Matemática elementar/Função composta

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A avaliação de expressões matemáticas do tipo (\cos x)^2\,, \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}\, e \cos(\sqrt{x})\, envolvem a aplicação sucessiva de várias funções. Por exemplo, para calcular (\cos x)^2\,, quando x = \pi / 4\, (x é o ângulo de 45 graus) devemos primeiro calcular \cos x e, depois, elevar o resultado ao quadrado.

O nome deste tipo de cálculo de funções em sequência é a composição de funções.

Ou seja, quando se calcula uma expressão da forma g(f(x)), em que f e g são funções, estamos calculando h(x), em que h é a função composta de g e f.

Uma função f(x) deve ser pensada como uma operação que começa no x, depois passa pela função f, gerando o resultado f(x). Uma notação mais adequada para esta imagem visual seria escrever (x)f, mas, infelizmente, a notação historicamente consagrada é f(x).

Assim, a função composta g o f deve ser entendida como uma função h em que, primeiro, a função f é executada, e, em seguida, a função g é executada.

Ou seja, se h = g o f, então temos:

  • h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))

Conceito[editar | editar código-fonte]

No sentido mais rigoroso, a função composta de duas funções está definida apenas na seguinte situação:

Sejam f e g as duas funções de domínio e contra-domínio:

f:X \rightarrow Y
g:Y \rightarrow Z

Então a função composta g o f é a função:

g\circ f:X \rightarrow Z

definida por:

g\circ f (x)= g(f(x))\quad \forall\ x \in X

Isto é ilustrado na figura abaixo:

Compfun.png

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Para se calcular g o f, devemos pegar a expressão de g(x) e trocar x por f(x). Assim, sendo as funções reais:
f(x) = {\color{Red}x^2 - 3}\,
g(x) = \sqrt{2 x + 1}\,

temos que:

g \circ f (x) = \sqrt{2 ({\color{Red}x^2 - 3}) + 1}\,

ou seja:

g \circ f (x) = \sqrt{2 x^2 - 5}\,

Problemas de composição de função[editar | editar código-fonte]

Por um abuso de linguagem, usa-se o termo função composta para a situação em que:

f:X \rightarrow Y
g:U \rightarrow V

Neste caso, g o f é definida apenas para os pontos do domínio de f cuja imagem f(x) pertença também ao domínio de g.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja:

f(x) = \sqrt{x}\,
g(x) = \sqrt{1-x}\,

Neste caso, como não são dados nem o domínio nem o contra-domínio das funções, supõe-se que o contra-domínio é o conjunto dos números reais, e o domínio é o maior possível.

Ou seja:

f: [0, +\infty[ \rightarrow \R\,
g: \ ]-\infty, 1] \rightarrow \R\,

Note-se que a função g o f não pode ser avaliada no ponto x = 4 do domínio de f (porque f(4) = 2, e g(2) não está definido nos reais). Assim, para se calcular o domínio de g o f, é necessário forçar que f(x) pertença ao domínio de g, ou seja:

f(x) \le 1\,

Resolvendo, temos as duas condições:

x \ge 0\, - condição para x \in Dom(f)\,
\sqrt{x} \le 1\, - condição para f(x) \in Dom(g)\,

Ou seja:

x \ge 0\,
x \le 1\,

Finalmente:

0 \le x \le 1\,

Ou seja, o domínio de g o f é o intervalo fechado [0, 1].

Associatividade[editar | editar código-fonte]

Pode-se estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

f:A \rightarrow B\,
g:B \rightarrow C\,
h:C \rightarrow D\,

Como o contra-domínio de f é o domínio de g, a função composta g o f está definida:

g \circ f:A \rightarrow C\,

Analogamente, a função composta h o g também está definida:

h \circ g:B \rightarrow D\,

De novo, como o contra-domínio de g o f é o domínio de h, podemos construir a função composta h o (g o f):

h \circ (g \circ f):A \rightarrow D\,

Finalmente, como o contra-domínio de f é o domínio de h o g, podemos construir a função composta (h o g) o f:

(h \circ g) \circ f:A \rightarrow D\,

Teorema Nas condições acima, (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)\, (associatividade)

Prova A prova usa, recursivamente, relações do tipo (g o f)(x) = g(f(x)) - a definição da fórmula da função composta. Esta relação vale para todo x no domínio de f (que é o domínio tanto de (h o g) o f quanto h o (g o f)).

Seja x \in A\,.

Então:

(g \circ f)(x) = g(f(x))\, - pela definição de g o f
((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x))\, - pela definição de (h o g) o f
(h \circ (g \circ f))(x) = h((g \circ f)(x))\, - pela definição de h o (g o f)

Seja y = f(x). Então y = f(x) \in B\,, então vale também a relação:

(h \circ g)(y) = h(g(y))\, - pela definição de h o g.

Portanto:

((h \circ g) \circ f)(x) = (h \circ g)(f(x)) = (h \circ g)(y) = h(g(y)) = h(g(f(x))) = h((g \circ f)(x)) = (h \circ (g \circ f))(x)\,

Como a relação acima vale para todo x, temos que:

(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)\,.

Notação A função composta de três funções pode ser escrita sem os parêntesis:

h \circ g \circ f = h \circ (g\circ f) = (h\circ g)\circ f\,

Explicitamente:

(h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x)))\,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se g é a função inversa de f, então a função composta g o f é a identidade no domínio de f, ou seja, g o f(x) = x para todo x no domínio de f
  • Se g é a função inversa de f, então a função composta f o g é a identidade no contra-domínio de f, ou seja, f o g(y) = y para todo y no contra-domínio de g


Ver também[editar | editar código-fonte]

Artigo na wikipedia: