dos ângulos ser 180o.

LAL[editar | editar código-fonte]

Usa-se a lei dos cossenos para se determinar o lado oposto ao ângulo. Um outro ângulo pode ser determinado pela lei dos senos ou dos cossenos.

ALA[editar | editar código-fonte]

Determina-se o terceiro ângulo pelos dois ângulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

LAA[editar | editar código-fonte]

Determina-se o terceiro ângulo pelos dois ângulos. Os outros lados saem pela lei dos senos.

LLA[editar | editar código-fonte]

Dois métodos podem ser usados, mas ambos podem não ter solução:

  • Resolve-se o terceiro lado pela lei dos cossenos - neste caso, a equação é uma equação do segundo grau, que pode ter nenhuma, uma ou duas raízes.
  • Resolve-se o outro ângulo (que não é o ângulo formado pelos lados) pela lei dos senos - neste caso, a equação também pode ter nenhuma, uma ou duas soluções.

Progressões[editar | editar código-fonte]

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Sequências ou progressões são funções do tipo  f:A \rightarrow B , onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo:

(2,4,6,8,10) é uma sequência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função y = 2x\ (x \in A, y \in B). Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (an) com o posterior (an+1) da seguinte maneira: a_{n+1} = a_{n} + r, sendo r uma razão fixa, a razão de progressão.

Os dois tipos de sequências matemáticas mais comuns são a progressão aritmética, que contém números tais que o anterior somado a uma razão fixa resulta no posterior, e progressões geométricas, que contém números tais que o anterior multiplicado pela razão fixa resulta no posterior.

Exemplos:

(1,5,9,13,...) é uma progressão aritmética infinita (o que se indica pela reticiências ...) de razão igual a 4;
(1,3,9,27,81) é uma progressão geométrica finita de razão igual a 3.
  1. Progressão aritmética
  2. Progressão geométrica

Sequências numéricas[editar | editar código-fonte]

  1. Matemática elementar/Sequências numéricas
  2. Matemática elementar/Progressões aritméticas
  3. Matemática elementar/Progressões geométricas
  4. noção de limite de uma sequência

Exercícios resolvidos[editar | editar código-fonte]

1) Ache tres números em P.A crescente,sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.


O problema pode ser resolvido assim: Chame de x o primeiro dos 3 números na PA e de r a razão da mesma. Então os termos são os seguintes: x, x+r, x+2r Como a soma deve ser igual a 15, os números x e r precisam satisfazer a equação: x + x+r + x+2r = 15 ou seja, 3x + 3r = 15 que se reescreve como x + r = 5

Logo, r = 5-x.

Por outro lado, se o produto de tais números é 105, deve ocorrer: x*(x+r)*(x+2r)=105 ou seja, x*(x+5-x)*(x+2(5-x))=105 que pode ser reescrito como 50x-5x^2=105

As raízes dessa equação do segundo grau são 3 e 7 e se obtem rapidamente pela fórmula de Bhaskara.

temos que considerar cada um dos casos: x=3 nessa situação, como r=5-x=5-3=2, os termos da PA são 3, 5 e 7

x=7 deduz-se que r=5-7=-2, donde os termos são 7, 5 e 3

Apenas o primeiro caso representa uma PA crescente, logo a resposta é 3, 5 e 7


2) O perímetro de um triangulo retangulo mede 24 cm.Calcule as medidas dos lados sabendo que eles estão em P.A.


Sabendo que os lados estão em PA, podemos chamá-los de x, x+r e x+2r, e supor que esta é uma PA crescente, como no problema anterior. Mas se o perímetro é 24, ou seja a soma dos lados tem esse valor, então: 3x+3r=24

ou seja x+r=8

donde r=8-x

Mas em todo triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras, e a hipotenusa é sempre o maior lado, então: (x+2r)^2=(x+r)^2+(x)^2

ou seja, (16-x)^2=8^2+x^2

ou ainda, 256 - 32x + x^2= 64 + x^2

que é equivalente a 32x=256-64=192

Portanto, x=6 e consequentemente r=8-6=2. Assim a resposta deve ser 6, 8 e 10.

Expressões algébricas[editar | editar código-fonte]

Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.

A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.

O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.

A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

Produtos notáveis[editar | editar código-fonte]

Quadrado da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \,\!.

Exemplos:

  • (8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,\!
  • \left( \frac{4x}{5y}-z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}-\frac{8xz}{5y}+z^2

Quadrado da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

(x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \,\!  

Exemplos:

  • (1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,\!
  • \left( \frac{3x}{4y}-n \right )^2=\frac{9x^2}{16y^2}-\frac{6xn}{4y}+n^2

Cubo da soma de dois termos[editar | editar código-fonte]

(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \,\!

Exemplos:

  • (m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3 \,\!
  • (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8 \,\!

Cubo da diferença de dois termos[editar | editar código-fonte]

(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 \,\! 

Exemplos:

  • (b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3 \,\!
  • \left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Fatoração algébrica[editar | editar código-fonte]

Fatoração pelo fator comum em evidência[editar | editar código-fonte]

Considere o polinômio 14ab+7bc, seu fator comum em evidência é 7b, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência 14ab:7b=2a e 7bc:7b=c, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de 14ab+7bc=7b.(2a+c). O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

  • 15x+9y=3.(5x+3y)
  • 50-10y=10.(5-y)

Fatoração por agrupamento[editar | editar código-fonte]

Observe o polinômio ab-b^2+2a-2b. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

ab-b^2+2a-2b=(ab-b^2)+(2a-2b), logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

ab-b^2=b(a-b)

2a-2b=2(a-b), obtemos a fatoração de ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b), nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: (a-b)(b+2). A forma fatorada de ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2).

Outro exemplo:

a^4-a^5+a^2b-a^3b=a^2(a^2-a^3)+b(a^2-a^3)=(a^2-a^3)(a^2+b)

Fatoração da diferença de dois quadrados[editar | editar código-fonte]

x^2-y^2 = (x+y) . (x-y) \,\! 

Considere o polinômio m^2-n^2, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo \sqrt{m^2}=m menos a raiz quadrada do segundo termo -\sqrt{n^2}=-n, logo temos \sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: (m-n).(m+n), logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n), ou simplesmente m^2-n^2=(m-n).(m+n).

Outros exemplos:

  • (n+8)^2-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]
  • a^4-b^4=(a^2+b^2).(a^2-b^2)=(a-b).(a+b).(a^2+b^2)

Fatoração do trinômio quadrado perfeito[editar | editar código-fonte]

Considere o polinômio 4x^2+4xy+y^2, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa (2x+y)^2, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio 4x^2+4xy+y^2, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo \sqrt{4x^2}=2x e a raiz quadrada do terceiro termo \sqrt{y^2}=y, finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (4xy): 2.2x.y=4xy, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é 4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2.

Outro exemplo:

x^2-8xy+16y^2=\sqrt{x^2}-\sqrt{16y^2}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y)^2 ou x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos[editar | editar código-fonte]

As expressões usadas são:

x^3+y^3 = (x+y) . (x^2-xy+y^2) \,\!
x^3-y^3 = (x-y) . (x^2+xy+y^2) \,\!

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

(a+b).(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3, tendo este cálculo como base, podemos dizer que a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2), logo, a fatoração do polinômio a^3+b^3 é igual à raiz cúbica do primeiro termo \sqrt[3]{a^3}=a, mais a raiz cúbica do segundo termo \sqrt[3]{b^3}=b vezes o quadrado do primeiro termo a^2, o produto dos dois termos com o sinal oposto -ab mais o quadrado do segundo termo b^2, formando:a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2).

Outros exemplos:

  • x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2)
  • \frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}=\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right )

Fatoração do trinômio do segundo grau[editar | editar código-fonte]

Observe o trinômio x^2-2x-35, cuja forma fatorada é (x-7).(x+5), para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

  • a^2+8a+12=(a+2).(a+6)
  • x^2-15x-100=(x-20).(x+5)
  • y^2+y-72= (y+9)(y-8)

Fatoração completa[editar | editar código-fonte]

A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio x^4-y^4, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2), note que o primeiro termo da fatoração [(x^2-y^2)] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)=(x-y).(x+y).(x^2+y^2), assim, temos a fatoração completa do polinômio x^4-y^4.

Outros exemplos:

  • \frac{x^6}{64}-\frac{y^6}{729}=\left (\frac{x^3}{8}-\frac{y^3}{27} \right ).\left (\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27} \right )=\left [\left (\frac{x}{2}-\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ].\left [\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ]
  • 3x^2-6x+3=3.(x^2-2x+1)=3.(x-1)^2
  • a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2 - c^2 = (a+b-c)(a+b+c)

Fatoração por artifício[editar | editar código-fonte]

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica: x^4+4x^2 y^2+16y^4.

(x^4+4x^2 y^2+16y^4 +4x^2 y^2)-4x^2 y^2=

x^4+8x^2 y^2 +16y^4 -4x^2 y^2 =(x^2+4y^2)^2-4x^2 y^2=(x^2+4y^2+2xy)(x^2+4y^2-2xy)

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo 4x^2 y^2, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

x^5 + x + 1\,

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se x^2\,, obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1 = x^2 (x^3 - 1) + x^2 + x + 1 = x^2 (x - 1) (x^2 + x + 1) + 1 (x^2 + x + 1) = (x^2 (x - 1) + 1)(x^2 + x + 1) = (x^3 - x^2 + 1)(x^2 + x + 1)\,

Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:

x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy \,\!

Polinômios irredutíveis[editar | editar código-fonte]

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Problemas resolvidos[editar | editar código-fonte]

Caso 1[editar | editar código-fonte]

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.

  • Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
  • Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

Caso 2[editar | editar código-fonte]

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:

  • ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
  • Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

Caso 3[editar | editar código-fonte]

Diferença entre dois quadrados.

Caso 4[editar | editar código-fonte]

Trinômio quadrado perfeito.

Caso 5[editar | editar código-fonte]

Soma e produto

Caso 6[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Fração algébrica[editar | editar código-fonte]

Simplificação[editar | editar código-fonte]

15x²-15xy²=15x(x-y²)

Operações[editar | editar código-fonte]

Adição[editar | editar código-fonte]

Subtração[editar | editar código-fonte]

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

Divisão[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Wikipédia[editar | editar código-fonte]

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Fatoração de um polinômio
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Produtos notáveis


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Polinômios[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Polinômios em uma variável são séries de monômios (ou termos) em uma variável, que por sua vez são expressões matemáticas na forma a x^{n} (que, no caso de n = 0, torna-se a constante a). Cada monômio é caracterizado por

  • um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
  • uma variável, que na equação é representada por x; e
  • um expoente natural, que na equação é representado por n. No caso particular n = 0, considera-se que x^n = 1 e o termo a x^n torna-se simplesmente a.

Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:

P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_{1}x + a_{0}

A função constante, P(x) = c, é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear P(x) = ax + b.

Grau[editar | editar código-fonte]

Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio 2 + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios (x^{3}).

Valor numérico[editar | editar código-fonte]

É o valor que se resulta a expressão quando determina-se um valor para as variáveis.

Exemplo

2x + 1                VN = ?   Para x=5
VN = 2.5 + 1 = 11,

Raízes[editar | editar código-fonte]

No gráfico acima, as raízes r1 e r2 são mostradas. Reparar que as raízes são correspondentes a pontos do gráfico que cortam o eixo das abcissas.

Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então P(a) = 0.

Exemplos de raízes:

  • P(x) = 3 * x - 12 tem raiz r = 4 (pois P(4) = 3 * 4 - 12 = 0)
  • P(x) = x^{100} + x^{99} + x^{98} + ... + x^{2} + x^{1} tem raiz r igual a -1, pois P(-1) = 0.

Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:

  • P(x) = x^{2} - 4 x + 4 tem raiz dupla r igual a 2, uma vez que pode ser fatorado em P(x) = (x - 2) (x - 2).

Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.

Obtenção de raízes[editar | editar código-fonte]

Identidade de polinômios[editar | editar código-fonte]

Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:

A(x) = 3 x^{2} + 3: B(x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 6}{2} \Rightarrow B(x) = 3 x^{2} + 3

Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: A(x) \equiv B(x).

Polinômio nulo[editar | editar código-fonte]

Um polinômio é dito nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a 0.

Igualdade de polinômios[editar | editar código-fonte]

Diz-se que os polinômios a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 e b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0 são iguais quando a_i = b_i, para todo i.

Operações[editar | editar código-fonte]

Adição[editar | editar código-fonte]

Consideremos que tenhamos os fatores:

{a_A,b_A,c_A,d_A,e_A} e

{a_B,b_B,c_B,d_B,e_B}

Todos constantes e com valores diferentes de zero.

Ainda temos:

{x,y}

que são variáveis.

Os polinômios:

A(x)=a_A x^4+b_A x^3+c_A x^2+d_A x+e_A

e

B(x)=a_B x^4+b_B x^3+c_B x^2+d_B x+e_B

A sua adição é efetuada como segue:

S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^4 + (b_A+b_B) x^3 + (c_A+c_B) x^2 + (d_A+d_B) x + (e_A+e_B)


Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:

A(xy)=a_A x^2y+b_A xy+c_A y^2+d_A xy^3+e_A

e

B(xy)=a_B x^2y+b_B xy+c_B y^2+d_B xy^3+e_B

A sua adição é efetuada como segue:

S_{AB}(xy)=(a_A+a_B) x^2y + (b_A+b_B) xy + (c_A+c_B) y^2 + (d_A+d_B) xy^3 + (e_A+e_B)


Processo:

Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do monômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.

Subtração[editar | editar código-fonte]

O sinal de negativo (-)antes dos parêntese exige a troca de todos os sinais que estejam dentro dele.

(3x²-2x+5)-(5x-3)=

=3x²-2x+5-5x+3=
 =3x²-7x+8

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

(15x² - 10x + 2) • (3x - 2)

Nesse caso, multiplica-se todos os termos ou considere:

(15x² - 10x + 2) = A
(3x - 2) = B

donde,

A • B (ou B • A)
 A
•B
---
 x

donde,

     (15x² - 10x + 2)
    •        (3x - 2)
    -----------------
     - 30x² + 20x - 4
45x³ - 30x² +  6x      +
---------------------
45x³ - 60x² + 26x -4

Portanto, o produto da multiplicação indicada será 45x³ - 60x² + 26x -4.

Divisão[editar | editar código-fonte]

Para realizar-se uma divisão de polinômios, utiliza-se um dos teoremas abaixo:

  • Método de Descartes
  • Método do Resto
  • Método de D'Alembert
  • Método de Briot-Ruffini

Teoremas[editar | editar código-fonte]

Teorema do resto[editar | editar código-fonte]

O resto da divisão do polinômio P(x) por ax + b é dado por P(-b/a)


Exemplo de resolução 1
Têm-se a seguinte divisão:
\frac{3x^4 - x^2 + 2x - 5}{x - 2}
  • 1º passo: Determina-se x
x - 2 = 0: x = 2
  • 2º passo: Substitui-se os valores
3x^4 - x^2 + 2x - 5: 3.2^4 - 2^2 + 2.2 - 5: 3.16 - 4 + 4 - 5: 48 - 5: 43

Portanto, o resto é 43.


Exemplo de resolução 2
O resto da divisão do polinômio A(x) pelo polinômio de primeiro grau B(x) = a x + b é A (-b/a).
Observações: Note que A (-b/a) é a raiz do divisor B(x) = a x + b

Teorema de D'Alembert[editar | editar código-fonte]

Um polinômio A(x) é divisível pelo polinômio de primeiro grau B(x) = a x + b se e somente se, A (-b/a) = 0.

Aplicações práticas[editar | editar código-fonte]

Equações polinomiais[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Teorema Fundamental da Álgebra[editar | editar código-fonte]

Todo polinômio P(x) de uma variável com coeficientes complexos e de grau n \ge 1 tem alguma raiz complexa. Em outras palavras, a equação polinomial P(x) = 0 tem n soluções, não necessariamente distintas.

Apesar do nome pomposo, um estudo mais aprofundado da Álgebra contemporânea mostra que este resultado não é assim "tão fundamental". No entanto, no contexto das equações polinomiais, é ele quem traz a garantia de que existem soluções para esse tipo de equação.

Multiplicidade de uma raiz[editar | editar código-fonte]

Relações de Girard[editar | editar código-fonte]

Teorema das raízes complexas[editar | editar código-fonte]

Fatoração[editar | editar código-fonte]

Lembre-se: Fatorar é simplificar uma expressão à um produto.

Existem várias formas de se fatorar um polinômio, ou seja, escrevê-lo como um produto de expressões mais simples:

  • fatoração simples (ou por evidência)
  • fatoração por agrupamento
  • trinômios do quadrado perfeito
  • e outros

Fatoração simples (ou por evidência)[editar | editar código-fonte]

Destacam-se os termos em comum, e coloca-o em evidência, colocando entre parênteses as outras parcelas entre parênteses na forma de produto, multiplicando-o com o número em evidência

Exemplo
ax + ay + az = a (x + y + z)

Por agrupamento[editar | editar código-fonte]

Agrupam-se os termos em comum. Quando agrupamos os termos, fazemos evidência separadamente em cada agrupamento.

Exemplo
ax + by + bx + ay =
ax + ay + bx + by =
a (x + y) + b (x + y) =
(x + y) • (a + b)

Trinômio do quadrado perfeito[editar | editar código-fonte]

Esse já é mais complexo, pois, partiremos em etapas explicando através do exemplo.

Fatorar a expressão m^2 - 10m + 25

Primeiro verificamos se é um Trinômio do quadrado perfeito:

  • Extrai-se a raiz quadrada dos extremos. Com efeito,
    \sqrt[]{m^2} = m e \sqrt[]{25} = 5
  • Multiplicam-se os resultados
    5 • m = 5m
  • Multiplica-se o produto obtido por dois
    5m • 2 = 10m

Note que 10m é o valor do meio na expressão, isso prova que ela é um Trinômio do quadrado perfeito.

Sendo trinômio do quadrado perfeito
Sendo Trinômio do quadrado perfeito, utiliza-se a fórmula (a \pm b)^2 substituindo-se os valores por ordem. O binômio representará uma adição caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de mais (+), ou será uma subtração caso o sinal do meio da expressão inicial for o sinal de menos (-). Com efeito,
(m - 5)²

Esse é o valor fatorado da expressão inicial.

Equação do segundo grau[editar | editar código-fonte]

Lembre-se: Da fórmula ax² + bx + c .

A expressão abaixo se encaixa na fórmula acima.

x² - 8x + 15
Observações: Fórmula da fatoração das Equações do segundo grau:
a (x - x1) • (x - x2)

Aplica-se a fórmula da fatoração das equações do segundo grau. Onde,

x1 = 3
x2 = 5

Por tanto, a fatoração de tal expressão resulta em:

1 (x - 3) • (x - 5)
(x - 3) • (x - 5)

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]

A seguir são sugeridos alguns exercícios sobre fatoração de polinômios.

Crystal Clear app xmag.pngVer módulo principal: Matemática elementar/Polinômios

Fatore os seguintes polinômios:

1. 2 x + 2 y


2. a x + a y


3. 12 x - 6 y


4. x^2 - y^2


5. 4 a^2 - b^2


6. a x + a y + 2 x + 2 y


7. x^2 - 2 a x + a^2


8. a^2 x^3 - b x^2 + a^2 x - b


9. 4 x^3 - 6 x^2 + 2 x - 3


10. a^2 - 6 a + 9


11. x^2y - y - 2 x^2 + 2


12. x^4 - 16 a^4


13. a^2 x^3 - b^2 x


14. 3 a^2 x^3 - 6 a x^2 + a x - 2 a


15. 2 x^2 + 4 x y + 2 y^2


16. a x^3 + a yz + a z^2


17. 3 a x^2 - 18 a x + 27 a


18. a^2 x + 2 a b x + b^2 x


19. x^4 - 8 x^2 + 16


20. 2 x^2 y^2 - 4 x y^2 + 2 y^2 - 2 x^2 + 4 x - 2


Sua pontuação é 0 / 0


Para fatorar os polinômios indicados nos próximos exercícios, é necessário conhecer a solução da equação do segundo grau:

1. x^2 - 13 x + 30


2. 2 x^2 - 5 x + 2


3. y^2 + 11 y + 30


4. x^4 - 13 x^2 + 36


5. x^2 - x - 1


Sua pontuação é 0 / 0


Respostas[editar | editar código-fonte]

O leitor pode conferir as respostas dos exercícios anteriores digitando-as nos campos indicados e clicando em "Enviar". As respostas fornecidas utilizam o asterisco * para representar a multiplicação, ou então a simples justaposição das expressões. Devido a uma limitação do sistema utilizado na produção do questionário acima, pode acontecer que ele acuse incorretamente um erro quando sua resposta diferir da que foi indicada apenas por causa da ordem um termo da resposta. Em caso de dúvida, também pode conferir as respostas utilizando um dos diversos softwares de álgebra computacional existentes (se quiser uma uma lista de aplicativos deste tipo, pode consultar esta página da Wikipédia inglesa).

Por exemplo, com o programa Maxima consegue-se o resultado da fatoração de 3 a x^2 - 18 a x + 27 a inserindo o comando

factor (3*a*x^2 - 18*a*x + 27*a);

Também é possível obter a resposta utilizando ferramentas gratuitas disponíveis na internet, como o Wolfram Aplha. Basta usar o mesmo comando factor seguido do polinômio que deseja fatorar, e a resposta é calculada em seguida. Veja as respostas para alguns dos exercícios acima, calculadas pelo Wolfram Alpha:

  • 2 x + 2 y
  • 3 a x^2 - 18 a x + 27 a

As respostas dos demais exercícios é obtida de maneira análoga.

Equações algébricas[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.

Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra

Raiz[editar | editar código-fonte]

Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.

Multiplicidade de raízes[editar | editar código-fonte]

Número de raízes de uma equação[editar | editar código-fonte]

Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de como completar quadrado:

Temos a seguinte equação: (x+2)^2= x^2+4x+4 \,\!

Agora imagine a equação:

x^2 + 8x -5=0 \,\!

Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.

x^2+8x=5 \,\!

Perceba que (x+4)^2=x^2+8x+16 \,\!

(x+4)^2 -16=5 \,\!

(x+4)^2=21 \,\!

Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de

(x+4)\,\!,

é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Equação do 1º grau com 1 incógnita[editar | editar código-fonte]

Sistemas do 1º grau[editar | editar código-fonte]

Problemas do 1º grau[editar | editar código-fonte]

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4\,\!. Assim:

c + a = 22\,\!

c + (c - 4) = 22\,\!

2c - 4 = 22\,\!

2c - 4 + 4 = 22 + 4\,\!

2c = 26\,\!

c = 13\,\!

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

Equação do 2º grau com 1 incógnita[editar | editar código-fonte]

Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.

Evolução[editar | editar código-fonte]

ax^2+bx+c=0, donde

a \left( x^2+ \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} \right) = 0
  • a multiplica os termos:
a \left( x^2+ \frac{bx}{a}+ \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right) = 0
a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \right) \right] = 0
a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right) \right] = 0
a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x+ \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \right] = 0
  • aqui b^2-4ac tornou-se \Delta.
a \left[ \left( x+ \frac{b+ \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left( x+ \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0
  • aqui temos \left( \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \right) como X1 e \left( \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right) como X2.
a \left \{ x- x_1 \right \} \left[ x- x_2 \right] = 0
a \left( x- x_1 \right) \left( x- x_2 \right) = 0
  • então,
x = x1
x_1 = \left( \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \right)
x = x2
x_2 = \left( \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)
  • por fim, x_1 e x_2 (x) é representado pela seguinte fórmula:

x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Exercícios de aplicação da Fórmula de Bhaskara.

  1. Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara
    1. x^2 - 2 \ x + 1 = 0 (S=1;1)\,
    2. y^2 - 6 \ y + 8 = 0 (S=2;4)\,
    3. x^2 - 7 \ x - 18 = 0 (S=-2;9)\,
    4. -y^2 + 2 y + 3 = 0 (S=-1;3)\,
    5. x^2 - 4 \ x + 5 = 0 (x \notin \mathbb{R})\,
    6. 2 \ x^2 - 5 \ x + 2 = 0 (S=0,5;2)\,
    7. 9 \ x^2 + 6 \ x + 1 = 0 (x \notin \mathbb{R})\,
    8. -4 \ x^2 - 4 \ x - 1 = 0 (0,5;0,5)\,
    9. x^2 - x - 1 = 0\,
    10. 3 y^2 + 2 \ y - 1 = 0 (S=2/6;-1)\,
    11. x^2 - 4 = 0\,
    12. -x^2 - x - 4 = 0\,
    13. x^2 - 17 = 0\,
    14. y^2 + y - 20 = 0\,
    15. x^2 + 626 = 0\,
    16. x^2 - 15 x = 0\,
    17. x^2 - 3 \ \sqrt{2} \ x + 6 = 0\,
    18. -y^2 - 3 \ y + 10 = 0\,
    19. -3 z^2 + 10 \ z - 3 = 0\,
    20. z^2 + 8 \ z + 15 = 0\,

Sistemas do 2º grau[editar | editar código-fonte]

Problemas do 2º grau[editar | editar código-fonte]

Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?

Solução
x = número de convidados
24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas
24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas
24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400
simplificando a equação:
dividindo os termos por 400
60/x + 1 = 60/(x-5)
mmc: entre x e x-5 = x.(x-5)
60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x
60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0
x²-5x-300 = 0
aplicando a fórmula de Bhaskara:
x' = 20, x" = -15(raízes negativas não servem)
Resposta: 20 pessoas foram convidadas...

Equação biquadrada[editar | editar código-fonte]

Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar:

ax^4+bx^2+c=0,\quad a\neq 0\,

A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:

y=x^2\,

Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:

ay^2+by+c=0,\quad a\neq 0\,

Exercícios[editar | editar código-fonte]

Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios


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Leitura complementar[editar | editar código-fonte]

  • Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
  • Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616

Médias[editar | editar código-fonte]

Em Matemática, existem quatro tipos de médias.

  • Média: a média de um conjunto de números é o valor numérico de tendência central que representa este conjunto.

Média Aritmética simples[editar | editar código-fonte]

Observações: A média Aritmética simples é mais conhecida por simplesmente média Aritmética.

É a razão entre a soma de todos os elementos de um conjunto e a quantidade de elementos deste conjunto.

Matematicamente
a + b + ... + z (n termos)
Média aritmética simples → \frac{a+b+...+z}{n}

Exemplo[editar | editar código-fonte]

A = {3,5,9,12} M_a = \frac{3+5+9+12}{4} = \frac{29}{4} = 7,25

Média Aritmética Ponderada[editar | editar código-fonte]

Observações: A média Aritmética Ponderada é mais conhecida por simplesmente média Ponderada.

É a razão do somatório dos produtos entre elementos e seu respectivo peso e, a soma dos pesos.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • João tirou 8 em Matemática e 9 em Português. Ele fará uma média Ponderada dando peso 3 à Matemática e peso 1 à Português. Qual será a média?
PM → M=8 → PM=3
PP → P=9 → PP=1

M_p= \frac{8\times 3 + 9\times 1}{3+1} = \frac{24+9}{4} = \frac{33}{4} = 8,25

Média Harmônica[editar | editar código-fonte]

É o inverso da média Aritmética dos inversos dos números.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

2 e 3

\frac{2}{ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} } = \frac{2}{ \frac{5}{6} } = 2 \times \frac{6}{5} = \frac{12}{5} = 2,4

Média Geométrica[editar | editar código-fonte]

É a raiz n-ésima (ou enésima) do produto dos n números.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

\sqrt{4\times 9} = \sqrt[]{36} = 6

Sistemas lineares[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares. Uma equação linear, por sua vez, é toda equação que pode tomar a forma:

a_{n} x_{n} + a_{n-1} x_{n-1} + ... + a_{3} x_{3} + a_{2} x_{2} + a_{1} x_{1} = b.

Por exemplo, 5x + 2y + z = 12 ou 0,2x - 15y = 0. Na equação linear sempre aparecem coeficientes e variáveis. No primeiro exemplo, os coeficientes são 5, 2 e 1 (implícito), e as variáveis são x, y e z.

As equações lineares podem ter um grupo de valores que, substituindo as variáveis, as tornam verdadeiras. Por exemplo:

5 x + 2 y + z = 12 \!\,

O conjunto de valores (2,1,0) torna essa equação verdadeira:

5 (2) + 2 (1) + 0 = 12 \Rightarrow 10 + 2 + 0 = 12 \Rightarrow 12 = 12 \!\,

Os valores que tornam a equação linear verdadeira são chamados soluções da mesma.

O sistema linear é composto por duas ou mais equações, geralmente apresentadas no seguinte formato:

\left\{\begin{matrix} a_{n} x_{n} + a_{n-1}  x_{n-1} + ... + a_{2} x_{2} + a_{1} x_{1} = b \\ c_{n} x_{n} + c_{n-1}  x_{n-1} + ... + c_{2} x_{2} + c_{1} x_{1}  = d \\ \vdots \end{matrix}\right.

Para estas equações podem haver um conjunto de valores que só serão a solução do sistema se forem solução de cada equação. Assim, no sistema:

\left\{\begin{matrix} 6x + 3y = 24 \\ 4x - y = 4 \end{matrix}\right.

Percebe-se que a solução única capaz de satisfazer a ambas as equações é o par (2,4). O sistema acima é chamado de sistema linear a 2 incógnitas, e portanto admite soluções que são pares ou duplas. De modo genérico, um sistema será linear a n incógnitas (ou variáveis) e terá por solução uma n-upla (lê-se "enupla") do tipo (α1, α2, α3, ... αn). Conforme veremos mais adiante, um sistema apresenta melhores condições de ser resolvido (ou seja, de ter sua solução encontrada) caso tenha um número de equações igual ao número de incógnitas.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a possibilidade de obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos. Inicialmente, encontramos dois tipos de sistemas:

  • impossíveis (ou inconsistentes) são os sistemas que não têm solução, geralmente por conterem equações lineares que se contradizem. Por exemplo:
    \left\{\begin{matrix} x + y = 10 \\ x + y = 12 \end{matrix}\right.
    Observar que as equações apresentam o inconveniente de apresentar a mesma soma, mas com resultados diferentes, o que leva à impossibilidade de resolver o sistema. O sistema impossível (SI) sempre resulta numa contradição. Vale ressaltar que o conjunto numérico ao qual a solução pertence é fundamental na determinação da possibilidade do sistema; por exemplo:
    \left\{\begin{matrix} x + 2y = 10 \\ x - y = 16 \end{matrix}\right.
    É considerado impossível dentro do conjunto dos números naturais, pois não há nenhum número natural que somado em dobro 2y a outro número natural x resulte em um valor menor do que ele próprio y somado ao mesmo número x. A solução real, (14,-2), é descartada se restringirmos a solução ao conjunto de números naturais (-2 não é natural).
  • possíveis (ou consistentes) são todos os sistemas que não levam a uma contradição, e portanto admitem soluções dentro do conjunto numérico ao qual estão designados. Os sistemas possíveis, por sua vez, se subdividem em dois tipos:
    • possíveis determinados (SPD) são os sistemas que possuem apenas uma solução; é possível identificar uma n-upla capaz de resolver todas as equações, única. Como exemplo, além daquele citado na seção anterior, o sistema:
    \left\{\begin{matrix} 3x + 2y = -2 \\ x + 2y = 10 \end{matrix}\right.
    Permite como solução real a dupla (-6, 8).
    • possíveis indeterminados (SPI) são os sistemas que permitem infinitas soluções, porque apresentam os chamados graus de liberdade, ou seja, permitem soluções arbitrárias. Por exemplo, o sistema:
    \left\{\begin{matrix} x - y = 8 \\ 2x - 2y = 16 \end{matrix}\right.
    Permite uma infinidade de soluções como (10,2), (12,4), (19,11), etc. Em todas elas, basta que a relação entre o primeiro elemento e o segundo seja (α,α - 8). Também é indeterminado o sistema:
    \left\{\begin{matrix} x + y + z = 10 \\ x + y - 2z = 4 \end{matrix}\right.
    Pois apresenta mais incógnitas do que equações, sendo por isso impossível "trabalhar" as incógnitas de modo a obter valor preciso para cada uma. A solução é qualquer tripla do tipo (α, 8 - α, -2). Observar que o terceiro elemento pode ser definido, mas não os dois outros, de modo que essa é a mesma situação do sistema indeterminado do exemplo anterior.

Sistemas equivalentes[editar | editar código-fonte]

Diz-se que dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, apresentam a(s) mesma(s) n-upla(s) como solução(ões). Assim, os sistemas:

\left\{\begin{matrix} 6x + 2y = -2 \\ 8x + y = -6\end{matrix}\right.
E
\left\{\begin{matrix} 2x - y = -4 \\ 4x + 3y = 2\end{matrix}\right.
Ambos apresentam como solução (-1, 2). Ambos são sistemas equivalentes, portanto.

Um sistema equivalente constitui, de certo modo, apenas um desenvolvimento de outro sistema, das equações desse outro sistema devidamente transformadas. A relação de equivalência está presente desde situações mais óbvias (quando dois sistemas são em tudo iguais, exceto pela ordem das equações lineares, por exemplo) até situações mais complexas, nas quais é preciso multiplicar e somar as equações para obter as mesmas equações de outro sistema. No exemplo dado, o segundo sistema foi formado a partir de duas equações:

  • 2x - y = -4 é a subtração de 8x + y = -6 por 6x + 2y = -2
  • 4x + 3y = 2 é a subtração de 2(6x + 2y = -2) por 8x + y = -6

A equivalência de sistemas é fundamental para transformação dos mesmos, e eventual resolução por método de escalonamento, que será discutido mais adiante.

Resolução de sistemas[editar | editar código-fonte]

Os sistemas lineares podem ser resolvidos (ou seja, ter a solução encontrada) através de diferentes métodos. Aqui examinar-se-á o método de escalonamento, e no próximo capítulo, o método ou regra de Cramer, que utiliza-se de matrizes.

O método do escalonamento permite resolver sistemas lineares de n equações a n incógnitas. Caso existam mais incógnitas do que equações, o método não funcionará, ou seja, ele não permite resolver sistemas com grau de liberdade maior ou igual a 1. Já os sistemas com mais equações do que incógnitas podem ser resolvidos, desde que não hajam contradições que o tornem SI.

Escalonamento[editar | editar código-fonte]

Classificado o sistema como SPD ou SPI, pode ser feito o escalonamento, que consiste basicamente em deixar as equações do sistema na forma:

\left\{\begin{matrix} a_{n} x_{n} + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_{1} x_{1} = b \\ c_{n-1} x_{n-1} + \cdots + c_{1} x_{1} = d \\ \vdots \\ e_{1} x_{1} = f \end{matrix} \right.

Ou seja, o sistema deve ter diversas equações, cada uma com um número crescente ou decrescente de incógnitas, de modo que a última se reduza a apenas uma incógnita. Isso é feito com as transformações adequadas – sempre é possível "zerar" uma das incógnitas na equação pela soma/subtração da equação anterior que contenha essa incógnita. Exemplificando:

\left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ 4x + 8y + 1z = -7 \\ -2x - 10y + 2z = 0\end{matrix}\right.

Inicialmente, vamos eliminar o termo composto pela variável x nas duas últimas equações, a partir da primeira. Para tanto, inicialmente multiplicamos a segunda equação por -2 e a terceira por 4. Depois, somamos as equações a primeira e obtemos:

\left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ -8x - 16y - 2z = 14 \\ -8x - 40y + 8z = 0\end{matrix}\right. \Rightarrow
\left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ 0x - 12y + 3z = -9 \\ 0x - 36y + 13z = -23\end{matrix}\right.

A continuar o processo, pode-se trabalhar a segunda e a terceira equação linear para obter na terceira uma equação a uma variável, que arbitrariamente escolhemos ser z. Para tanto, vamos multiplicar a segunda equação por -3, e então somá-la à terceira equação:

\left\{\begin{matrix}8x + 4y + 5z = -23 \\ 36y - 9z = 27 \\ -36y + 13z = -23\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}8x + 4y + 5z = -23 \\ 36y - 9z = 27 \\ 0y + 4z = 4\end{matrix}\right.

A partir desta última equação, e em geral em qualquer sistema resolvido por escalonamento, é possível encontrar o valor de uma primeira variável, no caso específico:

4z = 4 \Rightarrow z = 1\!\,

Substituindo o valor encontrado para z na equação da segunda linha, temos:

36y - 9z = 27 \Rightarrow 36y - 9(1) = 27 \Rightarrow y = 1

Por fim, é possível substituir esses dois valores na primeira equação:

8x + 5y + 4z = -23 \Rightarrow 8x + 5(1) + 4(1) = -23 \Rightarrow 8x = -32 \Rightarrow x = -4

A solução do sistema é, portanto, (-4,1,1).

Assim resolvem-se os sistemas lineares pela técnica do escalonamento: progressivamente vão obtendo-se os valores das variáveis, até que todas as equações possam ser resolvidas. Trata-se de um método prático, que inclusive é utilizado em computadores para resolução de sistemas lineares (embora o enfoque computacional seja um tanto mais complicado e envolva matrizes).

Sistemas com grau de liberdade[editar | editar código-fonte]

É usado na estatística

Método de Gauss[editar | editar código-fonte]

O método de Gauss é um método geral de resolver sistemas de equações lineares, consistindo de uma sequência de passos simples que reduzem o sistema até que a solução se torna óbvia.


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Sistemas de equações algébricas[editar | editar código-fonte]

Definição[editar | editar código-fonte]

Sistemas de equações algébricas são conjuntos de equações algébricas. Em tais equações, admite-se qualquer operação matemática. Por exemplo, em

\left\{\begin{matrix} x + y = 5 \\ 
x y = 6 \end{matrix}\right.

ocorre o produto de variáveis.

Diferentemente de um sistema de equações lineares (formado por linhas - retas), nas equações algébricas os gráficos têm inúmeras formas. Estes apresentam essencialmente curvas, e podem ter várias soluções. O número de soluções de um sistema de equações algébricas é dado pelo número de intersecções que existem num gráfico. Exemplos:

O sistema
 \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ x - y = -3 \end{cases}
não tem solução.
O sistema linear
 \begin{cases} x - y = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases}
tem uma solução.
O sistema
 \begin{cases} x - y = 0 \\ \log x - y = 3 \end{cases}
tem duas soluções.
O sistema
 \begin{cases} x^2 + y = 0 \\ x^2 + y^2 + 2y = 0 \end{cases}
tem três soluções.
O sistema
 \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 8 \\ x^2 - y^2 = 1 \end{cases}
tem quatro soluções.
O sistema
 \begin{cases} x^3 - 3x^2 - y = -1 \\ -x^2 + y^2 = 1 \end{cases}
tem cinco soluções.
O sistema
 \begin{cases} x^3 - 3x^2 -y = -2 \\ x^2 + 4y^2 = 8 \end{cases}
tem seis soluções.
O sistema
 \begin{cases} x^2 + 2y^2 - 7y = 0 \\ |x^2 - 4| - y = 0 \end{cases}
tem oito soluções.

Resolução[editar | editar código-fonte]

A solução de um sistema com duas equações são as coordenadas das intersecções nos gráficos. Portanto, a solução de x e y em um sistema qualquer é (x, y) da intersecção. Para um sistema com três variáveis, pode-se considerar um terceiro plano z para o gráfico.

Para determinar tais coordenadas, utiliza-se o método da substituição. Por exemplo, no sistema

\left\{\begin{matrix} x + y = 5 \\ 
x y = 6 \end{matrix}\right.

isola-se uma das variáveis:

\begin{cases}x + y = 5 \to x = 5 - y\\ 
x y = 6 \end{cases}

Em seguida, substitui-se este novo resultado na equação seguinte:

\left\{\begin{matrix} x = 5 - y\\ 
(5 - y) y = 6 \end{matrix}\right.

Eliminada uma variável, pode-se descobrir o valor da primeira:

\left\{\begin{matrix} x = 5 - y\\ 
- y^2 + 5y = 6 \end{matrix}\right.

Para descobrirmos o valor de y, neste caso, utilizaremos a famosa fórmula de Bhaskara:

\frac {-5 \pm \sqrt {25 - 4 \times (-1) \times (-6)}} {-2} = \frac {-5 \pm 1} {-2} \Rightarrow S = \lbrace 2; 3 \rbrace

Substituiremos y por tais valores na primeira equação:

 x + 2 = 5 \to x = 3
 x + 3 = 5 \to x = 2

Assim, temos duas soluções para este sistema: (2; 3) e (3; 2).

Sistemas com várias equações[editar | editar código-fonte]

Um sistema com n equações pode possuir até n variáveis para que se possa determinar o valor de cada incógnita. Nestes casos, as intersecções devem ocorrer entre todas as equações envolvidas. Exemplo:

\begin{cases}x + y = 0 \\ 
x^2 - y = 0 \\
x^2 + (y - 1)^2 = 1 \end{cases}

Primeiramente, isolaremos uma incógnita em uma das equações. Optaremos pela primeira equação, por ser mais simples. Também, resolveremos a terceira equação:

\begin{cases}x = -y \\ 
x^2 - y = 0 \\
x^2 + y^2 - 2y = 0 \end{cases}

Substituiremos a incógnita isolada x por -y nas demais equações:

\begin{cases}x = -y \\ 
(-y)^2 - y = 0 \\
(-y)^2 + y^2 - 2y = 0 \end{cases}

Realizando a fórmula de Bhaskara, obteremos as raízes 0 e 1 na segunda equação. Na terceira, teremos 0 e -2. Já que a solução de um sistema é a intersecção dos gráficos, as raízes devem repetir em todas as equações. Portanto, a única raiz compatível é zero. Substituiremos os resultados compatíveis (neste caso, zero) em uma equação qualquer. Optaremos pela primeira:

x = -(0) \to x = 0

Assim, obtivemos o primeiro par ordenado: (0; 0). Agora, substituiremos a incógnita -y por x (ou y por -x) na segunda e na terceira equação:

\begin{cases}y = -x \\ 
x^2 + x = 0 \\
2x^2 + 2x = 0 \end{cases}

Através da fórmula de Bhaskara, obteremos as raízes 0 e -1 na segunda e na terceira equação. Deste modo, ambos os resultados são compatíveis. Pelo fato de já termos substituído 0 na primeira equação no processo anterior (em que se descobriu o primeiro par ordenado), resta apenas substituir por -1. Optaremos, novamente, pela primeira equação:

-1 = -y \to y = 1

Conclui-se que (-1; 1) também é uma solução do sistema.

Exercícios[editar | editar código-fonte]


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Equações irracionais[editar | editar código-fonte]

Uma equação irracional é uma equação onde existem polinômios e raízes.

Por exemplo:

\sqrt{x + 1} + 1 = x\,

Uma definição mais precisa seria: uma equação algébrica irracional é uma equação onde existem funções racionais e inversas de funções polinomiais.

Solução[editar | editar código-fonte]

Um dos métodos de solução é isolar, em um dos membros da equação, os termos que incluem raízes, e elevar ambos os membros a uma mesma potência que elimine a raiz. No entanto, este procedimento não produz uma equação equivalente a original, mas sim uma equação que possui entre as suas soluções os valores que resolvem a equação inicial.

Por exemplo, quando se tem a igualdade entre uma certa expressão x e outra expressão y, pode-se concluir que x^2 = y^2. Por outro lado, é perfeitamente possível que duas expressões tenham os quadrados iguais, sem que elas próprias sejam iguais. Este é o caso, por exemplo, quando se tem (-x)^2 = x^2\,, pois para a maioria dos números, -x \not = x (a igualdade só vale para x=0). Assim, se durante a resolução ambos os membros forem elevados a uma certa potência, será necessário chegar se os valores obtidos como solução para a nova equação são também soluções da equação inicial.

Acompanhe o próximo exemplo:

\sqrt{x + 1} + 1 = x\,

Isolando a raiz, elevando ao quadrado e resolvendo:

\sqrt{x + 1} = x - 1\,
x + 1 = x^2 - 2 x + 1\,
-x^2 + 3 x = 0\,

Esta equação do segundo grau possui duas soluções, a saber: 0 e 3. Isto não significa que ambos estes números sejam soluções da equação original, pois com os cálculos realizados até agora só é possível dizer que "se x for uma solução para a equação original, então x tem que ser igual a 0 ou igual a 3".

Resta então saber se algum destes números verifica a equação proposta:

\sqrt{\mathbf{3} + 1} + 1 = 2 + 1 = \mathbf{3}, logo 3 também é uma solução da primeira equação.
\sqrt{\mathbf{0} + 1} + 1 = 1 + 1 = 2 \not = \mathbf{0}, logo 0 não é uma solução da equação inicial.

Portanto, a única raiz é "x = 3".

Exercícios[editar | editar código-fonte]


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Matrizes[editar | editar código-fonte]

Matrizes[editar | editar código-fonte]

Conceito[editar | editar código-fonte]

Uma matriz A_{m,n} \,\! pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.

A = \begin{bmatrix}
4 & 0 & 9 \\
1 & 7 & 3
\end{bmatrix}

Notação[editar | editar código-fonte]

  • Matrizes devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita, sendo as duas maneiras equivalentes.
  • Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula.
  • Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da 3ª coluna na 2ª linha da matriz A será a_{23}.

Assim, na matriz acima, de 2 linhas e 3 colunas, temos:

a_{11}\ =\ 4,\ a_{12}\ =\ 0,\ a_{13}\ =\ 9

a_{21}\ =\ 1,\ a_{22}\ =\ 7,\ a_{23}\ =\ 3

Ordem de uma matriz[editar | editar código-fonte]

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se "m por n".

Assim, a matriz A acima é de ordem 2×3.

Adição e subtração[editar | editar código-fonte]

Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas (mesma ordem). Sejam duas matrizes A_{m,n}\,\! e B_{m,n}\,\!.

Então a matriz R\ =\ A\ \pm\ B \,\! é uma matriz mn tal que cada elemento de R\,\! é dado por:

r_{ij}\ =\ a_{ij} \pm b_{ij}. Ver exemplo ao lado.

Multiplicação por um escalar[editar | editar código-fonte]

Seja a matriz A_{m,n} \,\! e c \,\! um escalar. A matriz

P = c A \,\! é uma matriz m×n tal que cada elemento de P \,\! é dado por:

p_{ij}\ =\ c\cdot a_{ij} \,\!.

Algumas propriedades das operações anteriores[editar | editar código-fonte]

Sejam A \,\! e B \,\! matrizes m\times n \,\! e c \,\! e d \,\! escalares. Então:

c (A + B) = cA + cB \,\! e d (cA) = dc (A) \,\!.

E, também, se cA = cB \,\! e c \ne 0\, então A = B \,\!.

Matrizes nulas[editar | editar código-fonte]

Matriz nula O_{m,n} \,\! é aquela cujos elementos são todos nulos.

matriz identidade I_n \,\! é matriz I_{n,n} \,\! na qual i_{j,k}=1 \,\! se j=k \,\! e zero nos demais casos. Ou, de outra maneira, é a matriz na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos.

Matrizes especiais[editar | editar código-fonte]

  • Matriz linha é a matriz em que o número de linhas é igual a 1.
  • Matriz coluna é a matriz em que o número de colunas é igual a 1.
  • Matriz quadrada é a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas.
  • Matriz unitária é a matriz em que obedece a relação (A^t=A^{-1}).
  • Matriz transposta (A^t) da matriz A é a matriz obtida pela permutação das linhas e colunas de A. Ou seja, cada coluna de A será uma linha de A^t e cada linha da matriz original será uma coluna da transposta.

Multiplicação de matrizes[editar | editar código-fonte]

Sejam as matrizes A_{m,p} e B_{p,n} (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda).

O produto AB é dado pela matriz C_{m,n} cujos elementos são calculados por:

c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}

A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

Veja os cálculos para o exemplo da figura acima.

c_{11} = 4\cdot 1 + 0\cdot 2 + 5\cdot 1 = 9
c_{12} = 4\cdot 2 + 0\cdot 5 + 5\cdot 0 = 8
c_{21} = 1\cdot 1 + 1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 6
c_{22} = 1\cdot 2 + 1\cdot 5 + 3\cdot 0 = 7

Ordem dos fatores[editar | editar código-fonte]

Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.

Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, AB \neq BA.

Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas......

Algumas propriedades do produto de matrizes[editar | editar código-fonte]

Sejam as matrizes A, B e C.

  1. Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.
  2. Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.
  3. Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.
  4. Se I_p é a matriz unitária p\times p conforme já mencionado, então: I_p A_{p,n} = A_{p,n} e B_{m,p} I_p = B_{m,p}.

Matriz inversa[editar | editar código-fonte]

Sejam as matrizes quadradas A_{n,n} e B_{n,n}.

Se BA = I_n, onde I_n é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.

Para achar a matriz inversa:

Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B. O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.

Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).

  • 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.
  • 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
  • 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.
  • 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.
  • 3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.
  • 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.

E a matriz inversa é a parte da direita.

Determinantes[editar | editar código-fonte]

Determinantes de 2ª ordem[editar | editar código-fonte]

O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com todos os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.

O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.

Para calcular um determinante de uma matriz A_{2,2} (determinante de 2ª ordem):

Seja A_{2,2} =
\begin{bmatrix}
 a & b \\
 c & d
\end{bmatrix}. Então \det A =
\begin{vmatrix}
 a & b \\
 c & d
\end{vmatrix}
= ad - bc

Determinantes de ordens superiores[editar | editar código-fonte]

Para determinantes de 3ª ordem, há um método conhecido como regra de Sarrus. Considere a matriz:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}
\det A = aei + bfg + cdh - (gec + hfa + idb)

Exemplo para 3ª ordem.

Quando a ordem é superior a 3, não há algoritmos simples a ponto de poderem ser generalizados por uma fórmula. Há, no entanto, dois métodos de decomposição que reduzem um determinante a determinantes de ordens menores. Um deles é conhecido como Teorema de Laplace, e vale para qualquer matriz. Outro método, mais simples, é a regra de Chió, mas há algumas restrições para que ele funcione numa matriz.

Regra de Chió[editar | editar código-fonte]

Teorema de Laplace[editar | editar código-fonte]

O Teorema de Laplace permite expandir um determinante de ordem n em uma soma de n determinantes de ordem n - 1. A descrição do procedimento é a seguinte:

Considera-se uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz; somam-se os produtos de cada elemento desta linha por seus respectivos cofatores. O cofator de um elemento, por sua vez, é definido como o determinante da matriz que resta da eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento, multiplicado pelo fator sinal (-1)^{i+j} ― negativo se a soma do índice da coluna com o índice da linha for ímpar, e positivo do contrário. O processo pode ser repetido indefinidamente, até chegarmos num determinante que possa ser calculado trivialmente.

Para deixar o processo mais claro, considere uma matriz A = \begin{bmatrix}
 -2 &  2 & -3 \\
 -1 &  1 &  3 \\
  2 &  0 & -1
\end{bmatrix}. Podemos escolher qualquer linha ou coluna para calcular o determinante; vamos, por comodidade, escolher a segunda coluna, pois ela contém um zero ― o que nos dispensa de calcular um determinante, já que este seria multiplicado por zero. Então

\det A = (-1)^{1 + 2} \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix}
 -1 &  3 \\
  2 & -1
\end{vmatrix} + (-1)^{2 + 2} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix}
 -2 & -3 \\
  2 & -1
\end{vmatrix} + (-1)^{3 + 2} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix}
 -2 & -3 \\
 -1 &  3
\end{vmatrix}
= -2\bigg[ (-1)\cdot(-1) - 3\cdot 2 \bigg] + 1\bigg[ (-2)\cdot(-1) - (-3)\cdot 2 \bigg]
= 10 + 8 = 18

Você pode verificar que esse mesmo valor será obtido se usarmos a expansão de Laplace por outra coluna ou linha, e também se usarmos a regra de Sarrus. De fato, podemos provar, algebricamente, que a regra de Sarrus é equivalente ao uso do teorema de Laplace para um determinante de ordem 3.

Algumas propriedades dos determinantes[editar | editar código-fonte]

  1. Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas (ou seja, det A^t = det A).
  2. Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.
  3. Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si ou proporcionais entre si, o determinante é nulo. Se uma das linhas ou colunas contiver apenas zeros, o determinante também será nulo. Mais genericamente, o determinante é nulo se uma fila for uma combinação linear das outras filas.
  4. Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.
  5. Generalizando a propriedade anterior, se uma matriz n x n tiver todos elementos multiplicados por k, então seu determinante será multiplicado por kn
  6. Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.
  7. O determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta
  8. Ao trocarmos duas linhas ou colunas, o valor do seu determinante é multiplicado por (-1)
  9. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto os elementos da diagonal
  10. O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes destas matrizes (Teorema de Binet)


Exemplo de aplicação de determinantes[editar | editar código-fonte]

Seja o sistema de equações lineares

\left\{\begin{matrix}
  a_{11} x + a_{12} y + a_{13} z & = & b_1 \\
  a_{21} x + a_{22} y + a_{23} z & = & b_2 \\
  a_{31} x + a_{32} y + a_{33} z & = & b_3
\end{matrix}\right.

e o determinante

D = \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
  a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
  a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}

e os determinantes D_x, D_y e D_z, obtidos substituindo-se, respectivamente, as colunas dos coeficientes de x, y e z pela coluna dos termos independentes:

D_x = \begin{vmatrix}
  b_1 & a_{12} & a_{13} \\
  b_2 & a_{22} & a_{23} \\
  b_3 & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
D_y = \begin{vmatrix}
  a_{11} & b_1 & a_{13} \\
  a_{21} & b_2 & a_{23} \\
  a_{31} & b_3 & a_{33}
\end{vmatrix}
D_z = \begin{vmatrix}
  a_{11} & a_{12} & b_1 \\
  a_{21} & a_{22} & b_2 \\
  a_{31} & a_{32} & b_3
\end{vmatrix}

Então a solução do sistema é dada por:

x = \frac{D_x}{D}; \quad
  y = \frac{D_y}{D}; \quad
  z = \frac{D_z}{D}

Esse método costuma ser chamado de método de Cramer.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Matriz (matemática)

Análise combinatória[editar | editar código-fonte]

Análise combinatória[editar | editar código-fonte]

Análise combinatória é a parte da matemática que estuda os métodos de contagem.

A operação fatorial[editar | editar código-fonte]

A função fatorial é uma função que admite apenas um único argumento. Para esse argumento, chamemos-lhe n\,\!, a função fatorial procura todos os números k\,\! menores ou iguais a n\,\! e maiores que 0\,\! e multiplica-os entre si. Adicionalmente, é preciso dizer que tanto n\,\! como k\,\! pertencem ao conjunto dos números naturais \mathbb{N}(com uma pequena diferença, n\,\! inclui o número zero, k\,\! não) e que a função fatorial é representada pelo símbolo/operador !\,\! (ponto de exclamação). Definindo tudo isto formalmente:

f \left( n \right) = n! \qquad \forall n \in \mathbb{N}_0

Mas esta função ainda não nos diz muito acerca do que é de o fatorial de um número, diz-nos apenas como a representar e qual o seu domínio. Assim, não nos é possível saber para um dado valor n\,\! qual o valor de f \left( n \right).

A definição correta de fatorial é dada pelo operador produtório da seguinte forma:

n! = \prod_{k=1}^{n}k \qquad \forall n \in \mathbb{N}

Note-se que aqui o valor 0\,\! já não é incluído como um possível valor de n\,\!.

Isto significa precisamente aquilo que já foi dito antes. Neste caso, a função produtório começa por atribuir a k o valor de 1\,\!; de seguida, vai multiplicar esse mesmo valor pelo próximo valor de k\,\!, ou seja, 2\,\!; esta operação repete-se até que o valor de k\,\! seja igual ao valor de n\,\!. Dito isto, uma forma mais simples de definir a função fatorial seria:

n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times \left( n - 3 \right) \times \left( n - 2 \right) \times \left( n - 1 \right) \times n \qquad \forall n \in \mathbb{N}

Embora a definição mais utilizada seja:

n! = n \times \left( n - 1 \right) \times \left( n - 2 \right) \times \left( n - 3 \right) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 \qquad \forall n \in \mathbb{N}

Estas duas definições são exatamente iguais, apenas muda a ordem pela qual as parcelas aparecem.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

6! = \prod_{k=1}^{6}k = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720

ou

5! = \prod_{k=1}^{5}k = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

mas

0! = \prod_{k=1}^{0} = ?

Acontece que, embora esta função não esteja definida para n=0\,\!, foi estipulado que o fatorial do número zero é um. Portanto:

0! \equiv 1

O que equivale a dizer "0 fatorial está definido como sendo 1".

Operações com fatoriais[editar | editar código-fonte]

Se reparar nos exemplos anteriores, 6!\,\! não é mais do que 6 \times 5!, o que já nos indica uma operação relativa a fatoriais: a fatorização.

Ainda outra maneira de definir a função fatorial, é utilizar uma função recursiva:

 f(n) = \Biggl\{ \begin{matrix} 1, & para \ n = 0 \\ n \times f(n - 1), & para \ n \ne 0 \end{matrix}


ou, por outro lado:

 n! = n \times (n - 1)!

Princípio fundamental da contagem[editar | editar código-fonte]

Se um determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de p1 maneiras diferentes, a segunda de p2 maneiras, a terceira de p3 maneiras, até pn, o número total de maneiras de ocorrer o acontecimento é :

T = p1 × p2 × p3 × ...× pn ×

Ex.: Se tivermos um dado de 4 faces e um de 6 faces, logicamente, o primeiro pode apresentar 4 resultados diferentes, e o segundo, 6. Os dois juntos podem apresentar, então, 6*4=24 resultados diferentes.

Permutações simples[editar | editar código-fonte]

Permutações são os agrupamentos de um determinado número de elementos variando apenas a sua ordem. Ex.:

XYZ, XZY, YXZ, YZX,ZXY, ZYX. O número de agrupamentos de uma permutação simples de n elementos é dado por n!.

Ex.: De quantas formas podemos agrupar as sete cores do arco-íris? R: 7! = 5040

Permutações com elementos repetidos[editar | editar código-fonte]

Se formos fazer permutações com n elementos, mas existe um elemento repetido 'a' vezes, outro 'b' vezes, outro 'c' vezes, etc, o número de possibilidades de permutações é:

Pn(a,b,c) = n! / (a! b! c!)

Determine o número de anagramas (combinações de letras formando palavras com ou sem sentido) que podemos formar com PATA. E com MACACA. R: P1= 4!/2! = 12 P2= 6!/(3!*2!) = 60

Obs.: Exemplos de anagramas com PATA: AAPT, AATP, APTA, ATPA, PTAA, TPAA, PATA, TAPA, APAT, ATAP, PAAT, TAAP.

Arranjos simples[editar | editar código-fonte]

Imagine que temos um conjunto de 'n' elementos. O arranjo simples de taxa 'K' é todo agrupamento de 'K' elementos distintos, podendo variar a ordem em que aparecem.

Ex.: A={X,Y,Z}

arranjo de taxa 1: X,Y,Z. arranjo de taxa 2: XY, YX, XZ, ZX, YZ, ZY. arranjo de taxa 3: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX.

O número total de arranjos de 'n' elementos, taxa 'K' é:

A_{n,K} = \frac {n!} {(n - K)!}

Quantos anagramas de três letras podemos formar pelo nosso alfabeto (com 26 letras)? Resposta:

A_{26;3} = \frac {26!}{23!} = 26 \times 25 \times 24 = 15600

Combinações simples[editar | editar código-fonte]

As combinações são parecidas com os arranjos, mas apenas há a preocupação com a existência do elemento (não com a ordem). Ex.:

Combinações de taxa 1 do conjunto A={A,B,C,D} A, B, C, D.

Combinações de taxa 2 do conjunto A={A,B,C,D} AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Combinações de taxa 3 do conjunto A={A,B,C,D} ABC, ABD, ACD, BCD.

Combinações de taxa 4 do conjunto A={A,B,C,D} ABCD.

A fórmula é:

C_{n,K} = \frac {n!} {K!(n-K)!}

Ex.: Um jogo possui um cartão com 60 números. Deve-se marcar 6 deles. De quantas forma pode-se fazer isso? Resposta:

C_{60;6} = \frac {60!} {6!54!} = 50.063.860


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Probabilidade[editar | editar código-fonte]

A palavra probabilidade origina-se do Latim probare (provar ou testar). Informalmente, provável é uma das muitas palavras utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo também substituída por algumas palavras como “sorte”, “risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do contexto.

Noção e distribuição de probabilidades[editar | editar código-fonte]

Probabilidade condicional[editar | editar código-fonte]

Ao lançar uma moeda, sob certas condições, podemos calcular, com certeza a velocidade com que ela atingirá o solo. Repetindo esse lançamento nas mesmas condições, obtemos o mesmo resultado. Os experimentos em que podemos determinar os resultados nas diversas vezes que repetimos são denominados experimentos determinísticos.

Contudo, se observarmos um outro aspecto do mesmo lançamento e quisermos determinar qual das faces da moeda cairá voltada para cima, não conseguiremos determinar com clareza se sairá cara ou coroa, pois, em lançamentos sucessivos e em condições idênticas podemos descrever todos os resultados possíveis (no caso da moeda, cara ou coroa).

Experimentos que têm essa característica são chamados experimentos aleatórios. Por exemplo:

  • Lançar um dado e observar a face virada para cima.
  • Retirar e observar uma carta de um baralho.
  • Sortear uma bolinha no bingo e verificar o número.

Eventos independentes[editar | editar código-fonte]

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Geometria plana[editar | editar código-fonte]

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Tópicos[editar | editar código-fonte]

Conceitos geométricos
Ângulos
Retas no plano
Triângulos
Polígonos
Circunferência e círculo
Construções geométricas usando régua e compasso
Áreas e volumes

Conceitos geométricos[editar | editar código-fonte]

Geometria plana[editar | editar código-fonte]

Conceitos geométricos primitivos[editar | editar código-fonte]

A Geometria Plana e a Geometria Espacial baseiam-se nos chamados conceitos geométricos primitivos. Define-se como conceito primitivo toda aquele que não admite definição, isto é, o conceito que é aceito por ser óbvio ou conveniente para uma determinada teoria. Normalmente, em Matemática, os conceitos primitivos servem de base para a construção de postulados (ou axiomas) que formarão, por sua vez, a estrutura lógica e formal da teoria.

Ao contrário do que se pensa, conceitos primitivos existem não somente em Matemática, mas em Física também. Exemplos desses conceitos são os conceitos de força e velocidade.

Os conceitos geométricos primitivos são os seguintes:

  1. Ponto: é o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu como "aquilo que não tem parte". Ou seja, para Euclides é o conceito de "parte", e não de "ponto", que é primitivo.
    Imagine o ponto o menor que você puder. Diz-se que o ponto não tem dimensãoadimensional), ou seja, ele é tão ínfimo quanto quisermos, e não faz sentido mencionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do ponto. A única propriedade do ponto é a localização.
    Representa-se o ponto por uma letra maiúscula qualquer do alfabeto latino.
  2. Linha: Imagine um pedaço de barbante sobre uma mesa, formando curvas ou nós sobre si mesmo: este é um exemplo de linha.
  3. Reta: É uma linha infinita e que tem uma única direção. Uma reta é o caminho mais curto entre dois pontos quaisquer.
  4. Superfície:
  5. Plano: Você pode imaginá-lo como uma folha de papel infinita. Um plano é uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções.

Lugar Geométrico[editar | editar código-fonte]

Lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfazem uma determinada propriedade. Nem mais, nem menos!

No contexto da geometria analítica, a propriedade geralmente pode ser descrita por uma equação. Nesse sentido, um lugar geométrico pode ser entendido como um conjunto de pontos onde determinada função é igual a zero (ou seja, sua curva de nível zero). Um estudo mais aprofundados dos conjuntos de pontos dados por uma equação, a relação entre conjuntos deste tipo, e outros problemas similares são estudados em uma área da matemática denominada geometria algébrica.

Exemplos: ... Circunferência

Reta[editar | editar código-fonte]

Reta é uma noção primitiva.

Semi-reta[editar | editar código-fonte]

Enquanto a reta é infinita para os dois lados, a semi reta é infinita numa direção e finita na outra.

Segmento de reta[editar | editar código-fonte]

Enquanto a reta é infinita para os dois lados o segmento de reta termina em ambos os lados, ou seja, a menor distância entre dois pontos em um plano.

Áreas[editar | editar código-fonte]

A área de uma superfície plana é um número que expressa o tamanho daquela superfície. Quando maior, maior a área. Existe uma definição formal. É a seguinte:

A área de uma superfície é um número real positivo de forma que:

  1. A superfícies equivalentes estão relacionadas áreas iguais
  2. A área da soma de superfícies é a soma das áreas das superfícies
  3. Se uma superfície está contida em outra, sua área é menor ou igual à área da outra.

Ângulos[editar | editar código-fonte]

Ângulo[editar | editar código-fonte]

Intuitivamente, o ângulo é uma medida que expressa o quanto dois segmentos de reta estão não-paralelos.


Classificação.PNG


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Retas no plano[editar | editar código-fonte]

Paralelas[editar | editar código-fonte]

  • Possuem coeficientes angulares iguais;
  • Se interceptam no infinito (nunca se encontram).

Perpendiculares[editar | editar código-fonte]

  • Possuem inclinação de 90° entre si;
  • Se interceptam em apenas um ponto P definido na solução do sistema composto pelas equações das duas retas.
  • Sendo a e b os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares, a = - (b-1).

Feixe de paralelas cortadas por transversais[editar | editar código-fonte]

  • Em cada paralela: Ângulos opostos pelo vértice: Equivalentes;

Teorema de Tales[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Teorema de Tales
O teorema de Tales: as razões AD/AB, AE/AC e DE/BC são iguais.

O Teorema de Tales foi proposto pelo filósofo grego Tales de Mileto, e afirma que: quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos correspondentes determinados nas transversais são proporcionais. Para entender melhor o Teorema de Tales, é preciso saber um pouco sobre razão e proporção. Para a resolução de um problema envolvendo o Teorema de Tales, utiliza-se a propriedade fundamental da proporção, multiplicando-se os meios pelos extremos. Considerando-se o exemplo da figura, tem-se:

\frac {AD} {DB} = \frac {AE} {EC} = \frac {AB} {AC}
Esquema mostrando validade do Teorema de Tales

Aplicação do Teorema de Tales[editar | editar código-fonte]

O Teorema de Tales pode ser aplicado em triângulos que possuem uma reta paralela a um dos lados.

