Matemática elementar/Função quadrática

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Observe o exemplo que segue:

Um barril tem o formato de um cilindro circular reto e é utilizado para armazenar petróleo. Ele tem a capacidade V de armazenar 160 litros e sua altura h tem  \tfrac 4 {\pi} metro. Quantos x metros devem ser somados ao raio do barril para que seu volume aumente y litros?

A resposta para este problema é uma função quadrática, que pode ser deduzida pelo seguinte modo:

  • O volume do cilindro é dado por seu raio r (observe que o volume foi convertido para metros cúbicos):
V = r^2 \pi h \to \frac {4} {25} = \frac {4 r^2 \pi} {\pi} \to r = \frac 1 5
  • Introduzindo x e y ao cálculo:
 \frac {4} {25} + y = \frac {4 \pi ( \frac 1 5 + x)^2} { \pi}
  • Resolvendo:
 \frac {4} {25} + y = \frac 4 {25} + 4x^2 + \frac {8x} 5
  • Que simplificada:
y = \frac {20x^2 + 8x} 5

Que é a solução para o problema. A presença da variável x no segundo grau (x2) caracteriza a função como quadrática (ou de segundo grau). O expoente 2 caracteriza o contradomínio por uma progressão geométrica. Tenha como exemplo a função anteriormente encontrada:

x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y
184,8
134,4
92
57,6
31,2
12,8
2,4
0
5,6
19,2
40,8
70,4
108
153,6
207,8

Diferentemente da função afim (em que para cada x há um valor y), na função do segundo grau os valores y se repetem. Trata-se, portanto, de uma função sobrejetora e par.

Função quadrática[editar | editar código-fonte]

A expressão geral da função do segundo grau é

f(x) = ax^2 + bx + c

Em que a, b e c são os coeficientes de x2, x e independente, respectivamente.

Gráfico[editar | editar código-fonte]

Para traçar o gráfico no plano cartesiano, é necessário, ao menos, três soluções para f(x). Desta forma, a equação do segundo grau origina uma parábola, que é formada pelo corte vertical de um cone. A parábola pode ter concavidade voltada para cima (para a > 0) ou para a parte de baixo (para a < 0), como é mostrado nos exemplos a baixo:

Gráfico f(x) = x2, em que a concavidade está para cima.
Gráfico f(x) = -x2 + 2x, em que a concavidade está para baixo.

Além disso, você deve notar que para f(0), obtêm-se o ponto (0, c), em f(x) = ax2 + bx + c:

f(0) = 0^2a + 0b + c

Portanto, diz-se que o coeficiente independente c é o ponto no eixo das ordenadas em que passa a parábola. Note que nos gráficos anteriores, a ausência do coeficiente independente faz com que a parábola passe pelo eixo y no ponto zero.

Zeros[editar | editar código-fonte]

Exemplo de parábola em que Δ > 0.
Exemplo de parábola em que Δ = 0.
Exemplo de parábola em que Δ < 0.

Sempre que encontramos um valor da variável x onde a função y (ou f(x)) é igual a zero, chamamos este valor de zero (ou raiz) da função. No gráfico, as raízes representam os pontos (x, 0) - ou seja, aqueles em que a parábola intercepta o eixo das abcissas. Os zeros de uma função quadrática são no máximo dois, pois a forma fatorada da função quadrática é sempre:

y = f(x) = (x - p)(x - q)

Ou seja, só existem dois valores que podem anular o valor da função, que são p e q. Observe que para x igual a p ou q, o produto será zero. Entretanto, a função pode, também, ter apenas uma raiz, ou também, nenhuma raiz real. O número exato de raízes reais da função quadrática é dado por seu discriminante (Δ):

\Delta = b^2 - 4ac

Desta forma, se Δ > 0, f(x) tem duas raízes reais e distintas. Se Δ = 0, f(x) tem duas raízes reais idênticas. Se Δ < 0, f(x) possuirá duas raízes complexas distintas.

Os valores de p e q podem ser descobertos facilmente por:

 p = \frac {-b + \sqrt {\Delta}} {2a}  q = \frac {-b - \sqrt {\Delta}} {2a}

Desta forma, os zeros da função podem ser conhecidos pela seguinte fórmula resumida:

x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}

Chamada fórmula quadrática, popularmente conhecida por fórmula de Bhaskara. Veja um exemplo, em que foram calculadas as raízes de f(x) = -4x2 + 3x + 1:

x = \frac {-3 \pm \sqrt {3^2 - 4 \times (-4) \times 1}} {2 \times (-4)} = \frac {-3 \pm \sqrt {25}} {-8} = \frac {-3 \pm 5} {-8}

Assim, as raízes são descobertas alternando-se o sinal anterior a Δ:

 p = \frac {-3 + 5} {-8} = - \frac 1 4  q = \frac {-3 - 5} {-8} = 1
Detalhe do corte de um cone, em que se observa as raízes (A e C) e o vértice (B).

Vértice[editar | editar código-fonte]

O vértice é o único ponto x da função f(x) em que um determinado valor y não se repete. Ele pode ser obtido pela média aritmética de quaisquer valores x desde que determinem o mesmo y. As raízes, por exemplo, podem ser utilizadas para tal efeito. Considerando (x; y) as coordenadas do vértice de f(x), podemos encontrar o vértice do exemplo anterior:

x = \frac {- \frac 1 4 + 1} 2 = \frac {-1 + 4} {8} = \frac 3 8

O valor y é obtido pela substituição de x na equação original (y = -4x2 + 3x + 1):

y = -4 \left ( \frac 3 8 \right )^2 + 3 \frac 3 8 + 1 = -4 \frac 9 {64} + \frac 9 8 + 1 = \frac {-36} {64} + \frac {72} {64} + \frac {64} {64} = \frac {100} {64} = \frac {25} {16}

Outra forma de se calcular as coordenadas (x; y) do vértice, é utilizando as seguintes fórmulas:

 x = \frac {-b} {2a}  y = \frac {- \Delta} {4a}

Exemplo: quais as coordenadas do vértice de y = x2 + 4x + 1?

 x = \frac {-4} {2 \times 1} = -2  y = \frac {- (4^2 - 4 \times 1 \times 1)} {4 \times 1} = -3
Parábola de foco F. A diretriz está destacada de cor verde.

Elementos da parábola[editar | editar código-fonte]

A parábola é construída a partir de um foco e de uma diretriz.

Função dados três pontos[editar | editar código-fonte]

Dados três pontos quaisquer de um plano em que a mesma parábola os une, então é possível descobrir a função por dois métodos: por um sistema linear ou pela regra de Cramer. Mostraremos a resolução somente pelo sistema de equações, deixando o método de Cramer a cargo do leitor. Consideraremos os pontos z1 = (x1; y1), z2 = (x2; y2) e z3 = (x3; y3) pertencentes à parábola. Dá-se a equação, então, por:

 f(x) =
\begin{cases}
ax_1^2 + bx_1 + c = y_1 \\
ax_2^2 + bx_2 + c = y_2 \\
ax_3^2 + bx_3 + c = y_3
\end{cases}


Exemplo: qual a equação da parábola que passa pelos pontos z1 = (2; 6), z2 = (-1; -3) e z3 = (-2; 2)?


\begin{cases}
2^2a + 2b + c = 6 \\
(-1)^2a - b + c = -3 \\
(-2)^2a - 2b + c = 2
\end{cases}
\quad \to
\begin{cases}
4a + 2b + c = 6 \\
a - b + c = -3 \\
4a - 2b + c = 2
\end{cases}

Multiplicaremos a terceira equação por -1 e somá-la-emos às duas primeiras:


\begin{cases}
4a + 2b + c = 6 \\
a - b + c = -3 \\
-4a + 2b - c = -2
\end{cases}
\quad \to
\begin{cases}
4b = 4 \\
-3a + b = -5 
\end{cases}
\quad \to
\begin{cases}
b = 1 \\
-3a + 1 = -5 
\end{cases}
\quad \to
\begin{cases}
b = 1 \\
a = 2 
\end{cases}

Substituindo-se a por 2 e b por 1 em uma das equações, obteremos c = - 4. Assim, a equação desta parábola é y = 2x2 + x - 4.

Equações biquadradas[editar | editar código-fonte]

Exercícios[editar | editar código-fonte]