Aplicação do Teorema de Tales

Veja também[editar | editar código-fonte]

Triângulos[editar | editar código-fonte]

Tipos de triângulos[editar | editar código-fonte]

Classificação segundo a medida relativa dos lados[editar | editar código-fonte]

Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

  • Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular.
  • Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles.
  • Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

A seguir é mostrada a classificação de alguns triângulos de acordo com o critério anterior:

Exemplo de triângulo equilátero[editar | editar código-fonte]

Triangle.Equilateral.svg

Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo.

Exemplo de triângulo isósceles[editar | editar código-fonte]

Triangle.Isosceles.png

Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida b. Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida \alpha com a base do triângulo.

Exemplo de triângulo escaleno[editar | editar código-fonte]

Triangolo-Scaleno.png

Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida.

Classificação de acordo com seus ângulos internos[editar | editar código-fonte]

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

  • Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
  • Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
  • Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.

Exemplo de triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

Triangolo-Rettangolo.png
  • Um ângulo reto. Possui um ângulo de 90º.

Exemplo de triângulo obtusângulo[editar | editar código-fonte]

Triangolo-Ottuso.png
  • Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Exemplo de triângulo acutângulo[editar | editar código-fonte]

Triangle.Acute.png
  • Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º

Soma dos ângulos internos[editar | editar código-fonte]

Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.

Soma dos ângulos externos[editar | editar código-fonte]

Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem: 60^\circ, 60^\circ, 60^\circ a resposta final será assim: Resolução: x = 60^\circ + 60^\circ, x = 120^\circ. Porque o ângulo externo é a igual à soma dos ângulos internos duas vezes.

Relações de desigualdades entre lados e ângulos[editar | editar código-fonte]

1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.

2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.

3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.

Área do triângulo[editar | editar código-fonte]

Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo:

  • Dadas a base b e a altura h: A = \frac {b \cdot h}{2}
  • Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido: A = \frac{1}{2} ab \sin{\gamma}
  • Dados os três lados a, b e c: A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, onde p é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron.

Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula:

  • A = \frac{L^2 \sqrt{3}}{4}

Congruência[editar | editar código-fonte]

Critério LLL[editar | editar código-fonte]

Lado-Lado-Lado.

Critério LAL[editar | editar código-fonte]

Lado-Ângulo-Lado.

Critério ALA[editar | editar código-fonte]

Ângulo-Lado-Ângulo.

Critério LLAr[editar | editar código-fonte]

Lado-Lado-Ângulo reto.

Semelhança[editar | editar código-fonte]

Critério LLL[editar | editar código-fonte]

Segundo o critério LLL (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro.

Critério LAL[editar | editar código-fonte]

Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais.

Critério AA[editar | editar código-fonte]

Segundo o critério AA (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles têm dois ângulos iguais.

Referências[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikipedia
A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Triângulo


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Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo[editar | editar código-fonte]

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo[editar | editar código-fonte]

Mediatriz[editar | editar código-fonte]

O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.

O Teorema de Tales determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

Altura[editar | editar código-fonte]

O ponto de interseção das alturas é o ortocentro

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.

O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro formam um sistema ortocêntrico.

A formula para determinar a área do triângulo é: b x alt : 2

Mediana[editar | editar código-fonte]

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.

Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo Equilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas a que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas.

Bissetriz[editar | editar código-fonte]

O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro.

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e vai até o segmento de reta, dividindo o ângulo do vértice em que partiu em dois ângulos congruentes.

Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto.

Triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

Como dito anteriormente, um triângulo retângulo é aquele no qual um dos ângulos internos é reto.

Catetos e Hipotenusa[editar | editar código-fonte]

Em um triângulo retângulo, são chamados de catetos os lados perpendiculares entre si, ou seja, aqueles que formam o ângulo reto, e é chamado de hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto.
Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Triangulo-Rectangulo.png

A altura relativa à hipotenusa é o segmento de reta que parte do ponto onde está o ângulo reto e vai perpendicularmente até a hipotenusa.
As projeções dos catetos são as partes da hipotenusa divididas pela altura relativa.

Teorema de Pitágoras[editar | editar código-fonte]

Teorema de Pitágoras
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Seja c\!\, a hipotenusa, sejam a\!\, e b\!\, catetos do mesmo triângulo:

c^2 = a^2 + b^2 \!\,

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

Demonstração do Teorema[editar | editar código-fonte]

Por semelhança[editar | editar código-fonte]

Proof-Pythagorean-Theorem.svg

Existem várias formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras. Esta demonstração é baseada na proporcionalidade de dois triângulos semelhantes.

Seja ABC\!\, um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C\!\,, como mostrado na figura. Nós desenhamos o segmento de reta h\!\, que passa por C\!\, e é perpendicular a \overline{AB}\!\,. O novo triângulo ACH\!\, é semelhante ao nosso triângulo ABC\!\,, pois ambos tem um ângulo reto (por definição de perpendicular), e eles compartilham o ângulo em A\!\,, implicando que o terceiro ângulo terá a mesma medida em ambos. De forma análoga, o triângulo CBH\!\, também é semelhante a ABC\!\,. A semelhança leva a duas razões:

\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AH}}{\overline{AC}}\,
e
\frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{HB}}{\overline{CB}}.\,

Isto pode ser escrito como:

\overline{AC}^2=\overline{AB}\times \overline{AH} e \overline{CB}^2=\overline{AB}\times \overline{HB}.

Somando as duas igualdades, obtemos:

\overline{AC}^2+\overline{CB}^2=\overline{AB}\times \overline{AH}+\overline{AB}\times \overline{HB}=\overline{AB}\times(\overline{AH}+\overline{HB})=\overline{AB}^2.\,

Em outras palavras, o Teorema de Pitágoras:

\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=\overline{AB}^2.\,

Por equivalência de polígonos[editar | editar código-fonte]

Esta demonstração se baseia na congruência de triângulos e na equivalência de área de quadriláteros.

Pitagoras.png


Dado {\color{Blue}\triangle}ABC retângulo em B\,\! e seja {\overline{BH}} a altura relativa à hipotenusa, marcamos na semi-reta \overrightarrow{B H} um ponto F\,\! tal que {\overline{HF}}\cong {\overline{AC}} (lembre que {\overline{AC}} é a hipotenusa). Então construímos o retângulo AHFG\,\! (lembre que {\overline{AH}} é a projeção de {\overline{AB}}).

Agora construímos {\color{OliveGreen}\square}ABED. A semi-reta \overrightarrow{D E} intercepta \overrightarrow{G A} em um ponto I\,\!, assim como \overrightarrow{H B} em um ponto J\,\!. Temos o paralelogramo ABJI\,\!.

Como {\color{OliveGreen}\square}ABED e ABJI\,\! são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área.

Por definição de quadrado, segue que {\overline{AD}}\cong {\overline{AB}}, e também {\color{OliveGreen}\angle}ADE é reto. Portanto, {\color{OliveGreen}\angle}ADE\cong {\color{Blue}\angle}ABC.

{\color{OliveGreen}\angle}DAI e {\color{Blue}\angle}BAC são ambos suplementares de \angle IAB. Portanto, {\color{OliveGreen}\angle}DAI\cong {\color{Blue}\angle}BAC.

Segue pelo critério lado-ângulo-ângulo de congruência de triângulos que {\color{Blue}\triangle}ABC\cong {\color{OliveGreen}\triangle}ADI. Portanto, {\overline{AI}}\cong {\overline{AC}}, e por extensão, {\overline{AI}}\cong {\overline{HF}}.

Como ABJI\,\! e AHGFI\,\! são paralelogramos de mesma base e mesma altura, ambos tem a mesma área. Ou seja, a área do quadrado sobre um cateto é igual à área do retângulo determinado pela projeção deste cateto e um segmento congruente à hipotenusa. Como a união do retângulo determinado por {\overline{AH}} e {\overline{HF}} com o retângulo determinado por {\overline{HC}} e {\overline{HF}} é igual ao quadrado sobre {\overline{AC}}, segue que a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos é igual a área do quadrado sobre a hipotenusa.

Q.E.D.

Aplicações do Teorema[editar | editar código-fonte]

Com o teorema de Pitágoras, pode-se calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo conhecendo apenas o comprimento de cada cateto deste. Ou ainda, calcular o comprimento de um cateto conhecendo apenas a medida da hipotenusa e de outro cateto. O teorema de Pitágoras pode também ser usado para calcular o comprimento da diagonal de um retângulo conhecendo apenas os lados deste.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Seja ABC\,\! um triângulo retângulo no qual \overline{AB}\,\! consista em um dos catetos o qual mede 3 metros de comprimento e \overline{AC}\,\! consista em outro cateto o qual mede 4 metros de comprimento. Calcule o comprimento da hipotenusa \overline{BC}\,\!.
    • Resolução
Dado o Teorema de Pitágoras, \overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 \!\,, tem-se que \overline{AB}=3\!\, e \overline{AC}=4\!\,, portanto:
\overline{BC}^2 = 3^2 + 4^2 \!\,
\overline{BC}^2 = 9 + 16 \!\,
\overline{BC}^2 = 25 \!\,
\sqrt{\overline{BC}^2} = \sqrt{25} \!\,
\overline{BC} = 5 \!\,
A hipotenusa do triângulo ABC\,\! mede 5 metros.


  • Um triângulo retângulo tem os lados a\!\,, b\!\, e c\!\,, sendo que a\!\, é um cateto e mede 1 centímetro de comprimento, enquanto c\!\, é a hipotenusa e mede 2 centímetros. Calcule o comprimento do cateto b\!\,
    • Resolução
Dado o Teorema de Pitágoras, c^2 = a^2 + b^2 \!\,, tem-se que